מחשבון נפילה חופשית - מחשבון מהירות, מרחק וזמן

מחשבון נפילה חופשית: מהירות, מרחק וזמן

מחשבון נפילה חופשית מוצא את מהירותו של גוף הנופל בהשפעת הכבידה, כמה רחוק הוא נע וכמה גובה עדיין מפריד בינו לבין הקרקע. מזינים גובה התחלתי, מהירות התחלתית וזמן שחלף, והוא מחזיר את המהירות הסופית, את ההעתק כלפי מטה ואת הגובה הסופי.

מהי נפילה חופשית?

נפילה חופשית היא תנועה הנגרמת מכבידה בלבד. התנגדות האוויר אינה נלקחת בחשבון. בקרבת פני כדור הארץ, כל גוף נופל מגביר את מהירותו באותו קצב, ללא קשר למסתו. מטבע ופטיש שנשמטים יחד יפגעו בקרקע באותו רגע, כל עוד גרר האוויר קטן מספיק כדי להתעלם ממנו.

גלילאו גליליי הראה זאת בניסוי בתחילת שנות ה־1600, ובכך הפריך את הרעיון הישן שלפיו גופים כבדים יותר נופלים מהר יותר. בשנת 1971 הפיל האסטרונאוט דייוויד סקוט מאפולו 15 פטיש ונוצה על הירח, שבו אין אוויר שיאט את הנוצה. שניהם נחתו יחד, מול המצלמה.

קצב התאוצה הזה נקרא כבידה תקנית ומסומן g. ערכה המוגדר הוא בדיוק 9.80665 מטרים לשנייה בריבוע (m/s²), ונקבע בהסכמה בינלאומית בשנת 1901. ביחידות האימפריאליות אותה תאוצה היא 32.17405 רגל (9.81 m) לשנייה בריבוע (ft/s²). ערך זה הוא 9.80665 חלקי 0.3048, המספר המדויק של מטרים ברגל אחת, כשהוא מעוגל לחמש ספרות אחרי הנקודה. בדוגמאות רבות בספרי לימוד מעגלים את הערך המטרי ל־9.81 m/s² כדי לפשט את החישוב.

נוסחת הנפילה החופשית

שלוש משוואות מכסות כל בעיה של נפילה חופשית. הכיוון כלפי מטה נחשב לכיוון החיובי, ולכן מהירות חיובית מצביעה לכיוון הקרקע ומהירות שלילית מצביעה כלפי מעלה.

נוסחת המהירות

$v = v_0 + gt$

• $v$ = מהירות סופית
• $v_0$ = מהירות התחלתית (0 אם הגוף נשמט ממנוחה; שלילית אם הוא נזרק כלפי מעלה)
• $g$ = תאוצת הכבידה, 9.80665 m/s² או 32.17405 רגל/s² במחשבון זה
• $t$ = הזמן שחלף, בשניות

נוסחת המרחק

$d = v_0t + \frac{1}{2}gt^2$

כאן $d$ הוא ההעתק: המרחק שהגוף נע כלפי מטה. עבור גוף שנשמט ממנוחה ($v_0 = 0$), המשוואה מצטמצמת ל־$d = \frac{1}{2}gt^2$. אם הגוף נזרק כלפי מעלה ועדיין נמצא מעל נקודת השחרור שלו, הערך של $d$ יהיה שלילי.

נוסחת המהירות והמרחק

כאשר הזמן אינו ידוע, משוואה זו מקשרת ישירות בין המהירות למרחק:

$v^2 = v_0^2 + 2gd$

עבור גוף שנשמט ממנוחה, משוואה זו מצטמצמת ל־$v = \sqrt{2gd}$. זו הנוסחה המשמשת למציאת מהירות הפגיעה מגובה נפילה ידוע, או למציאת גובה הנפילה ממהירות פגיעה ידועה.

כיצד לחשב נפילה חופשית בעזרת מחשבון זה

המחשבון מקבל ארבע הגדרות ומחזיר שלוש תוצאות.

1. בחרו שיטת יחידות. בשיטה המטרית משתמשים במטרים ובמטרים לשנייה. בשיטה האימפריאלית משתמשים ברגליים וברגליים לשנייה.
2. הזינו את הגובה ההתחלתי, הגובה שבו הגוף נמצא בתחילת התנועה מעל הקרקע. הוא אינו יכול להיות שלילי.
3. הזינו את המהירות ההתחלתית. השתמשו ב־0 עבור גוף שנשמט ממנוחה, במספר חיובי עבור גוף שנזרק כלפי מטה, או במספר שלילי עבור גוף שנזרק כלפי מעלה.
4. הזינו את הזמן שחלף מאז שחרור הגוף. הוא חייב להיות גדול מאפס.

התוצאות הן המהירות הסופית, ההעתק ו־הגובה הסופי (הגובה ההתחלתי פחות ההעתק). הזמן הוא נתון קלט כאן, לא תוצאה: המחשבון אינו פותר לאחור לפי מהירות או מרחק יעד.

אם הזמן שהוזן ארוך מספיק כדי שהגוף כבר היה פוגע בקרקע, המחשבון מדווח על כך במקום להציג גובה סופי שלילי.

דוגמה: ההגדרה המוגדרת כברירת מחדל

גוף נשמט ממנוחה מגובה של 100 מטרים. היכן הוא נמצא לאחר 3 שניות?

מהירות לאחר 3 שניות:

$v = 0 + 9.80665 \times 3 = 29.41995 \approx 29.42 \text{ m/s}$

ההעתק במהלך 3 השניות האלה:

$d = \frac{1}{2} \times 9.80665 \times 3^2 = 44.129925 \approx 44.13 \text{ m}$

גובה סופי:

$100 - 44.129925 = 55.870075 \approx 55.87 \text{ m}$

לכן הגוף נופל במהירות של כ־29.42 m/s, עבר מרחק של כ־44.13 m, ועדיין נמצא כ־55.87 m מעל הקרקע.

דוגמה: זמן ומהירות מגובה ידוע

מפתח ברגים נשמט מפיגום בגובה 20 מטרים. כמה זמן יידרש לו להגיע לקרקע, ובאיזו מהירות ינוע בעת הפגיעה?

באמצעות $d = \frac{1}{2}gt^2$, כאשר $d = 20$ מטרים ו־$g = 9.81$ m/s²:

$t = \sqrt{\frac{2 \times 20}{9.81}} \approx 2.02 \text{ שניות}$

$v = gt = 9.81 \times 2.02 \approx 19.8 \text{ m/s (כ־71 km/h)}$

דוגמה: גובה ממהירות הפגיעה

גוף פוגע בקרקע במהירות 25 m/s לאחר שנשמט ממנוחה. מאיזה גובה הוא נפל?

באמצעות $v^2 = 2gd$:

$d = \frac{v^2}{2g} = \frac{25^2}{2 \times 9.81} = \frac{625}{19.62} \approx 31.9 \text{ מטרים}$

זהו בערך גובהו של בניין בן עשר קומות.

כיצד הכבידה משתנה

הכבידה התקנית, 9.80665 m/s², היא ערך ייחוס ממוצע. הכבידה בפועל משתנה מעט על פני כדור הארץ. היא חלשה יותר בקו המשווה (כ־9.78 m/s²) מאשר בקטבים (כ־9.83 m/s²), משום שכדור הארץ בולט החוצה בקו המשווה ומסתובב שם במהירות הגבוהה ביותר. הכבידה נחלשת מעט גם עם העלייה בגובה: בגובה 10,000 מטרים היא יורדת לכ־9.78 m/s².

לגרמי שמיים אחרים יש כבידה שונה מאוד, ולכן אותן נוסחאות מניבות תוצאות שונות מאוד:

כבידת הירח היא בערך שישית מזו של כדור הארץ, ולכן גוף שנשמט שם עובר באותו זמן מרחק שאורכו בערך שישית מהמרחק שהיה עובר בכדור הארץ.

נפילה חופשית והתנגדות האוויר

נוסחאות אלה מניחות שהגוף נמצא בריק, ולכן אין אוויר הדוחף נגדו. התנגדות האוויר גדלה לפי ריבוע המהירות, ולכן היא משמעותית יותר במהירויות גבוהות. השפעתה קטנה על גוף צפוף וקומפקטי, כמו מפתח ברגים או אבן, הנופל למרחק קצר. השפעתה גדולה על גופים קלים או רחבים, כגון נוצה, דף נייר או מצנח.

כאשר התנגדות האוויר גדלה עד שהיא משתווה למשיכת הכבידה, הגוף מפסיק להאיץ ונופל במהירות קבועה, המכונה מהירות סופית. צנחן בתנוחה אופקית עם פניו כלפי מטה מגיע בדרך כלל למהירות סופית של כ־53 מטרים לשנייה, שהם כ־190 km/h או 120 מייל לשעה, לפני פתיחת המצנח.

שאלות נפוצות

מהי נפילה חופשית בפיזיקה?

נפילה חופשית היא תנועתו של גוף הנתון להשפעת הכבידה בלבד, תוך התעלמות מהתנגדות האוויר. כל הגופים הנופלים בקרבת פני כדור הארץ מאיצים כלפי מטה באותו קצב, כ־9.81 m/s², ללא קשר למסתם.

מדוע כל הגופים נופלים באותו קצב?

הכבידה מושכת חזק יותר גוף כבד יותר, אך גוף כבד יותר גם מתנגד יותר לשינוי בתנועה (יש לו אינרציה רבה יותר). שתי ההשפעות מבטלות זו את זו בדיוק, ולכן המסה אינה משפיעה על קצב התאוצה בנפילה חופשית.

מהי הנוסחה למהירות בנפילה חופשית?

$v = v_0 + gt$, כאשר $v_0$ היא המהירות ההתחלתית, $g$ היא תאוצת הכבידה ו־$t$ הוא הזמן. עבור גוף שנשמט ממנוחה, הנוסחה היא פשוט $v = gt$.

מהי הנוסחה למרחק בנפילה חופשית?

$d = v_0t + \frac{1}{2}gt^2$. עבור גוף שנשמט ממנוחה, הנוסחה מצטמצמת ל־$d = \frac{1}{2}gt^2$.

מדוע ההעתק לפעמים שלילי?

במחשבון זה הכיוון כלפי מטה נחשב לחיובי. העתק שלילי פירושו שהגוף נמצא מעל הנקודה שממנה שוחרר, דבר המתרחש כאשר הוא נזרק כלפי מעלה ועדיין לא נפל בחזרה. זרקו כדור כלפי מעלה במהירות 10 m/s ובדקו אותו לאחר 1 שנייה: $d = -10 \times 1 + \frac{1}{2} \times 9.80665 \times 1^2 = -5.10$ מטרים, ולכן הוא נמצא 5.10 m מעל נקודת המוצא שלו.

כמה זמן נדרש לגוף כדי ליפול מגובה נתון?

פתרון נוסחת המרחק עבור הזמן נותן $t = \sqrt{2d/g}$, עבור גוף שנשמט ממנוחה. נפילה מגובה של 20 מטרים נמשכת כ־2.02 שניות.

מדוע מחשבון זה משתמש ב־9.80665 m/s² במקום ב־9.8?

9.80665 m/s² הוא הערך המדויק של הכבידה התקנית, שהוגדר ואומץ ברחבי העולם בשנת 1901. עיגולו ל־9.8 או ל־9.81 נפוץ בספרי לימוד ומדויק דיו לרוב המטרות. המחשבון משתמש בערך המוגדר כדי שהתוצאות המטריות והאימפריאליות יתארו את אותה נפילה פיזיקלית, דבר שאינו נכון לגבי הזוג המעוגל 9.8 m/s² ו־32.2 רגל/s².

האם המחשבון מביא בחשבון את התנגדות האוויר?

לא. הוא מניח נפילה חופשית אידיאלית בריק. הדבר מניב תוצאות מדויקות עבור גופים צפופים וקומפקטיים הנופלים למרחקים בינוניים, אך גורם להערכת יתר של המהירות והמרחק עבור גופים קלים או רחבים, או בנפילות ארוכות מאוד שבהן התנגדות האוויר נעשית משמעותית.