מחשבון גרפים של פונקציות טריגונומטריות - הדמיית סינוס, קוסינוס, טנגנס

מהו משרטט של פונקציות טריגונומטריות?

משרטט פונקציות טריגונומטריות הוא כלי שמצייר את העקומה של פונקציית סינוס, קוסינוס או טנגנס, ומאפשר למשתמש לשנות את צורתה באמצעות התאמת כמה מספרים, הנקראים פרמטרים. הזזת מחוון משרטטת את הגרף מחדש מיד, וכך קל יותר לראות כיצד המשרעת, התדירות והזחת המופע משנות את הגל.

שלוש הפונקציות הטריגונומטריות הבסיסיות

סינוס, קוסינוס וטנגנס נובעים מהיחסים בין צלעותיו של משולש ישר־זווית. במעגל שרדיוסו 1, שמרכזו בראשית (מעגל היחידה), ‏sin(x) הוא הגובה של נקודה בזווית x, ו־cos(x) הוא המיקום האופקי של אותה נקודה. טנגנס הוא היחס sin(x) / cos(x).

סינוס היא פונקציה אי־זוגית: ‏sin(−x) = −sin(x). קוסינוס היא פונקציה זוגית: ‏cos(−x) = cos(x). קוסינוס היא פשוט סינוס שהוזח שמאלה ב־π/2 רדיאנים (90 מעלות).

לטנגנס יש אסימפטוטות אנכיות: ישרים שהעקומה מתקרבת אליהם יותר ויותר, אך לעולם אינה נוגעת בהם. הם נמצאים ב־x = π/2 + nπ, כאשר n הוא כל מספר שלם. מאחר ש־tan(x) = sin(x) / cos(x), ו־cos(x) שווה ל־0 בנקודות האלה, היחס אינו מוגדר שם.

נוסחת פונקציה טריגונומטרית

המשרטט משרטט פונקציות בצורה הזאת:

f(x) = A sin(Bx + C)

אותה צורה משמשת גם לקוסינוס ולטנגנס, כאשר מחליפים את sin ב־cos או ב־tan. כל אות היא פרמטר שאפשר לשנות:

• A (משרעת) קובעת את גובה הגל, הנמדד מקו האמצע שלו עד לשיא. המשרטט מאפשר ערכים מ־0.1 עד 5 עבור סינוס וקוסינוס, ומ־0.1 עד 2 עבור טנגנס.
• B (תדירות) קובעת כמה מחזורים שלמים נכנסים בקטע נתון של ציר ה־x. ערך B גדול יותר מכווץ את הגל. המשרטט מאפשר ערכים מ־0.1 עד 5.
• C (הזחת מופע) מזיזה את העקומה כולה שמאלה או ימינה בלי לשנות את צורתה. המשרטט מאפשר ערכים מ־−π עד π, כלומר בקירוב מ־−3.14 עד 3.14.

הזחת מופע חיובית מזיזה את הגרף שמאלה; הזחה שלילית מזיזה אותו ימינה.

כיצד להשתמש במשרטט הפונקציות הטריגונומטריות

1. בחרו פונקציה — סינוס, קוסינוס או טנגנס — מתוך הבורר.
2. הזיזו את מחוון המשרעת כדי לשנות את גובה הגל.
3. הזיזו את מחוון התדירות כדי לכווץ או למתוח את הגל.
4. הזיזו את מחוון הזחת המופע כדי להזיז את העקומה לצדדים.
5. קראו את הנוסחה המוצגת מתחת למחוונים, ולחצו על "Copy" כדי להעתיק אותה כטקסט.

הגרף מתעדכן ברגע שמזיזים מחוון. עבור טנגנס, בכל אסימפטוטה מופיעים פערים קטנים בקו. זו התנהגות צפויה, לא שגיאה.

בדיקת הקצוות של המחוונים

כדי לראות עד איזה גובה גל יכול להגיע, הגדירו את המשרעת לערך המרבי שהכלי מאפשר: 5 עבור סינוס או קוסינוס, ו־2 עבור טנגנס. כדי לראות גל מתוח וכמעט שטוח, הגדירו את התדירות לערכה הנמוך ביותר, 0.1. שינוי מחוון אחד בכל פעם מקל לזהות איזה פרמטר גרם לכל שינוי.

כיצד לחשב ערך ביד

נניח פונקציית סינוס עם משרעת A = 2, תדירות B = 3 והזחת מופע C = π/4:

f(x) = 2 sin(3x + π/4)

כדי למצוא את f(π/6), חשבו תחילה את הזווית שבתוך הסינוס:

3 × (π/6) = π/2

π/2 + π/4 = 3π/4

לאחר מכן חשבו את הסינוס והכפילו במשרעת:

f(π/6) = 2 × sin(3π/4) = 2 × (√2/2) ≈ 1.414

היכן מופיעים גלים טריגונומטריים

דברים רבים שחוזרים בתבנית חלקה של הלוך ושוב מתאימים לעקומה הדומה לגל סינוס: קול, זרם חשמלי חילופין, גאות ושפל, תנודת מטוטלת ואורך שעות האור במהלך שנה. מהנדסים משתמשים בסינוס ובקוסינוס כדי לתאר ולחזות תבניות כאלה. אנימטורים ממוחשבים משתמשים באותן עקומות כדי ליצור תנועה חלקה, למשל במחזור הליכה מתנועע או בתנועת מצלמה המואצת ומואטת בהדרגה.

שאלות נפוצות

מה ההבדל בין סינוס, קוסינוס וטנגנס?

סינוס וקוסינוס נעים שניהם בין −1 ל־1, עם מחזור של 2π, אך קוסינוס מגיע לכל נקודה במחזור שלו רבע סיבוב (π/2) לפני סינוס. טנגנס שווה לסינוס חלקי קוסינוס. המחזור שלו הוא π, הוא אינו חסום, ויש לו אסימפטוטות אנכיות בכל מקום שבו קוסינוס שווה ל־0.

על מה שולטת המשרעת?

המשרעת (A) קובעת עד כמה הגל נמתח מעל קו האמצע שלו ומתחתיו. במשרטט הזה הטווח שלה הוא מ־0.1 עד 5 עבור סינוס וקוסינוס, ומ־0.1 עד 2 עבור טנגנס.

על מה שולטת התדירות?

התדירות (B) קובעת כמה מחזורי גל מופיעים בקטע קבוע של ציר ה־x. תדירות גבוהה יותר דוחסת יותר מחזורים לאותו מרחב. המשרטט מאפשר ערכים מ־0.1 עד 5.

מדוע הזחת מופע חיובית מזיזה את הגרף שמאלה ולא ימינה?

מכיוון שהזחת המופע C מתווספת לפני מדידת הזווית, בתוך הפונקציה: ‏f(x) = sin(Bx + C). ערך C חיובי פירושו שהזווית מגיעה לערך נתון ב־x קטן יותר, ולכן אותה נקודה על העקומה מופיעה מוקדם יותר — מוזזת שמאלה, לא ימינה.

מדוע יש פערים בגרף הטנגנס?

טנגנס אינו מוגדר בכל מקום שבו קוסינוס שווה ל־0, והדבר קורה ב־x = π/2 + nπ. המשרטט קוטע את הקו בנקודות האלה במקום לצייר חיבור שגוי ישר דרך הפער.

האם המשרטט משתמש במעלות או ברדיאנים?

ברדיאנים. סיבוב מלא שווה ל־2π רדיאנים, שהם 360 מעלות. כדי להמיר מעלות לרדיאנים, הכפילו ב־π/180.