פותר משוואה ריבועית - חישוב שורשים של ax² + bx + c = 0

מהי משוואה ריבועית?

משוואה ריבועית היא משוואה מהצורה $ax^2 + bx + c = 0$, שבה $a$, $b$ ו־$c$ הם מספרים, ו־$a$ אינו אפס. פותר המשוואות הריבועיות בדף זה מוצא את הערך או הערכים של $x$ שהופכים את המשוואה לנכונה, באמצעות המקדמים $a$, $b$ ו־$c$ שהמשתמש מזין.

אילו $a$ היה אפס, האיבר $x^2$ היה נעלם והמשוואה הייתה הופכת לליניארית במקום לריבועית. לכן המחשבון דורש שיתקיים $a \neq 0$ ומציג שגיאה אם $a = 0$.

הנוסחה לפתרון משוואה ריבועית

כל משוואה ריבועית מהצורה $ax^2 + bx + c = 0$ ניתנת לפתרון באמצעות הנוסחה לפתרון משוואה ריבועית:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

הסימן $\pm$ מייצג שני חישובים נפרדים: אחד עם סימן חיבור ואחד עם סימן חיסור. לכן למשוואה ריבועית יכולים להיות שני פתרונות שונים.

הביטוי שמתחת לשורש הריבועי, $b^2 - 4ac$, נקרא דלתא. בדרך כלל כותבים אותו כך: $\Delta$ (האות היוונית דלתא). הדלתא לבדה מראה כמה פתרונות ממשיים יש למשוואה, עוד לפני ביצוע שאר החישוב.

כיצד לחשב את השורשים

1. כתבו את המשוואה בצורה הסטנדרטית, $ax^2 + bx + c = 0$.
2. זהו את המקדמים $a$, $b$ ו־$c$.
3. חשבו את הדלתא: $\Delta = b^2 - 4ac$.
4. אם $\Delta$ חיובית, חשבו את שני השורשים באמצעות $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$.
5. אם $\Delta$ שווה לאפס, חשבו את השורש היחיד באמצעות $x = \dfrac{-b}{2a}$.
6. אם $\Delta$ שלילית, למשוואה אין שורשים ממשיים, משום שלמספר שלילי אין שורש ריבועי ממשי.

המחשבון בדף זה מבצע את השלבים האלה באופן אוטומטי. הוא מקבל מקדמים שבין $-10^{10}$ ל־$10^{10}$, ומעגל את התוצאות למספר נבחר של מקומות אחרי הנקודה, מ־0 עד 10.

מה משמעות הדלתא

מחשבון זה מדווח "אין שורשים ממשיים" כאשר $\Delta$ שלילית. הוא אינו מחשב שורשים מרוכבים (מספרים הכוללים את $i = \sqrt{-1}$).

דוגמה פתורה

פתרו את $x^2 + 5x + 6 = 0$.

כאן $a = 1$, $b = 5$ ו־$c = 6$.

תחילה מצאו את הדלתא:

$\Delta = b^2 - 4ac = 5^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1$

מאחר ש־$\Delta$ חיובית, למשוואה יש שני שורשים ממשיים:

$x = \frac{-5 \pm \sqrt{1}}{2(1)} = \frac{-5 \pm 1}{2}$

$x_1 = \frac{-5 + 1}{2} = -2 \qquad x_2 = \frac{-5 - 1}{2} = -3$

אפשר לבדוק זאת באמצעות פירוק לגורמים: $x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)$, שמתאפס כאשר $x = -2$ או $x = -3$.

דוגמה שנייה מציגה דלתא שלילית. עבור $x^2 + x + 1 = 0$, $a = 1$, $b = 1$, $c = 1$, ולכן $\Delta = 1 - 4 = -3$. מכיוון ש־$\Delta$ שלילית, למשוואה אין שורשים ממשיים.

הפרבולה, הקודקוד וציר הסימטריה

הגרף של $f(x) = ax^2 + bx + c$ הוא עקומה הנקראת פרבולה. אם $a$ חיובי, הפרבולה פונה כלפי מעלה ויש לה נקודה נמוכה ביותר. אם $a$ שלילי, היא פונה כלפי מטה ויש לה נקודה גבוהה ביותר. הנקודה הנמוכה או הגבוהה ביותר היא הקודקוד.

הקודקוד נמצא ב־

$x = -\frac{b}{2a}, \qquad y = f\!\left(-\frac{b}{2a}\right)$

ישר אנכי העובר דרך הקודקוד, $x = -\dfrac{b}{2a}$, נקרא ציר הסימטריה, משום ששני חצאי הפרבולה הם תמונות מראה זה של זה ביחס אליו. השורשים הממשיים של המשוואה הם הנקודות שבהן הפרבולה חוצה את ציר ה־x, ולכן הם נמצאים משני צדי ציר הסימטריה, באותו מרחק ממנו.

המחשבון מצייר את הפרבולה הזאת לצד התוצאה. הוא מסמן על העקומה את הקודקוד ואת כל השורשים הממשיים, ומרחיב את טווח התצוגה בעת הצורך, כך שכל שורש יישאר גלוי.

היכן משתמשים במשוואות ריבועיות

משוואות ריבועיות מתארות מצבים ממשיים רבים. בפיזיקה, גובהו של עצם שנזרק לאורך הזמן נתון במשוואה $h(t) = -\tfrac{1}{2}gt^2 + v_0t + h_0$, ופתרונה עבור $t$ נותן את הזמן שבו העצם נוחת. בהנדסה, צורות פרבוליות מופיעות בצלחות לוויין ובכבלי גשרים, משום שהן ממקדות או מחלקות כוחות. בגרפיקה ממוחשבת, תוכניות למעקב קרניים פותרות משוואות ריבועיות כדי למצוא היכן קו חותך כדור.

היסטוריה קצרה

מתמטיקאים בבל פתרו בעיות ריבועיות מסוימות כבר בסביבות 2000 לפנה״ס, באמצעות שיטות גאומטריות ולא אלגבריות. גם מתמטיקאים יוונים כגון אוקלידס עסקו במשוואות ריבועיות באופן גאומטרי. בסביבות 600 לספירה הציג המתמטיקאי ההודי ברהמגופטה נוסחה מפורשת לשורשים, שכללה גם פתרונות שליליים. בסביבות 800 לספירה תיאר המתמטיקאי הפרסי אל־ח'ואריזמי שיטות שיטתיות לפתרון משוואות ריבועיות בספר שכותרתו הולידה את המילה "אלגברה". הצורה הסמלית המודרנית של הנוסחה לפתרון משוואה ריבועית נעשתה תקנית מאוחר יותר, עם התפתחות הסימון האלגברי בתקופת הרנסאנס.

שאלות נפוצות

מה קורה אם אני מזין 0 עבור המקדם a? המחשבון מציג שגיאה, משום ש־$a = 0$ הופך את המשוואה לליניארית, $bx + c = 0$, שנפתרת בדרך אחרת.

מדוע לפעמים אין למשוואה שורשים ממשיים? זה קורה כאשר הדלתא, $b^2 - 4ac$, שלילית. למספר שלילי אין שורש ריבועי ממשי, ולכן הנוסחה אינה יכולה להפיק ערך ממשי של $x$. למשוואה עדיין יש שני שורשים מרוכבים, אך מחשבון זה אינו מחשב אותם.

מה ההבדל בין שורש לפתרון? אין הבדל. שתי המילים מתייחסות לערך של $x$ שהופך את המשוואה לאפס. "שורש" מתייחס לנקודה שבה הגרף פוגש את ציר ה־x; "פתרון" מתייחס לאלגברה.

בכמה מקומות אחרי הנקודה אפשר לבחור? בין 0 ל־10. בדרך כלל שניים או שלושה מקומות אחרי הנקודה מספיקים לבעיות יומיומיות.

האם אפשר להזין מקדמים גדולים מאוד? המקדמים חייבים להיות בין $-10^{10}$ ל־$10^{10}$. ערכים מחוץ לטווח הזה עלולים לגרום לשגיאות עיגול ונדחים.

האם מחשבון זה יכול למצוא שורשים מרוכבים? לא. כאשר הדלתא שלילית, הוא מדווח "אין שורשים ממשיים" במקום לחשב מספרים מרוכבים.

מקורות

1. Quadratic Equation – MathWorld
2. הספרייה הדיגיטלית של NIST לפונקציות מתמטיות, §1.11, אלגברה: משוואה ריבועית