מחשבון אנרגיית הפעלה (משוואת Arrhenius)

מה מחשבון זה עושה

תגובות מהירות כשמחממים אותן. כלי זה הופך תצפית יומיומית לנתון: מדדו כמה מהר תגובה מתרחשת בשתי טמפרטורות שונות, וזה אומר לכם את אנרגיית ההפעלה (Ea) של התגובה — גודל ה"גבעה" של אנרגיה שמולקולות חייבות להוצאות עליה כדי להגיב.

אתם צריכים ארבע ערכים: שני קבועי קצב (k₁, k₂) ושתי הטמפרטורות בהן הם נמדדו (T₁, T₂). הזינו טמפרטורות בקלווין, צלסיוס או פרנהייט — המחשבון יהמיר עבורכם. התוצאה היא בkJ/mol, היחידה הסטנדרטית בכימיה.

אנרגיית הפעלה בשפה פשוטה

דמיינו כדור יושב בעמק. כדי להדחוף אותו לעמק הבא, תחילה צריך לדחוף אותו מעל גבעה. אנרגיית הפעלה היא גובה הגבעה הזו. אפילו תגובות המשחררות אנרגיה בסך הכל עדיין צריכות דחיפה ראשונית זו כדי לשבור את הקשרים ההתחלתיים.

חימום תגובה לא משנה את הגבעה — זה נותן יותר מולקולות מספיק אנרגיה כדי להוצאות עליה, אז יותר מהן מגיבות בכל שנייה. זו הסיבה שעלייה של 10 °C יכולה להאיץ דברים בצורה ניכרת.

הנוסחה

משוואת Arrhenius קושרת קבוע קצב k לטמפרטורה:

$k = A \cdot e^{-E_a/RT}$

כאשר A הוא גורם הקדם-אקספוננציאלי, R = 8.314 J/(mol·K) הוא קבוע הגז, ו-T היא הטמפרטורה המוחלטת בקלווין.

מדדו k בשתי טמפרטורות והלא-ידוע A מתבטל כשאתם לוקחים את היחס:

$\ln\!\left(\frac{k_2}{k_1}\right) = \frac{E_a}{R}\left(\frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2}\right) \quad\Longrightarrow\quad E_a = \frac{R\,\ln(k_2/k_1)}{\dfrac{1}{T_1} - \dfrac{1}{T_2}}$

זה בדיוק מה שהמחשבון מעריך (ואז מחלק ב-1000 כדי לדווח kJ/mol). מבחינה גיאומטרית, זהו השיפוע של קו ישר בעלילת Arrhenius של ln k מול 1/T: השיפוע שווה ל-−Ea/R. הכלי משרטט עלילה זו מהנקודות שלכם.

דוגמה מפורטת

עם k₁ = 0.0025 s⁻¹ ב-300 K ו-k₂ = 0.035 s⁻¹ ב-350 K:

$E_a = \frac{8.314 \cdot \ln(0.035/0.0025)}{\tfrac{1}{300} - \tfrac{1}{350}} = \frac{8.314 \cdot 2.639}{4.76\times10^{-4}} \approx 46\,100 \text{ J/mol} = 46.1 \text{ kJ/mol}$

קבלת תשובה אמינה

• השתמשו בקלווין בחישוב. צלסיוס או פרנהייט בסדר להקלדה — המחשבון יהמיר — אבל המתמטיקה עובדת רק על טמפרטורה מוחלטת. שכחה של זה היא הטעות הנפוצה ביותר.
• פזרו את הטמפרטורות שלכם. פער של 20–50 °C נותן תוצאות יציבות. נקודות קרוב מדי (יחס k₂/k₁ קרוב ל-1) מתפוצצות בשגיאה, כי אתם לוקחים לוגריתם של מספר קרוב ל-1.
• שמרו על עיקביות יחידות. כי אתם משתמשים ביחס k₂/k₁, היחידות של k מתבטלות — s⁻¹, M⁻¹s⁻¹, כל דבר — כל עוד שני הקבועים משתמשים ביחידה זהה ובאים מאותו ניתוח קינטי.

קריאת התוצאה

זרזים וחלבונים עובדים בהצעת נתיב חסום נמוך יותר. קטלז, למשל, מוריד את החסם לפירוק פרוקסיד המימן מ-~75 kJ/mol לכ-8 kJ/mol. אנרגיית הפעלה היא תכונה של הנתיב, לא הטמפרטורה — חימום משנה כמה מולקולות חוצות את החסם, לא את גובהו.

מעבר לשיטת שתי הנקודות

נוסחת שתי הנקודות מניחה התנהגות Arrhenius משוכללת בין הנקודות שלכם. כשהיא לא ליניארית:

• עקמומיות לא-Arrhenius מופיעה עם דנטורציה חלבון, קוונטי טאנלינג בטמפרטורה נמוכה, או תגובות מוגבלות דיפוזיה. עלילת ln k מעוקלת מול 1/T היא האות — ואז הערך של שתי הנקודות הוא ממוצע אפקטיבי, לא חסם קבוע.
• Ea שלילי בלתי אפשרי לשלב יסודי. אם אתם מחשבים אחד, למנגנון יש מספר צעדים עם קדם-שיווי משקל רגיש לטמפרטורה.
• לדיוק, תאוריית מצב ההעברה משתמשת במשוואת Eyring $k = \frac{k_B T}{h}\,e^{-\Delta G^{\ddagger}/RT}$, מפצלת את החסם לתרומות אנתלפיה ואנטרופיה. לדיוק ניסויי הטוב ביותר, מדדו k ב-4–5 טמפרטורות והתאימו את שיפוע העלילה של Arrhenius בנסיגה ליניארית במקום להשתמש רק בשתי נקודות.

יישומי קוד

הליבה היא שורה אחת של חשבון. בסדר Excel → Python → JavaScript → Java → C# → C++ → Go → Rust → PHP → Ruby → R.

1' Cells: A1=k1, A2=T1(K), A3=k2, A4=T2(K); result in kJ/mol
2=8.314*LN(A3/A1)/((1/A2)-(1/A4))/1000
3

1import math
2
3def activation_energy(k1, T1, k2, T2):
4    """Ea in kJ/mol from two rate constants at Kelvin temperatures T1, T2."""
5    return 8.314 * math.log(k2 / k1) / (1 / T1 - 1 / T2) / 1000
6
7print(f"{activation_energy(0.0025, 300, 0.035, 350):.2f} kJ/mol")
8

1function activationEnergy(k1, T1, k2, T2) {
2  // Ea in kJ/mol; T1, T2 in Kelvin
3  return (8.314 * Math.log(k2 / k1)) / (1 / T1 - 1 / T2) / 1000;
4}
5
6console.log(activationEnergy(0.0025, 300, 0.035, 350).toFixed(2), "kJ/mol");
7

1public class ActivationEnergy {
2    static double ea(double k1, double T1, double k2, double T2) {
3        return 8.314 * Math.log(k2 / k1) / (1 / T1 - 1 / T2) / 1000; // kJ/mol
4    }
5
6    public static void main(String[] args) {
7        System.out.printf("%.2f kJ/mol%n", ea(0.0025, 300, 0.035, 350));
8    }
9}
10

1using System;
2
3class ActivationEnergy {
4    static double Ea(double k1, double T1, double k2, double T2) =>
5        8.314 * Math.Log(k2 / k1) / (1 / T1 - 1 / T2) / 1000; // kJ/mol
6
7    static void Main() =>
8        Console.WriteLine($"{Ea(0.0025, 300, 0.035, 350):F2} kJ/mol");
9}
10

1#include <cmath>
2#include <cstdio>
3
4double ea(double k1, double T1, double k2, double T2) {
5    return 8.314 * std::log(k2 / k1) / (1 / T1 - 1 / T2) / 1000; // kJ/mol
6}
7
8int main() {
9    std::printf("%.2f kJ/mol\n", ea(0.0025, 300, 0.035, 350));
10}
11

1package main
2
3import (
4	"fmt"
5	"math"
6)
7
8func ea(k1, T1, k2, T2 float64) float64 {
9	return 8.314 * math.Log(k2/k1) / (1/T1 - 1/T2) / 1000 // kJ/mol
10}
11
12func main() {
13	fmt.Printf("%.2f kJ/mol\n", ea(0.0025, 300, 0.035, 350))
14}
15

1fn ea(k1: f64, t1: f64, k2: f64, t2: f64) -> f64 {
2    8.314 * (k2 / k1).ln() / (1.0 / t1 - 1.0 / t2) / 1000.0 // kJ/mol
3}
4
5fn main() {
6    println!("{:.2} kJ/mol", ea(0.0025, 300.0, 0.035, 350.0));
7}
8

1<?php
2function ea($k1, $T1, $k2, $T2) {
3    return 8.314 * log($k2 / $k1) / (1 / $T1 - 1 / $T2) / 1000; // kJ/mol
4}
5
6printf("%.2f kJ/mol\n", ea(0.0025, 300, 0.035, 350));
7

1def ea(k1, t1, k2, t2)
2  8.314 * Math.log(k2 / k1) / (1.0 / t1 - 1.0 / t2) / 1000 # kJ/mol
3end
4
5puts format("%.2f kJ/mol", ea(0.0025, 300, 0.035, 350))
6

1ea <- function(k1, T1, k2, T2) {
2  8.314 * log(k2 / k1) / (1 / T1 - 1 / T2) / 1000  # kJ/mol
3}
4
5cat(sprintf("%.2f kJ/mol\n", ea(0.0025, 300, 0.035, 350)))
6

שאלות נפוצות

האם שינוי טמפרטורה משנה את אנרגיית ההפעלה? לא. Ea קבוע עבור נתיב מסוים. העלאת הטמפרטורה מגביר את השיעור של מולקולות שחוצות את החסם, וזו הסיבה שהקצב עולה.

כיצד Ea שונה מ-ΔH? Ea היא גובה הגבעה שאתם חייבים לטפס כדי להגיב; ΔH הוא השינוי נטו בגובה מחומרים מוצאים למוצרים. תגובה יכולה להיות בעלת חסם גבוה (Ea גדול) ועדיין לסיים נמוך יותר מאשר התחילה (ΔH שלילי, אקזותרמי).

למה אני צריך שתי טמפרטורות? מדידה אחת נותנת משוואה אחת עם שתי לא-ידועות (Ea ו-A). מדידה שנייה מאפשרת ל-A להתבטל כך שתוכלו לפתור ל-Ea ישירות.

כמה מדויקת שיטת שתי הנקודות? בדרך כלל בטווח של 5–10% על טווח טמפרטורה מתון, בהנחה של התנהגות Arrhenius ליניארית. לדיוק רב יותר, התאימו ln k מול 1/T על פני 4–5 טמפרטורות.

הפניות

1. Laidler, K. J. (1984). "The development of the Arrhenius equation." J. Chem. Educ. 61(6), 494. https://doi.org/10.1021/ed061p494
2. Eyring, H. (1935). "The Activated Complex in Chemical Reactions." J. Chem. Phys. 3(2), 107. https://doi.org/10.1063/1.1749604
3. Atkins, P., & de Paula, J. (2014). Atkins' Physical Chemistry (10th ed.). Oxford University Press.
4. IUPAC. Compendium of Chemical Terminology (Gold Book), "activation energy." https://goldbook.iupac.org/terms/view/A00102
5. NIST. Fundamental Physical Constants — molar gas constant. https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?r