מחשבון הנדרסון-הסלבלך: מחשבון pH של בופר

מהו מחשבון הנדרסון–האסלבאך?

מחשבון הנדרסון–האסלבאך מוצא את ה־pH של תמיסת בופר. בופר הוא תערובת של חומצה חלשה והבסיס המצומד שלה, המתנגד לשינויים ב־pH כאשר מוסיפים כמויות קטנות של חומצה או בסיס. המחשבון משתמש במשוואת הנדרסון–האסלבאך, המקשרת בין pH לבין ה־pKa של החומצה ולבין הריכוזים של החומצה ושל הבסיס המצומד שלה.

בופרים שומרים על pH יציב במערכות רבות: בדם, בתרביות תאים, בתגובות אנזימטיות ובתכשירים תרופתיים. חשוב לדייק ב־pH. שינוי של חצי יחידת pH בלבד עלול לגרום לאנזים להפסיק לפעול או לגרום לתרופה להתפרק מהר יותר.

משוואת הנדרסון–האסלבאך

$\text{pH} = \text{pKa} + \log_{10}\left(\frac{[\text{A}^-]}{[\text{HA}]}\right)$

• pH מודד עד כמה תמיסה חומצית או בסיסית.
• pKa הוא מספר המתאר עד כמה חומצה נצמדת לפרוטון שלה (יון מימן). הוא שווה ל־$-\log_{10}(K_a)$, כאשר $K_a$ הוא קבוע הדיסוציאציה של החומצה.
• [A⁻] הוא הריכוז של הבסיס המצומד, במולים לליטר. זוהי החומצה לאחר שאיבדה את הפרוטון שלה.
• [HA] הוא הריכוז של החומצה החלשה עצמה, במולים לליטר.

pKa נמוך מצביע על חומצה חזקה יותר, המוסרת את הפרוטון שלה בקלות רבה יותר. לכל חומצה יש pKa קבוע משלה.

מדוע בופרים פועלים בצורה הטובה ביותר בקרבת pKa

כאשר [A⁻] שווה ל־[HA], היחס בתוך הלוגריתם הוא 1, ‏log10(1) הוא 0, וה־pH שווה ל־pKa. זוהי הנקודה שבה כושר החציצה הוא המרבי, משום שבתמיסה יש כמויות שוות של חומצה ובסיס, המסוגלות לקלוט כל חומר שמתווסף. בופר פועל היטב בטווח של יחידת pH אחת בקירוב משני צדי ה־pKa שלו. מחוץ לטווח הזה, אחת משתי הצורות הולכת ואוזלת, והתמיסה כבר אינה יכולה להתנגד לשינויי pH.

כיצד לחשב pH של בופר

1. מצאו את ה־pKa של החומצה. ערכים נפוצים מופיעים בטבלה שלהלן.
2. הזינו את ריכוז הבסיס המצומד, [A⁻], במולים לליטר.
3. הזינו את ריכוז החומצה, [HA], במולים לליטר.
4. קראו את התוצאה. המחשבון מוסיף את ה־pKa ללוגריתם בבסיס 10 של היחס בין הבסיס לחומצה.

המחשבון גם משרטט עקומת יכולת חציצה. היא מכסה שתי יחידות pH מכל צד של ה־pKa, במרווחים של 0.1, וניתן להוריד את הנקודות המוצגות כגיליון אלקטרוני.

דוגמה פתורה

במעבדה דרוש בופר פוספטי הקרוב ל־pH 7.2. ה־pKa הרלוונטי של פוספט (הזוג H₂PO₄⁻ / HPO₄²⁻) הוא בערך 7.21.

סידור מחדש של המשוואה כדי לפתור עבור היחס:

$\frac{[\text{A}^-]}{[\text{HA}]} = 10^{(\text{pH} - \text{pKa})} = 10^{(7.2 - 7.21)} \approx 0.977$

חלקו ריכוז כולל של הבופר, 0.1 mol/L, בין שתי הצורות באמצעות היחס הזה:

• [HPO₄²⁻] (בסיס) ≈ 0.0494 mol/L
• [H₂PO₄⁻] (חומצה) ≈ 0.0506 mol/L

הזינו את שני המספרים האלה, עם pKa 7.21, במחשבון. הוא מחזיר pH = 7.21 + log₁₀(0.0494 / 0.0506) = 7.21 − 0.01 = 7.20. שתי הצורות מתקבלות כמעט בכמויות שוות, כפי שניתן לצפות, משום שה־pH היעד כמעט זהה ל־pKa.

נוסחת יכולת החציצה

יכולת חציצה (המסומנת β) מודדת כמה חומצה או בסיס בופר יכול לקלוט לפני שה־pH שלו משתנה במידה ניכרת. עבור חומצה חלשה יחידה והבסיס המצומד שלה, יכולת החציצה היא:

$\beta = 2.303 \times \frac{C \times K_a \times [\text{H}^+]}{(K_a + [\text{H}^+])^2}$

כאן $C$ הוא הריכוז הכולל של הבופר, $[\text{HA}] + [\text{A}^-]$. ‏β נמדדת במולים לליטר ליחידת pH. יכולת החציצה מגיעה לשיאה בדיוק ב־pH = pKa, כאשר $[\text{H}^+] = K_a$, וערך השיא הוא $2.303 \times C / 4$, או בערך $0.576 \times C$. היא יורדת במהירות כאשר ה־pH מתרחק מה־pKa בכל אחד מהכיוונים, והעקומה סימטרית סביב ה־pKa. הכפלת הריכוז הכולל מכפילה את יכולת החציצה בכל ערך pH.

המחשבון משרטט את העקומה הזאת באמצעות $C = [\text{A}^-] + [\text{HA}]$, סכום שני הריכוזים שהוזנו. כאשר יש 0.1 mol/L מכל צורה, $C$ הוא 0.2 mol/L, ולכן ערך השיא הוא $2.303 \times 0.2 / 4 = 0.115$ mol/L לכל יחידת pH.

מערכות בופר נפוצות וערכי pKa

הדם הוא בופר טבעי מוכר. הוא נשאר בין pH 7.35 ל־7.45 באמצעות מערכת הביקרבונט, אף שה־pKa (6.1) נמצא הרחק מחוץ לטווח המקובל של ±1. הדבר מתאפשר משום שהגוף מתאים ללא הרף את רמות ה־CO₂ באמצעות הנשימה ואת רמות הביקרבונט באמצעות הכליות, וכך שומר על יחס של ביקרבונט ל־CO₂ מומס הקרוב ל־20 ל־1.

השפעות הטמפרטורה והריכוז

ערכי pKa נמדדים בדרך כלל ב־25 °C. הטמפרטורה משנה את ה־pKa, ולכן בופר שהוכן בטמפרטורת החדר לא יציג בדיוק את אותו pH בטמפרטורת הגוף (37 °C). גודל השינוי תלוי בבופר:

• Tris משתנה במידה רבה, בערך −0.03 יחידות pH לכל °C. בופר Tris ב־pH 8.00 בטמפרטורה של 25 °C יציג pH הקרוב ל־7.64 בטמפרטורה של 37 °C, כלומר עלייה של 12 °C.
• פוספט משתנה רק מעט עם הטמפרטורה.
• HEPES תוכנן כך שתלותו בטמפרטורה תהיה קטנה ככל האפשר.

בופרים מהולים מאוד, בריכוז הנמוך בערך מ־1 mM, אמינים גם הם פחות. בשלב זה היינון העצמי של המים ופחמן דו־חמצני שהומס מן האוויר מתחילים להתחרות בבופר, וה־pH האמיתי עלול לסטות מהערך המחושב.

תולדות משוואת הנדרסון–האסלבאך

הביוכימאי האמריקאי לורנס הנדרסון תיאר את הקשר שבבסיס המשוואה בשנת 1908, בעת שחקר כיצד הדם שומר על pH יציב. הגרסה שלו עבדה ישירות עם ריכוז יוני המימן, מספר קטן מאוד שהיה מסורבל לשימוש.

בשנת 1916 ניסח הרופא הדני קרל האסלבאך מחדש את הקשר של הנדרסון באמצעות סולם ה־pH שהומצא זמן קצר קודם לכן, והפך אותו לצורה הלוגריתמית המשמשת כיום. שינוי זה הקל מאוד על יישום המשוואה במעבדה וברפואה, והיא נמצאת בשימוש יומיומי מאז.

שאלות נפוצות

מה מחשבת משוואת הנדרסון–האסלבאך? היא מחשבת את ה־pH של תמיסת בופר לפי ה־pKa של החומצה ולפי הריכוזים של החומצה ושל הבסיס המצומד שלה. ניתן גם לסדר אותה מחדש כדי למצוא את היחס בין הבסיס לחומצה הדרוש ל־pH יעד.

מתי בופר פועל בצורה הטובה ביותר? בופר חזק ביותר כאשר ה־pH קרוב ל־pKa של החומצה שלו, באופן אידיאלי בתוך יחידת pH אחת. בנקודה זו החומצה והבסיס המצומד שלה נמצאים בכמויות דומות, ולכן ההתנגדות לשינוי ב־pH היא המרבית.

האם המשוואה פועלת עבור חומצות בעלות יותר מ־pKa אחד? כן, שלב דיסוציאציה אחד בכל פעם. לחומצה זרחתית יש שלושה ערכי pKa; בופר בקרבת pH 7.2 משתמש רק ב־pKa השני (בערך 7.21), ומתייחס לשני שלבי הדיסוציאציה האחרים כזניחים ב־pH זה.

עד כמה הטמפרטורה משפיעה על pH של בופר? הדבר תלוי בבופר. Tris משתנה בערך ב־0.03 יחידות pH לכל °C, ולכן בופר Tris שנקבע ל־pH 8.00 בטמפרטורה של 25 °C יציג בערך pH 7.64 בטמפרטורה של 37 °C. בופרי פוספט ו־HEPES רגישים הרבה פחות לטמפרטורה.

האם pH מחושב זהה ל־pH נמדד? לא בדיוק. המשוואה מניחה התנהגות אידיאלית ואינה מביאה בחשבון פחמן דו־חמצני מומס, זיהומים או יחסי גומלין יוניים חזקים בריכוזי מלחים גבוהים. תמיד יש לבדוק בופרים במעבדה באמצעות מד pH מכויל לאחר הכנתם.

מהי יכולת חציצה? יכולת חציצה מודדת כמה חומצה או בסיס בופר יכול לקלוט לפני שה־pH שלו משתנה במידה ניכרת. היא מדווחת במולים לליטר ליחידת pH. היא מרבית כאשר ה־pH שווה ל־pKa, ויורדת כאשר ה־pH מתרחק מנקודה זו.