מחשבון אנרגיית רשת | כלי משוואת בורן-לנדה חינמי

מהי אנרגיית סריג?

אנרגיית סריג היא האנרגיה המשתחררת כאשר יונים נפרדים במצב גזי מתחברים ליצירת מול אחד של תרכובת יונית מוצקה. מחשבון אנרגיית סריג משתמש במשוואת בורן–לנדה כדי להעריך ערך זה על סמך מטעני היונים, גדלי היונים ופרמטר מתכוונן אחד הנקרא מעריך בורן.

התהליך שאנרגיית הסריג מתארת הוא:

$M^{n+}(g) + X^{n-}(g) \rightarrow MX(s)$

כאן $M^{n+}$ הוא קטיון מתכתי (יון בעל מטען חיובי), ו-$X^{n-}$ הוא אניון אל-מתכתי (יון בעל מטען שלילי). אנרגיית הסריג תמיד שלילית, משום שאנרגיה יוצאת מן המערכת כאשר היונים ננעלים במבנה גבישי. כימאים מכנים תהליך שמשחרר אנרגיה "אקסותרמי".

שלושה גורמים קובעים את גודל אנרגיית הסריג:

1. מטען היונים. יונים בעלי מטענים גדולים יותר מושכים זה את זה בעוצמה רבה יותר.
2. גודל היונים. יונים קטנים יותר יכולים להתקרב זה לזה, ולכן המשיכה ביניהם מתחזקת.
3. מבנה הגביש. התבנית הגאומטרית שיוצרים היונים משנה את מספר השכנים של כל יון; השפעה זו מתוארת באמצעות מספר הנקרא קבוע מדלונג.

נוסחת אנרגיית הסריג (משוואת בורן–לנדה)

משוואת בורן–לנדה, שפורסמה על ידי הפיזיקאים מקס בורן ואלפרד לנדה בשנת 1918, היא:

$U = -\frac{N_0 A |z_1 z_2| e^2}{4\pi\varepsilon_0 r_0} \left(1-\frac{1}{n}\right)$

כאשר:

• $U$ = אנרגיית הסריג, בקילוג'אולים למול (kJ/mol)
• $N_0$ = מספר אבוגדרו, 6.022 × 10²³ למול
• $A$ = קבוע מדלונג (מחשבון זה משתמש ב-1.7476, הערך עבור מבנה מלח סלע, המשותף ל-NaCl, ל-MgO ולמלחים פשוטים רבים אחרים)
• $z_1$, $z_2$ = המטענים של הקטיון והאניון
• $e$ = מטען של אלקטרון אחד, 1.602 × 10⁻¹⁹ קולון
• $\varepsilon_0$ = הפרמאביליות החשמלית של הריק, 8.854 × 10⁻¹² F/m
• $r_0$ = המרחק הבין-יוני, כלומר המרחק בין המרכזים של שני היונים
• $n$ = מעריך בורן, מספר המתאר עד כמה היונים מתנגדים להצמדה זה לזה (בדרך כלל בין 5 ל-12, ותמיד גדול מ-1)

החלק הראשון של המשוואה מחשב את המשיכה בין שני מטענים מנוגדים. האיבר $(1 - 1/n)$ מפחית את הדחייה המופיעה כאשר ענני האלקטרונים של היונים מתחילים לחפוף. איבר זה הגיוני רק עבור $n$ הגדול מ-1. כאשר $n = 1$ הוא שווה לאפס, ומתחת ל-1 הוא נעשה שלילי, ולכן המחשבון דוחה ערכים אלה.

המרחק הבין-יוני

המרחק בין מרכזי היונים, $r_0$, הוא פשוט סכום שני הרדיוסים היוניים:

$r_0 = r_{cation} + r_{anion}$

רדיוסים יוניים ניתנים בדרך כלל בפיקומטרים (pm), כאשר פיקומטר אחד הוא טריליוןית המטר.

כיצד לחשב אנרגיית סריג

1. הזינו את מטען הקטיון כמספר שלם חיובי (1 עבור Na⁺, 2 עבור Mg²⁺).
2. הזינו את מטען האניון כמספר שלם שלילי (-1 עבור Cl⁻, -2 עבור O²⁻).
3. הזינו את רדיוס הקטיון בפיקומטרים.
4. הזינו את רדיוס האניון בפיקומטרים.
5. הזינו מעריך בורן. ערך של 9 מתאים לתרכובות רבות. המעריך חייב להיות גדול מ-1.
6. קראו את המרחק הבין-יוני ואת אנרגיית הסריג בחלונית התוצאות.

דוגמה: אנרגיית הסריג של נתרן כלורי (NaCl)

נתרן כלורי, מלח שולחן נפוץ, הוא דוגמה ראשונה שימושית משום שליונים שלו יש מטענים יחידניים.

• מטען הקטיון: +1 (Na⁺)
• מטען האניון: -1 (Cl⁻)
• רדיוס הקטיון: 102 pm
• רדיוס האניון: 181 pm
• מעריך בורן: 9

שלב 1: מציאת המרחק הבין-יוני.

$r_0 = 102\text{ pm} + 181\text{ pm} = 283\text{ pm}$

שלב 2: הצבה במשוואת בורן–לנדה.

$U = -\frac{(6.022\times10^{23})(1.7476)(1)(1.602\times10^{-19})^2}{4\pi(8.854\times10^{-12})(2.83\times10^{-10})}\left(1-\frac{1}{9}\right)$

$U \approx -762\text{ קילוג'אול למול}$

ערך זה קרוב לערך המצוטט בדרך כלל בספרי לימוד, אך אינו זהה לו: בערך -787 kJ למול. הערך המצוטט מתקבל מנתונים תרמודינמיים ניסיוניים שנמדדו באמצעות מחזור בורן–האבר, ולא ממשוואה זו. הפער קיים משום שמשוואת בורן–לנדה מתייחסת ליונים כאל כדורים קשיחים ומושלמים ומשתמשת במעריך דחייה יחיד לכל הגביש, ולכן היא קירוב ולא התאמה מדויקת למציאות.

דוגמה: אנרגיית הסריג של מגנזיום חמצני (MgO)

למגנזיום חמצני יש יונים בעלי מטען כפול, ולכן הוא מתאים להשוואה.

• מטען הקטיון: +2 (Mg²⁺), רדיוס 72 pm
• מטען האניון: -2 (O²⁻), רדיוס 140 pm
• מעריך בורן: 9
• מרחק בין-יוני: 72 pm + 140 pm = 212 pm

הצבת המספרים האלה באותה משוואה נותנת אנרגיית סריג של כ--4071 kJ למול, שלילית ביותר מפי חמישה מזו של NaCl. הערך שנמדד בניסוי הוא כ--3795 kJ למול. הכפלת שני מטעני היונים בערך כפולשת את המשיכה האלקטרוסטטית, משום שהמשוואה מכפילה את $z_1$ ב-$z_2$, והמרחק הבין-יוני הקצר יותר ב-MgO מחזק עוד יותר את המשיכה.

רדיוסים יוניים ומעריכי בורן נפוצים

רדיוסים נבחרים של קטונים

רדיוסים נבחרים של אניונים

מעריכי בורן אופייניים

אלה הם ערכי התחלה. מקורות שפורסמו עשויים לפעמים לתת מספרים מעט שונים.

מה משפיע על אנרגיית הסריג

אנרגיית הסריג קשורה לכמה תכונות שכימאים יכולים למדוד ישירות.

• נקודת התכה. משיכה יונית חזקה יותר פירושה בדרך כלל נקודת התכה גבוהה יותר. ליונים של מגנזיום חמצני יש מטען כפול מזה של יוני נתרן כלורי, והם קרובים יותר זה לזה, ולכן אנרגיית הסריג של MgO שלילית הרבה יותר. זו אחת הסיבות לכך ש-MgO מותך בטמפרטורה של כ-2852 °C, בעוד NaCl מותך בטמפרטורה של כ-801 °C.
• קשיות. גבישים בעלי אנרגיית סריג גבוהה יותר נוטים להתנגד טוב יותר לשריטות ולעיוות.
• מסיסות. לעיתים קרובות קשה יותר להמיס במים תרכובות בעלות אנרגיית סריג גבוהה מאוד, משום שפירוק הגביש דורש יותר אנרגיה מכפי שמולקולות המים יכולות לספק באמצעות הקפת היונים.

אנרגיית הסריג היא גם איבר אחד במחזור בורן–האבר, שיטת רישום חשבונאית שבה כימאים משתמשים כדי לחשב שינויי אנרגיה במהלך היווצרות תרכובת יונית מיסודותיה.

מגבלות משוואת בורן–לנדה והמחשבון הזה

מחשבון זה משתמש תמיד בקבוע מדלונג של מבנה מלח סלע (1.7476). ערך זה נכון לתרכובות שמתגבשות כפי שמתגבשים NaCl ו-MgO, אך אינו נכון לתרכובות בעלות מבנים אחרים, כגון צזיום כלורי או סידן פלואורי, שלהן קבועי מדלונג שונים. משוואת בורן–לנדה מניחה גם שהיונים הם כדורים מושלמים ומתעלמת מהשפעות כגון אופי של קשר קוולנטי, ולכן תוצאותיה הן הערכות קרובות ולא ערכים ניסיוניים מדויקים.

שאלות נפוצות

מהי אנרגיית סריג במילים פשוטות? זו האנרגיה הנפלטת כאשר חלקיקים טעונים הנקראים יונים מתחברים וננעלים בגביש מוצק. מספר שלילי יותר פירושו שהיונים מוחזקים יחד בחוזקה רבה יותר.

מדוע אנרגיית הסריג תמיד שלילית? משום שיצירת המוצק משחררת אנרגיה במקום לספוג אותה. בספרי לימוד מסוימים מגדירים במקום זאת "אנתלפיית סריג" כאנרגיה החיובית הדרושה לפירוק הגביש; שני המונחים מתארים את אותו חוזק קשר, אך בסימנים מנוגדים.

באיזה מעריך בורן עליי להשתמש? תשע הוא ערך ברירת מחדל נפוץ שמתאים במידה סבירה לתרכובות יוניות רבות. עבור תרכובת מסוימת, מקור מידע בכימיה או מסד נתונים בקריסטלוגרפיה יציין ערך מדויק יותר, המבוסס על תצורות האלקטרונים של היונים שלה.

מדוע המחשבון אינו תואם בדיוק את המספר שבספר הלימוד שלי? ערכים בספרי לימוד מגיעים לעיתים קרובות מניסויים (מחזור בורן–האבר), בעוד שמחשבון זה משתמש במשוואה התאורטית של בורן–לנדה. שתי השיטות בדרך כלל מסכימות בתוך פער של אחוזים אחדים, אך לעיתים נדירות נותנות ערכים זהים לחלוטין.

האם יון גדול יותר תמיד פירושו אנרגיית סריג נמוכה יותר? בדרך כלל כן. יונים גדולים יותר מגדילים את המרחק הבין-יוני $r_0$, המופיע במכנה של המשוואה, ולכן אנרגיית הסריג נעשית פחות שלילית ככל שהיונים גדלים, כאשר כל שאר התנאים שווים.

האם המחשבון יכול לטפל בכל תרכובת יונית? הוא מתאים במיוחד לתרכובות פשוטות החולקות את מבנה הגביש של מלח סלע, כגון NaCl, MgO ו-CaO. הוא אמין פחות עבור תרכובות בעלות מבני גביש אחרים או קשרים קוולנטיים משמעותיים.

מקורות

1. אטקינס, P. W., ודה פאולה, J. (2014). כימיה פיזיקלית של אטקינס (מהדורה 10). הוצאת אוניברסיטת אוקספורד.
2. האוסקרופט, C. E., ושארפ, A. G. (2018). כימיה אי-אורגנית (מהדורה 5). פירסון.
3. בורן, M., ולנדה, A. (1918). Über die Berechnung der Kompressibilität regulärer Kristalle aus der Gittertheorie. Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft, 20, 210-216.
4. שאנון, R. D. (1976). Revised effective ionic radii and systematic studies of interatomic distances in halides and chalcogenides. Acta Crystallographica Section A, 32(5), 751-767.