מחשבון קצב פליטה | כלי חוק גרהאם החופשי

מהו מחשבון קצב הפליטה?

מחשבון קצב האפוזיה קובע באיזו מהירות גז אחד נפלט דרך חור זעיר בהשוואה לגז אחר. הוא משתמש בחוק האפוזיה של גרהם, הקושר בין מהירות הפליטה של גז לבין המסה המולרית והטמפרטורה שלו. אפוזיה מתרחשת כאשר מולקולות גז עוברות זו אחר זו דרך פתח קטן כל כך, שהמולקולות אינן מתנגשות זו בזו במהלך המעבר.

נוסחת חוק האפוזיה של גרהם

חוק גרהם משווה בין קצבי האפוזיה של שני גזים, גז 1 וגז 2:

$\frac{\text{קצב}_1}{\text{קצב}_2} = \sqrt{\frac{M_2}{M_1}} \times \sqrt{\frac{T_1}{T_2}}$

• Rate₁ ו־Rate₂ הם קצבי האפוזיה של גז 1 וגז 2.
• M₁ ו־M₂ הן המסות המולריות של גז 1 וגז 2, בגרמים למול (g/mol).
• T₁ ו־T₂ הן הטמפרטורות המוחלטות של גז 1 וגז 2, בקלווין (K).

תוצאה הגדולה מ־1 פירושה שגז 1 נפלט מהר יותר מגז 2. תוצאה הקטנה מ־1 פירושה שגז 2 מהיר יותר. תוצאה השווה בדיוק ל־1 פירושה ששני הגזים נפלטים באותו קצב.

מדוע הנוסחה פועלת

הנוסחה נובעת מהתיאוריה הקינטית של הגזים. לכל הגזים באותה טמפרטורה יש אותה אנרגיה קינטית ממוצעת, ½mv² = (3/2)kT, כאשר m היא המסה של מולקולה אחת, v היא מהירותה, k הוא קבוע בולצמן, ו־T היא הטמפרטורה המוחלטת. פתרון עבור המהירות נותן v = √(3kT/m). מולקולה קלה יותר חייבת לנוע מהר יותר ממולקולה כבדה יותר כדי לשמור על אותה אנרגיה קינטית. מספר המולקולות היוצאות דרך החור בכל שנייה פרופורציוני למהירות זו ולמספר המולקולות ליחידת נפח. המחשבון משווה בין שני גזים שיש בהם אותו מספר מולקולות ליחידת נפח, ולכן איבר הצפיפות מצטמצם ונשאר רק √(T/M). חלוקת הערך עבור גז 1 בערך עבור גז 2 נותנת את הנוסחה שלעיל.

שני מקרים פשוטים יותר

• אותה טמפרטורה. אם T₁ שווה ל־T₂, איברי הטמפרטורה מצטמצמים והנוסחה נעשית Rate₁/Rate₂ = √(M₂/M₁). רק המסות המולריות קובעות.
• אותה מסה מולרית. אם M₁ שווה ל־M₂, הנוסחה נעשית Rate₁/Rate₂ = √(T₁/T₂). רק הטמפרטורות קובעות.

כיצד להשתמש במחשבון קצב האפוזיה

1. הזינו את המסה המולרית ואת הטמפרטורה של גז 1.
2. הזינו את המסה המולרית ואת הטמפרטורה של גז 2.
3. קראו את קצב האפוזיה היחסי. הוא מראה פי כמה מהר עובר גז 1 אפוזיה בהשוואה לגז 2. המחשבון מציג את התשובה בדיוק של ארבע ספרות אחרי הנקודה.

גם המסה המולרית וגם הטמפרטורה חייבות להיות מספרים חיוביים. יש להזין את הטמפרטורה בקלווין, ולא בצלזיוס או בפרנהייט, משום שהנוסחה תלויה בטמפרטורה המוחלטת.

מסות מולריות של גזים נפוצים

דוגמה פתורה

דוגמה 1: הליום לעומת מתאן, באותה טמפרטורה

להליום (He) יש מסה מולרית של 4.00 g/mol. למתאן (CH₄) יש מסה מולרית של 16.04 g/mol. שניהם נמצאים בטמפרטורה של 298 K.

$\frac{\text{קצב}_{He}}{\text{קצב}_{CH_4}} = \sqrt{\frac{16.04}{4.00}} \times \sqrt{\frac{298}{298}} = \sqrt{4.01} \times 1 \approx 2.0025$

הליום עובר אפוזיה במהירות גבוהה בערך פי 2.00 מזו של מתאן.

המחשבון נפתח עם 4.00 ו־16.00 g/mol בטמפרטורה של 298 K, כאשר המתאן מעוגל למספר שלם. ערכים אלה נותנים בדיוק √4 = 2.0000, ולכן קל לבדוק את היחס באופן ידני.

דוגמה 2: מימן לעומת חמצן, בטמפרטורות שונות

למימן (H₂) יש מסה מולרית של 2.02 g/mol וטמפרטורה של 400 K. לחמצן (O₂) יש מסה מולרית של 32.00 g/mol וטמפרטורה של 300 K.

$\sqrt{\frac{32.00}{2.02}} \approx 3.9801 \qquad \sqrt{\frac{400}{300}} \approx 1.1547$

$\frac{\text{קצב}_{H_2}}{\text{קצב}_{O_2}} = 3.9801 \times 1.1547 \approx 4.5959$

מימן בטמפרטורה של 400 K עובר אפוזיה במהירות גבוהה בערך פי 4.60 מזו של חמצן בטמפרטורה של 300 K. עיגול כל שורש ריבועי לשתי ספרות אחרי הנקודה לפני הכפל, כפי שנעשה בכמה דוגמאות פתורות באינטרנט, נותן 3.98 × 1.15 = 4.58, תוצאה הסוטה מעט מהערך הנכון. שמירה על יותר ספרות אחרי הנקודה עד לשלב האחרון מונעת את השגיאה הזאת.

יישומים של חוק גרהם

• הפרדת איזוטופים. פרויקט מנהטן השתמש בדיפוזיה גזית כדי להפריד בין אורניום־235 לאורניום־238. שני האיזוטופים יוצרים גז הקספלואוריד אורניום בעל מסות מולריות שונות במקצת, ולכן הם נפלטים בקצבים מעט שונים.
• איתור דליפות. הליום הוא גז מסמן נפוץ לאיתור דליפות במערכות ואקום ובכלי לחץ, משום שהמסה המולרית הנמוכה שלו מאפשרת לו להיפלט במהירות דרך דליפות קטנות.
• כרומטוגרפיית גזים. מולקולות בעלות מסות שונות נעות בקצבים שונים דרך עמודת כרומטוגרפיה, וכך ניתן להפריד ולזהות תרכובות בתערובת גזים.
• הפרדת גזים באמצעות ממברנות. ממברנות תעשייתיות המטהרות תערובות גזים או מפרידות ביניהן מסתמכות בחלקן על קצבי האפוזיה השונים של הגזים המרכיבים את התערובת.

היסטוריה

הכימאי הסקוטי תומאס גרהם תיאר לראשונה קשר זה בשנת 1846. הוא מדד באיזו מהירות גזים שונים נפלטו דרך פתחים קטנים, ומצא שהקצב עומד ביחס הפוך לשורש הריבועי של צפיפות הגז. תוצאותיו סייעו בהמשך לבסס את התיאוריה הקינטית של הגזים, שפותחה לאחר מכן בידי ג'יימס קלרק מקסוול ולודוויג בולצמן בשנות ה־1860 וה־1870.

שאלות נפוצות

מה ההבדל בין אפוזיה לדיפוזיה? אפוזיה היא פליטה של מולקולות גז דרך חור קטן אל ואקום או אל אזור של לחץ נמוך יותר, כאשר החור קטן מהמרחק הממוצע שמולקולה עוברת בין התנגשויות. דיפוזיה היא התפשטות של מולקולות גז בתוך גז או תווך אחר, הנגרמת מהבדלים בריכוז, והיא כוללת התנגשויות בין המולקולות.

מדוע הטמפרטורה חייבת להיות בקלווין? האנרגיה הקינטית של מולקולות גז פרופורציונית לטמפרטורה המוחלטת. סולמות צלזיוס ופרנהייט אינם מתחילים באפס המוחלט, ולכן השימוש בהם ייתן יחס שגוי.

מה המחשבון מניח לגבי שני הגזים? הוא מניח שבשני הגזים יש אותו מספר מולקולות ליחידת נפח. בהנחה זו, היחס תלוי רק במסה המולרית ובטמפרטורה המוחלטת. כאשר שתי הטמפרטורות שוות, איבר הטמפרטורה הוא 1, והתשובה היא היחס הפשוט של חוק גרהם √(M₂/M₁), ללא תלות בלחץ. כאשר הטמפרטורות שונות, ההנחה חשובה: שני גזים הנשמרים באותו לחץ, במקום באותו ריכוז, מקיימים Rate₁/Rate₂ = √(M₂T₂ / M₁T₁), משום שגז חם יותר בלחץ קבוע מכיל פחות מולקולות בכל ליטר.

האם חוק גרהם יכול למצוא את המסה המולרית של גז לא ידוע? כן. אם קצב האפוזיה של גז לא ידוע נמדד ביחס לגז בעל מסה מולרית ידועה, ניתן לסדר מחדש את הנוסחה:

$M_{unknown} = M_{known} \times \left(\frac{\text{קצב}_{known}}{\text{קצב}_{unknown}}\right)^2 \times \frac{T_{unknown}}{T_{known}}$

האם חוק גרהם חל על נוזלים? לא. הוא חל רק על גזים. מולקולות הנוזל ארוזות בצפיפות רבה יותר זו לזו ומקיימות אינטראקציות חזקות הרבה יותר, ולכן אותה נוסחה אינה מתארת את האופן שבו נוזלים נעים דרך פתחים קטנים.

בכמה מהר יותר גז עובר אפוזיה אם הטמפרטורה שלו מוכפלת? קצב האפוזיה פרופורציוני לשורש הריבועי של הטמפרטורה המוחלטת. הכפלת הטמפרטורה מכפילה את הקצב ב־√2, כלומר בערך פי 1.41, אם המסה המולרית נשארת זהה.