מחשבון כלל השלבים של גיבס - חישוב דרגות חופש

מהו כלל הפאזות של גיבס?

כלל הפאזות של גיבס הוא נוסחה בתרמודינמיקה, העוסקת בחום, באנרגיה ובחומר. הוא מנבא כמה תנאים, כגון טמפרטורה או לחץ, אפשר לשנות באופן בלתי תלוי במערכת בלי לשנות אילו פאזות נמצאות בשיווי משקל. פאזה היא חלק נבדל מבחינה פיזיקלית ואחיד של מערכת, כגון קרח, מים נוזליים או קיטור. מחשבון זה מיישם את הכלל: מזינים את מספר הרכיבים והפאזות, והוא מחזיר את דרגות החופש.

נוסחת כלל הפאזות של גיבס

הכלל נכתב כך:

$F = C - P + 2$

• F הוא מספר דרגות החופש: מספר המשתנים, כגון טמפרטורה, לחץ או הרכב, שיכולים להשתנות באופן בלתי תלוי בלי לשנות אילו פאזות נמצאות.
• C הוא מספר הרכיבים: המספר הקטן ביותר של חומרים כימיים בלתי תלויים הדרושים לתיאור כל מה שנמצא במערכת.
• P הוא מספר הפאזות: האזורים הנפרדים מבחינה פיזיקלית והאחידים במערכת.
• 2 מייצג טמפרטורה ולחץ, שני המשתנים המשפיעים על רוב המערכות.

הפיזיקאי האמריקאי ג'וזיה וילארד גיבס פרסם את הכלל בין 1875 ל־1878, במאמר שנקרא "על שיווי המשקל של חומרים הטרוגניים".

מקור הנוסחה

במערכת שבה C רכיבים המפוזרים על פני P פאזות, כל פאזה זקוקה ל־C − 1 מספרים לתיאור ההרכב שלה, ובנוסף הטמפרטורה והלחץ חלים על המערכת כולה. כך מתקבלים בסך הכול P(C − 1) + 2 משתנים.

בשיווי משקל, לכל רכיב חייב להיות אותו פוטנציאל כימי, המודד את נטייתו לנוע או להגיב, בכל פאזה שבה הוא מופיע. כך מתקבלות (P − 1) × C משוואות המגבילות את המערכת.

הפחתת האילוצים מהמשתנים נותנת את הכלל:

$F = [P(C - 1) + 2] - [(P - 1) \times C] = C - P + 2$

כיצד לחשב את דרגות החופש

1. סופרים את הרכיבים. זהו מספר החומרים הבלתי תלויים מבחינה כימית במערכת. מים טהורים נחשבים לרכיב אחד, אף שהם מכילים מימן וחמצן, משום שלא מתרחשת תגובה כימית.
2. סופרים את הפאזות. זהו מספר האזורים הנפרדים מבחינה פיזיקלית והאחידים, כגון קרח, מים נוזליים ואדי מים הקיימים יחד.
3. מיישמים את הנוסחה: F = C − P + 2.
4. קוראים את התוצאה. F חיובי הוא מספר המשתנים שיכולים להשתנות כאשר כל פאזה נשארת קיימת. F = 0 פירושו שהמערכת מתקיימת רק בטמפרטורה ובלחץ מדויקים יחידים. תוצאה שלילית פירושה שהמערכת, כפי שתוארה, אינה יכולה להתקיים בשיווי משקל; המחשבון מציג 0 ומציג אזהרה בעניין.

דוגמה פתורה

מים בנקודת המשולש שלהם

מים הם רכיב אחד (C = 1). בנקודת המשולש, קרח, מים נוזליים ואדי מים מתקיימים יחד, ולכן יש שלוש פאזות (P = 3).

$F = 1 - 3 + 2 = 0$

נקודת המשולש יכולה להתרחש רק בטמפרטורה ובלחץ מדויקים יחידים: בערך 0.01 °C ו־611.657 פסקל עבור מים.

מי מלח עם מלח מוצק

במערכת זו יש שני רכיבים, מים ומלח (C = 2), ושתי פאזות: מלח מוצק ותמיסת מלח (P = 2).

$F = 2 - 2 + 2 = 2$

שני משתנים, כגון טמפרטורה ולחץ, יכולים להשתנות באופן בלתי תלוי כל עוד שתי הפאזות נשארות קיימות.

מערכת בעלת שלושה רכיבים וארבע פאזות

עם שלושה רכיבים (C = 3) וארבע פאזות (P = 4):

$F = 3 - 4 + 2 = 1$

רק משתנה אחד, כגון טמפרטורה, יכול להשתנות באופן בלתי תלוי לפני שפאזה נעלמת.

דרגות חופש שליליות

הנוסחה יכולה לתת מספר שלילי כאשר מערכת מתוארת באמצעות יותר פאזות מכפי שהרכיבים שלה יכולים לתמוך בשיווי משקל. לדוגמה, רכיב אחד עם ארבע פאזות נותן:

$F = 1 - 4 + 2 = -1$

למספר שלילי אין משמעות פיזיקלית, משום שלמערכת לא יכולות להיות פחות מאפס דרגות חופש לשינוי התנאים. המחשבון עדיין מציג את החישוב החשבוני הגולמי בשורת החישוב שלו, ולכן C = 1 ו־P = 4 מציגים "F = 1 - 4 + 2 = -1". התוצאה עצמה מוגבלת ל־0, ומתחתיה מופיעה אזהרה: למערכת יכולות להיות לכל היותר שתי פאזות יותר ממספר הרכיבים שלה.

הגבול נובע מהכלל עצמו. הצבת F = 0 ב־F = C − P + 2 נותנת P = C + 2, המספר הגדול ביותר של פאזות שיכולות להתקיים יחד. רכיב אחד מאפשר שלוש פאזות, כלומר נקודת המשולש.

יישומים של כלל הפאזות של גיבס

• הנדסה כימית: תכנון תהליכי זיקוק והתגבשות, שבהם מספר הפאזות קובע כמה משתנים על המהנדס לשלוט בהם.
• מדע החומרים ומטלורגיה: חיזוי התנהגותן של סגסוגות מתכת במהלך טיפול בחום וקירור.
• גאולוגיה: הסבר אילו שילובים של מינרלים יכולים להיווצר יחד בסלע בטמפרטורה ובלחץ נתונים.
• מדעי התרופות: שמירה על יציבותן הכימית של פורמולציות תרופתיות וחיזוי התנהגותן בתהליך ייבוש בהקפאה.

ההיסטוריה של כלל הפאזות של גיבס

ג'וזיה וילארד גיבס (1839–1903) היה פיזיקאי מתמטי אמריקאי. הוא פיתח את כלל הפאזות כחלק ממחקר רחב יותר של שיווי משקל תרמודינמי, שפורסם ב־Transactions of the Connecticut Academy of Sciences. כתב העת הופץ בתפוצה מצומצמת, ולכן עבודתו לא זכתה בתחילה לתשומת לב בארצות הברית.

מדענים אירופים הכירו בחשיבותו תחילה. הפיזיקאי ג'יימס קלרק מקסוול בנה מודל פיזיקלי שהתבסס על רעיונותיו של גיבס, והכימאי וילהלם אוסטוולד תרגם את מאמריו של גיבס לגרמנית בשנת 1892. הכימאי ההולנדי ה. ו. בקהויס רוזבום יישם מאוחר יותר את הכלל במערכות ניסוי אמיתיות, וסייע לבסס אותו ככלי מקובל בכימיה פיזיקלית.

שאלות נפוצות

מהו כלל הפאזות של גיבס?

זוהי משוואה, F = C − P + 2, שנותנת את מספר המשתנים, כגון טמפרטורה, לחץ או הרכב, שיכולים להשתנות באופן בלתי תלוי במערכת בשיווי משקל בלי לשנות אילו פאזות נמצאות.

מה פירוש F = C − P + 2?

F הוא דרגות החופש, C הוא מספר הרכיבים, ו־P הוא מספר הפאזות. "+2" מביא בחשבון את הטמפרטורה והלחץ, המשפיעים על רוב המערכות.

מה נחשב לפאזה?

פאזה היא חלק נבדל מבחינה פיזיקלית ואחיד של מערכת, כגון קרח, מים נוזליים או אדי מים. שני נוזלים שאינם מתערבבים, כמו שמן ומים, נחשבים לשתי פאזות נפרדות.

מה פירושה של תוצאה שלילית?

פירוש הדבר שהמערכת אינה יכולה להתקיים בשיווי משקל כפי שתוארה, משום שיש בה יותר פאזות מכפי שהרכיבים שלה יכולים לתמוך. המחשבון מגביל את התוצאה ל־0 ומציג אזהרה, בעוד ששורת החישוב עדיין מציגה את החישוב השלילי הגולמי.

האם כלל הפאזות חל על מערכות שבהן מתרחשות תגובות כימיות?

הכלל הבסיסי מניח שלא מתרחשות תגובות. אם מתרחשות תגובות בלתי תלויות, כל אחת מהן מפחיתה את מספר הרכיבים האפקטיבי באחד.

כיצד כלל הפאזות קשור לדיאגרמת פאזות?

בדיאגרמת לחץ–טמפרטורה של מערכת בעלת רכיב אחד, באזורים בעלי פאזה יחידה יש F = 2, לקווים המפרידים בין שתי פאזות יש F = 1, ולנקודת המשולש שבה נפגשות שלוש פאזות יש F = 0.

מקורות

1. גיבס, ג' ו. (1878). "על שיווי המשקל של חומרים הטרוגניים." Transactions of the Connecticut Academy of Arts and Sciences, 3, 108–248.
2. Atkins, P., & de Paula, J. (2014). Atkins' Physical Chemistry (מהדורה 10). Oxford University Press.
3. Smith, J. M., Van Ness, H. C., & Abbott, M. M. (2017). Introduction to Chemical Engineering Thermodynamics (מהדורה 8). McGraw-Hill Education.