מחשבון ספיגת שני פוטונים - חישוב מקדם TPA

מחשבון מקדם הבליעה הדו־פוטונית

מחשבון בליעה של שני פוטונים ממיר שלושה פרמטרים של לייזר (אורך גל, עוצמה ומשך פולס) לערך המחשה יחיד, המסומן β ומדווח ביחידות cm/GW. בליעה של שני פוטונים היא תהליך שבו מולקולה בולעת שני פוטונים של אור כמעט באותו רגע, במקום פוטון אחד, והיא מתרחשת רק בעוצמת אור גבוהה. הנתון שהדף מפיק הוא עזר לימודי לחישוב, ולא מקדם שנמדד או נחזה עבור חומר ממשי כלשהו; הסעיף שלהלן מסביר מדוע.

מהי בליעה של שני פוטונים?

בבליעה רגילה של פוטון יחיד, מולקולה בולעת פוטון אחד של אור ועוברת למצב אנרגיה גבוה יותר. בליעה של שני פוטונים (TPA) שונה: המולקולה בולעת שני פוטונים בהפרש של פמטו־שניות זה מזה ומשתמשת באנרגיה המשולבת שלהם כדי לבצע את אותה קפיצה. פמטו־שנייה היא מיליונית של מיליארדית השנייה.

בליעה דו־פוטונית זו נדירה. היא מתרחשת בתדירות משמעותית רק כאשר האור עוצמתי ביותר, משום ששני פוטונים חייבים להגיע כמעט בו־זמנית לאותה מולקולה. אור רגיל, אפילו אור שמש, חלש בהרבה מדי. לייזרים המרכזים את האנרגיה שלהם בפולסים קצרים ועוצמתיים הופכים את TPA לאפשרית לתצפית ולשימוש.

הפיזיקאית מריה גפרט־מאייר ניבאה את קיומה של בליעה דו־פוטונית בשנת 1931, במסגרת עבודת הדוקטורט שלה. שום מקור אור באותה תקופה לא היה עוצמתי מספיק כדי להדגים אותה. הלייזר, שהומצא בשנת 1960, שינה זאת. בשנת 1961 צפו החוקרים וילהלם קייזר וק. ג'. ב. גארט ממעבדות בל בבליעת שני פוטונים בפעם הראשונה, באמצעות לייזר אודם וגביש שסומם באירופיום. לימים חלקה גפרט־מאייר בפרס נובל לפיזיקה לשנת 1963 על עבודה אחרת בנושא מבנה גרעין האטום.

נוסחת מקדם הבליעה של שני פוטונים

המחשבון משתמש בנוסחה קבועה אחת:

$\beta = K \times \frac{I \times \tau}{\lambda^2}$

כאשר:

• β — מקדם הבליעה הדו־פוטונית, ביחידות cm/GW
• K — קבוע נתון מראש, המוגדר במחשבון ל־1.5
• I — עוצמת האור, מומרת מ־W/cm² ל־GW/cm² (חלוקה ב־10⁹)
• τ — משך הפולס, בפמטו־שניות (fs)
• λ — אורך הגל של האור, בננומטרים (nm)

מדוע נוסחה זו היא נוסחת מציין מקום, ולא פיזיקה

המחשבון מצהיר על כך בגלוי, וכך גם המאמר הזה. באופטיקה ממשית, β הוא תכונה פנימית של החומר. הוא מופיע במשוואה dI/dz = −βI², שהיא האנלוגיה הדו־פוטונית לבליעת ביר–למברט רגילה, ותלוי רק בפער הפס של החומר, במקדם השבירה הליניארי שלו, באנרגיית קיין ובאנרגיית הפוטון. עוצמת האלומה ומשך הפולס אינם מופיעים בו. הכפלת עוצמת הלייזר אינה מכפילה את ה־β של החומר.

הנוסחה שלעיל אכן גורמת ל־β לגדול עם העוצמה ועם משך הפולס, ולכן אינה יכולה לתאר את הגודל הפיזיקלי הזה. גם היחידות שלה אינן מצטמצמות ל־cm/GW: המכפלה GW/cm² × fs ÷ nm² אינה אורך המחולק בהספק. לכן המספר הוא המחשה לחישוב בלבד, והמחשבון מציג אזהרה קבועה שמבהירה זאת.

כדי לקבל β אמיתי דרושה מדידה ישירה, בדרך כלל באמצעות שיטת סריקת Z, או מודל של חומר כגון כלל קנה המידה הדו־פסי מאת שייח־בהאה, הייגן וון סטריילנד, β = K·√E_p·F₂(2ħω/E_g) / (n₀²·E_g³). כאן E_g הוא פער הפס, n₀ הוא מקדם השבירה הליניארי, E_p היא אנרגיית קיין, ו־F₂ היא פונקציה קבועה של היחס 2ħω/E_g. מודל זה משתמש בפרמטרים של החומר שהמחשבון הזה אינו מבקש.

כיצד כל משתנה מתנהג

אורך גל (λ) מופיע בריבוע במכנה, ולכן הערך המחושב פוחת כאשר אורך הגל גדל, בהתאם לתלות הפוכה בריבוע. מעבר מ־800 nm ל־1000 nm, ללא שינוי בעוצמה ובמשך הפולס, מכפיל אותו ב־(800/1000)² = 0.64, כלומר ירידה של 36% ולא ירידה של יותר ממחצית. רוב ניסויי הבליעה של שני פוטונים משתמשים באור בתחום התת־אדום הקרוב, בערך 700–1000 nm, משום שהוא חודר היטב לרקמה ביולוגית. לייזרי טיטניום־ספיר (Ti:Sapphire), הניתנים לכוונון סביב 800 nm, הם מקור האור הנפוץ ביותר מסיבה זו.

עוצמה (I) צריכה להגיע בערך ל־10¹⁰ עד 10¹⁴ W/cm² כדי שבליעה של שני פוטונים תהיה משמעותית במעבדה, והמחשבון מסמן ערכים שמחוץ לטווח הזה. עוצמת אור השמש על פני כדור הארץ היא רק כ־0.1 W/cm², חלשה בהרבה מדי. כדי להגיע לעוצמות אלה דרושים לייזרים פולסיים, המרכזים את האנרגיה שלהם בהתפרצויות קצרות במקום לפזר אותה ברציפות.

משך הפולס (τ) נע בדרך כלל בין 10 ל־1000 פמטו־שניות בניסויי TPA. פולסים קצרים יותר מרכזים כמות אנרגיה נתונה בזמן קצר יותר ויוצרים עוצמת שיא גבוהה יותר, אך הם דורשים גם ציוד לייזר מורכב ויקר יותר.

דוגמה פתורה

שימוש בנוסחה עם פרמטרים אופייניים של לייזר טיטניום־ספיר:

• אורך גל: 800 nm
• עוצמה: 10¹² W/cm²
• משך פולס: 100 fs
• K = 1.5

ראשית, ממירים את העוצמה ל־GW/cm²: 10¹² ÷ 10⁹ = 1000 GW/cm².

לאחר מכן מציבים בנוסחה:

β = 1.5 × (1000 × 100) ÷ 800² = 150,000 ÷ 640,000 = 0.234375, והמחשבון מציג 0.2344 cm/GW

כאשר שומרים על אותה עוצמה ואותו משך פולס אך משנים את אורך הגל ל־1000 nm, מתקבל:

β = 1.5 × (1000 × 100) ÷ 1000² = 150,000 ÷ 1,000,000 = 0.15, ומוצג כ־0.1500 cm/GW

זו ירידה של 36%, בהתאם ליחס ההפוך לריבוע שתואר לעיל.

מה מציג המחשבון

הדף מדווח על מספר אחד, המקדם, ביחידות cm/GW. ערכים שבין 0.001 ל־999 מוצגים בארבע ספרות אחרי הנקודה; כל ערך קטן או גדול יותר עובר לייצוג מדעי, כגון 1.5000 × 10^-5. חלונית מתחת לכך חוזרת על שלבי החישוב בזה אחר זה, עם העוצמה המומרת, כך שניתן לבדוק את התוצאה ידנית.

תיבת אזהרה נמצאת תמיד מעל שדות הקלט ומציינת שהמספר אינו מקדם פיזיקלי מאומת. כל קלט נבדק בנפרד. ערך אפס או ערך שלילי נדחה בשגיאה, וערך חיובי שמחוץ לטווח הניסויי המקובל מפעיל אזהרת טווח, אך עדיין מתקבלת תוצאה. תרשים לצד התוצאה מציג את האלומה נכנסת לדגימה ויוצאת ממנה, כאשר אורך הגל, העוצמה והמקדם הנוכחיים מסומנים.

יישומים של בליעת שני פוטונים

מיקרוסקופיית שני פוטונים. מכיוון שהבליעה מתרחשת רק במקום שבו אלומת הלייזר ממוקדת היטב, טכניקה זו מעוררת מולקולות פלואורסצנטיות רק בנקודה יחידה בעומק הדגימה. היא משמשת רבות להדמיית רקמת מוח חיה, משום שהיא מונעת גרימת נזק או הלבנה של אזורים שמחוץ לנקודת המוקד. וינפריד דנק, ג'יימס סטריקלר ו־וואט וב בנו את מיקרוסקופ שני הפוטונים הראשון באוניברסיטת קורנל בשנת 1990.

טיפול פוטודינמי. אור בתחום התת־אדום הקרוב מגיע עמוק יותר לתוך הרקמה מאור נראה. עירור באמצעות שני פוטונים יכול להפעיל תרופה רגישה לאור רק בנקודת המוקד של הלייזר, וכך לסייע במיקוד בגידולים תוך שמירה על הרקמה הבריאה שמסביב.

אחסון נתונים אופטי ב־3 ממדים. מיקוד לייזר בעומקים שונים בתוך גוש חומר מאפשר לבליעת שני פוטונים לסמן נתונים רק בעומק זה, ובכך להציע צפיפות אחסון גבוהה יותר מתבניות המבוססות על פני השטח, כגון תקליטורי DVD.

מיקרו־ייצור דו־פוטוני. טכניקה זו, המכונה גם פולימריזציה באמצעות שני פוטונים, מקשיחה שרף רגיש לאור רק בנקודת המוקד של הלייזר, ומייצרת מבנים מודפסים ב־3 ממדים עם פרטים קטנים מ־100 ננומטר.

הגבלה אופטית. חומרים בעלי β גבוה נשארים שקופים ברמות אור רגילות, אך בולעים בעוצמה תחת פולס לייזר חזק. תכונה זו משמשת במשקפי מגן ובמסננים לחיישנים, להגנה מפני חשיפה מקרית ללייזר.

כיצד לחשב את מקדם הבליעה באופן ידני

1. המירו את עוצמת האור מ־W/cm² ל־GW/cm² באמצעות חלוקה ב־10⁹.
2. הכפילו את התוצאה במשך הפולס בפמטו־שניות.
3. הכפילו בקבוע K (1.5 במודל המפושט הזה).
4. חלקו באורך הגל בננומטרים, בריבוע.

המחשבון מבצע את אותם ארבעה שלבים ומסמן כל קלט שחורג מהטווח הניסויי האופייני: 400–1200 nm עבור אורך גל, 10¹⁰–10¹⁴ W/cm² עבור עוצמה, ו־10–1000 fs עבור משך פולס. ערכים שמחוץ לטווחים אלה עדיין מפיקים מספר.

שאלות נפוצות

מהי בליעה של שני פוטונים? זהו תהליך שבו מולקולה בולעת שני פוטונים של אור כמעט בו־זמנית, במקום אחד, כדי להגיע למצב אנרגיה גבוה יותר. היא נעשית משמעותית רק בעוצמת אור גבוהה מאוד.

מה מודד המקדם β? באופטיקה, β מודד את עוצמת בליעת שני הפוטונים של חומר, ביחידות cm/GW. β גבוה יותר פירושו שהחומר בולע בעוצמה רבה יותר בעוצמה נתונה. הערכים שפורסמו משתרעים על טווח רחב: סיליקה מותכת היא בערך 10⁻⁶ cm/GW בסביבת 800 nm, בעוד שארסניד גליום הוא בערך 26 cm/GW ב־1064 nm. הנתון שהדף מציג אינו אחד מהערכים המדודים האלה.

מדוע בליעה של שני פוטונים דורשת אור כה עוצמתי? שני פוטונים חייבים לפגוע במולקולה בהפרש של פמטו־שניות זה מזה, דבר שסבירותו נמוכה מאוד ברמות אור רגילות. לייזרים פולסיים מרכזים את האנרגיה בהתפרצויות קצרות, כדי שההסתברות תהיה מספקת לתצפית ולשימוש.

כיצד אורך הגל משפיע על התוצאה במחשבון הזה? התוצאה יורדת ככל שריבוע אורך הגל גדל. מעבר מ־800 ננומטר ל־1000 ננומטר, כאשר שאר ההגדרות אינן משתנות, מפחית אותה ב־36%, מ־0.234375 ל־0.15 בדוגמה המחושבת שלעיל.

האם ניתן להשתמש בנוסחה זו עבור בליעה של שלושה פוטונים? לא. בליעה של שלושה פוטונים מתוארת באמצעות מקדם משלה, וההספק הנבלע גדל בהתאם לחזקה השלישית של העוצמה, ולא לריבוע שלה. דרוש לה מודל נפרד.

עד כמה הנוסחה המפושטת מדויקת? היא אינה מדויקת, וגם לא נועדה להיות כזו. אין בה תכונות של חומר, והיחידות שלה אינן מצטמצמות ל־cm/GW, ולכן אין לצטט את הפלט שלה כמקדם עבור חומר כלשהו. לעבודה ממשית יש להשתמש בערך מדוד או במודל של חומר, כגון הביטוי הדו־פסי של שייח־בהאה.

האם מקדם אמיתי משתנה כאשר מגבירים את עוצמת הלייזר? לא. β הוא תכונה של החומר ושל אורך הגל, ולכן נשאר זהה כאשר העוצמה ומשך הפולס משתנים. מה שמשתנה הוא כמות האור שנבלעת בחומר, משום שבתהליך בליעת שני פוטונים נגרעת אנרגיה ביחס לריבוע העוצמה.

מקורות

1. גפרט־מאייר, מ. (1931). "Über Elementarakte mit zwei Quantensprüngen." Annalen der Physik, 401(3), 273–294.
2. קייזר, ו., וגארט, ק. ג'. ב. (1961). "עירור באמצעות שני פוטונים ב־CaF₂: Eu²⁺." Physical Review Letters, 7(6), 229–231.
3. דנק, ו., סטריקלר, ג'. ה., וב, ו. ו. (1990). "מיקרוסקופיית פלואורסצנציה בסריקת לייזר באמצעות שני פוטונים." Science, 248(4951), 73–76.
4. רומי, מ., ופרי, ג'. ו. (2010). "בליעה של שני פוטונים: סקירה של מדידות ועקרונות." Advances in Optics and Photonics, 2(4), 451–518.
5. שייח־בהאה, מ., הייגן, ד. ג'., וון סטריילנד, א. ו. (1990). "דיספרסיה וקנה מידה לפי פער הפס של אפקט קר האלקטרוני במוצקים הקשור לבליעה של שני פוטונים." Physical Review Letters, 65(1), 96–99.
6. שייח־בהאה, מ., האטצ'ינגס, ד. ק., הייגן, ד. ג'., וון סטריילנד, א. ו. (1991). "דיספרסיה של שבירה לא־ליניארית אלקטרונית קשורה במוצקים." IEEE Journal of Quantum Electronics, 27(6), 1296–1309.