מחשבון אורך גל ותדירות (v = f λ)

מחשבון אורך גל ותדירות

אורך הגל הוא המרחק משיא גל אחד לשיא הבא. התדירות היא מספר המחזורים העוברים בנקודה קבועה בכל שנייה. שני הגדלים קשורים זה לזה באמצעות מהירות התקדמות הגל, ולכן מחשבון זה מקבל כל שניים מבין אורך הגל, התדירות ומהירות הגל ומחשב את השלישי.

מה עושה המחשבון

בחרו איזה מבין שלושת הגדלים לחשב. שני הגדלים האחרים יהפכו לשדות הקלט. הדף ממיר את שתי הקלטים ליחידות בסיס, מחיל פעם אחת את קשר הגל וממיר את התשובה בחזרה ליחידה שנבחרה עבורה. אותה תשובה מוצגת גם בכל יחידה אחרת מאותו סוג, וכפתור העתקה מעתיק ללוח את כל שלושת הגדלים.

כל מקדם מגיע ממאגר היחידות המשותף של האתר, ולכן המטר המשמש כאן הוא אותו מטר המשמש בכל דף אחר. התוצאות מוצגות בעשר ספרות משמעותיות. ערך הנמוך מ־0.0001, או 1,000,000,000 ומעלה, מוצג בסימון מדעי.

הנוסחה של אורך הגל והתדירות

גל עובר בדיוק אורך גל אחד במחזור אחד. בשנייה אחת הוא משלים $f$ מחזורים, ולכן הוא עובר מרחק של $f$ אורכי גל:

$v = f \lambda$

כאשר $v$ היא מהירות הגל במטרים לשנייה, $f$ היא התדירות בהרץ (מחזורים לשנייה), ו־$\lambda$ הוא אורך הגל במטרים.

אותו קשר, לאחר סידור מחדש, נותן את שתי התשובות האחרות:

$\lambda = \frac{v}{f} \qquad\qquad f = \frac{v}{\lambda}$

כל סידור הוא כפל יחיד או חילוק יחיד, ולכן אין כאן הצטברות של סחיפה כפי שקורה בשרשרת ארוכה של חיבורים.

עבור אור העובר בחלל ריק, מהירות הגל היא מהירות האור:

$\lambda = \frac{c}{f}, \qquad c = 299\,792\,458\ \mathrm{m/s}$

כאשר $c$ היא מהירות האור בריק. שדה מהירות הגל מתחיל בערך זה וניתן לשנותו לכל ערך אחר. קול באוויר יבש בקרבת 20 °C נע במהירות של כ־343 m/s, ואור בתוך זכוכית רגילה נע במהירות של בערך שני שלישים ממהירותו בריק.

אילו קבועים מדויקים

המספרים העומדים מאחורי ההמרות האלה הם הגדרות שהוסכמו על ידי גופי תקינה, ולא מדידות שניסוי טוב יותר עשוי לשנות.

מהירות הקול אינה קבועה מסוג זה. היא משתנה בהתאם לטמפרטורה ולגז, ולכן הדף מתייחס אליה כאל מספר שהקורא מזין ולא כאל מספר שהוא מגדיר.

דוגמה מחושבת: אורך גל של שידור רדיו FM

תחנה משדרת בתדר 100 מגה־הרץ. מהירות הגל היא מהירות האור, מכיוון שגלי רדיו באוויר נעים במהירות הקרובה מאוד למהירותם בריק.

100 מגה־הרץ הם 100,000,000 Hz. חלוקת 299,792,458 ב־100,000,000 נותנת 2.99792458 m. החלוקה הזו רק מזיזה את הנקודה העשרונית, ולכן התשובה מדויקת, בלי עיגול. הדף מציג 2.99792458 m, ואת אותו אורך גל גם כ־299.792458 cm, 2,997.92458 mm וכ־2.99792458E9 ננומטר.

הרצה בכיוון ההפוך בודקת את הסידור. הכפלת 2.99792458 m ב־100 מגה־הרץ מחזירה 299,792,458 m/s, את המהירות שהוזנה.

דוגמאות נוספות

אורכי הגל של גלי רדיו מתקצרים ככל שהתדירות עולה, ולכן אות בתדר 100 מגה־הרץ זקוק לאנטנה באורך של כמטר, בעוד שאות בתדר 2.4 גיגה־הרץ נכנס בתוך טלפון.

כיצד החישוב מסודר

מחשבים מאחסנים את המספרים האלה בבינארי, ולרוב השברים העשרוניים אין ייצוג בינארי מדויק. עשר ספרות משמעותיות מספיקות כדי להציג את השגיאה הזו, ולכן הדף בנוי כך שהיא תישאר מחוץ לתשובה ככל האפשר.

רק הגודל שחושב מומר. שני הערכים שהוקלדו מוצגים בדיוק כפי שהוקלדו. שליחה של ערך ליחידת בסיס והחזרתו משם מכפילה ומחלקת באותו מקדם, ולכן עשויה לשנות את הספרה האחרונה שלו: 7.7 km/h חוזר ממטרים לשנייה כ־7.699999999999999.

חלק מהקלטים אינם יכולים להגיע למספר מדויק בשום סידור. אורך גל של 700 ננומטר נשמר כ־0.0000007000000000000001 m במקום כ־0.0000007 m, ולכן התדירות מתקבלת כ־428,274,939,999,999.94 Hz במקום הערך המדויק 428,274,940,000,000 Hz. בעשר ספרות משמעותיות שניהם מוצגים כ־428.27494 טרה־הרץ, וזו התשובה הנכונה. הזנת 0.1 גיגה־הרץ ועוד 0.2 גיגה־הרץ נותנת 300,000,000.00000006 Hz, והדף מדווח על הערך שהתקבל במקום לסדר אותו למספר העגול שאיש לא הזין.

עשר ספרות הן גם הרוחב המצומצם ביותר שמציג את מהירות האור בלי לעגל אחת מתשע הספרות שלה.

מה המחשבון מסרב לקבל

תיבת קלט מקבלת כל מה שהוקלד או הודבק בה, וקישור משותף יכול לשאת כל ערך, ולכן הבדיקות מתבצעות בקוד החישוב ולא בטופס.

מה הדף אינו מדגמן

הוא מחיל מהירות אחת על הגל כולו. חומרים אמיתיים הם דיספרסיביים: מהירות האור בזכוכית, ומהירות הקול בחומרים מסוימים, משתנות מעט בהתאם לתדירות, וכך מנסרה מפרידה אור לבן לצבעים. מספר יחיד אינו יכול להציג זאת, ולכן הדף מדווח על אורך הגל המתאים למהירות היחידה שניתנה לו.

הקשר גם אינו מבחין בין מהירות מופע למהירות חבורה, השונות בתוך תווך דיספרסיבי. עבור גל בריק, או עבור קול באוויר בתנאים רגילים, השתיים זהות והתשובה תקפה.

שאלות נפוצות

כיצד ממירים תדירות לאורך גל? מחלקים את מהירות הגל בתדירות. עבור גל רדיו, המהירות היא מהירות האור, 299,792,458 m/s. בתדר 100 מגה־הרץ אורך הגל הוא 2.99792458 m.

כיצד ממירים אורך גל לתדירות? מחלקים את מהירות הגל באורך הגל. אור באורך גל של 700 ננומטר נותן תדירות של 428.27494 טרה־הרץ.

מהו אורך הגל של אות Wi‑Fi בתדר 2.4 גיגה־הרץ? כ־12.5 cm. חלוקת 299,792,458 m/s ב־2,400,000,000 Hz נותנת 0.1249135242 m, שהדף מציג כ־12.49135242 cm.

האם מהירות האור מדויקת? כן. מאז 1983 המטר מוגדר באמצעות השנייה ובאמצעות הערך 299,792,458 m/s, וה־SI של 2019 שמר על ההגדרה הזו. המספר נקבע בהסכמה, ולכן שום מדידה עתידית לא תוכל לשנותו.

האם זה עובד גם עבור קול וגם עבור אור? כן. הקשר מתקיים עבור כל גל מתקדם. יש להחליף את מהירות הגל במהירות הקול בחומר, הקרובה ל־343 m/s עבור אוויר יבש בטמפרטורה של 20 °C, והדף יחשב את אורך גל הקול. מהירות זו עולה עם הטמפרטורה, ולכן זהו ערך שיש להזין ולא קבוע.

מדוע 100 מגה־הרץ נותנים בדיוק 2.99792458 m? מכיוון שחלוקה ב־100 מגה־הרץ רק מזיזה את הנקודה העשרונית של ערך מוגדר מדויק. מהירות האור היא בדיוק 299,792,458 m/s, ולכן אורך הגל הוא בדיוק 2.99792458 m, ללא עיגול באף שלב.