דלג לתוכן
🛠️
Whiz Tools

מחשבון מעגל היחידה: סינוס, קוסינוס וטנגנס מדויקים

הזינו זווית במעלות או ברדיאנים וקבלו את הנקודה שלה על מעגל היחידה, את הסינוס, הקוסינוס, הטנגנס, זווית הייחוס והרביע. ערכים מדויקים לזוויות מיוחדות.

Unit Circle Calculator

Enter an angle in degrees or radians to get its point on the unit circle, its sine, cosine and tangent, its reference angle and its quadrant. The standard angles are answered exactly.

The angle to place on the circle, in the unit chosen below. Any value is allowed, including a negative one and one past a full turn.

Point on the circle (x, y)
(√3/2, 1/2)

Sine, cosine and tangent

cos θ (the x coordinate)
√3/2
sin θ (the y coordinate)
1/2
tan θ
√3/3
This is one of the sixteen standard angles, so the values are exact rather than rounded. As decimals: cos θ = 0.8660254, sin θ = 0.5, tan θ = 0.57735027.

Where it lands

Quadrant or axis
Quadrant I
Reference angle
30°
Reference angle in radians
π/6rad

The angle

Angle in degrees
30°
Angle in radians
0.52359878rad
Folded into one turn
30°
Folded angle in radians
π/6rad
The unit circle has radius 1 and is centred on the origin. A point on it is (cos θ, sin θ), so the coordinates and the two function values are the same pair of numbers. The tangent is sin θ divided by cos θ, which has no value where cos θ is 0.
מחשבון טעינה...
📚

תיעוד

מחשבון מעגל היחידה

מעגל היחידה הוא מעגל ברדיוס 1 המשורטט סביב ראשית הצירים של גרף. מחשבון מעגל היחידה מקבל זווית אחת ומדווח על נקודת החיתוך של הזווית עם המעגל: הנקודה (x, y), הסינוס, הקוסינוס והטנגנס, זווית הייחוס והרביע. דף זה קורא זווית במעלות או ברדיאנים ומספק ערכים מדויקים כגון √3/2 בשש־עשרה הזוויות הסטנדרטיות.

מה עושה המחשבון

המשתמש מזין זווית אחת ובוחר מעלות או רדיאנים. הדף מחזיר:

  • את נקודת החיתוך של הזווית עם המעגל
  • cos θ, sin θ ו־tan θ
  • את זווית הייחוס, במעלות וברדיאנים
  • את הרביע, או את הציר כאשר הזווית נופלת עליו
  • את הזווית בשתי היחידות, ואת אותה זווית כשהיא מקופלת לסיבוב יחיד

בשש־עשרה הזוויות הסטנדרטיות התשובות מודפסות בצורות סגורות מדויקות, כשהערכים העשרוניים מוצגים מתחתיהן. כל זווית אחרת מוצגת בשמונה ספרות משמעותיות. רק התצוגה מעוגלת.

נוסחת מעגל היחידה

זוויות נמדדות נגד כיוון השעון מציר ה־x החיובי. קרן המשורטטת בזווית θ חוצה את המעגל בנקודה אחת, ושתי הקואורדינטות של נקודה זו הן הקוסינוס והסינוס:

(x,y)=(cos⁡θ,sin⁡θ)(x, y) = (\cos\theta, \sin\theta)

כאשר xx היא הקואורדינטה האופקית, yy היא הקואורדינטה האנכית, ו־θ\theta היא הזווית.

הרדיוס הוא 1, ולכן הקואורדינטות ושני ערכי הפונקציות הם אותו זוג מספרים בשני שמות. זו הסיבה שהמעגל משורטט ברדיוס 1 ולא בכל גודל אחר. הטנגנס נבנה מאותו זוג:

tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}

כל נקודה על המעגל מקיימת גם את משפט פיתגורס, המיושם על המשולש ישר־הזווית שאורך צלעותיו xx ו־yy ואורך היתר שלו 1:

cos⁡2θ+sin⁡2θ=1\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1

מעלות ורדיאנים

הדף מקבל כל אחת מהיחידות ומדווח על שתיהן. השתיים קשורות זו לזו בכך שחצי סיבוב שווה ל־π רדיאנים:

\qquad \theta_{\mathrm{deg}} = \theta_{\mathrm{rad}} \times \frac{180}{\pi}$$ כאשר $\theta_{\mathrm{deg}}$ היא הזווית במעלות ו־$\theta_{\mathrm{rad}}$ היא אותה זווית ברדיאנים. ### קיפול לסיבוב יחיד זווית יכולה להיות שלילית ויכולה לעבור סיבוב שלם. הנקודה על המעגל חוזרת על עצמה כל 360°, ולכן הדף מקפל תחילה את הזווית לטווח מ־0° ועד, אך לא כולל, 360°: $$\theta_0 = ((\theta \bmod 360) + 360) \bmod 360$$ כאשר $\theta$ היא הזווית שהוזנה, במעלות, ו־$\theta_0$ הוא אותו כיוון כשהוא נכתב בתוך סיבוב יחיד. 750° מתקפלת ל־30°, ו־−30° מתקפלת ל־330°. הקיפול מתבצע במעלות, שבהן השארית מדויקת. ### זווית הייחוס והרביע זווית הייחוס היא הזווית החדה בין הקרן לבין ציר ה־x. היא לעולם אינה גדולה מ־90°: $$\theta_{\mathrm{ref}} = \begin{cases} \theta_0 & \text{if } \theta_0 \le 90 \\ 180 - \theta_0 & \text{if } \theta_0 \le 180 \\ \theta_0 - 180 & \text{if } \theta_0 \le 270 \\ 360 - \theta_0 & \text{אחרת} \end{cases}$$ כאשר $\theta_0$ היא הזווית המקופלת במעלות. הגודל של הסינוס, הקוסינוס והטנגנס תלוי רק בזווית הייחוס. הרביע קובע את הסימנים. | רביע | זווית מקופלת | cos | sin | tan | |---|---|---|---|---| | I | 0° עד 90° | + | + | + | | II | 90° עד 180° | − | + | − | | III | 180° עד 270° | − | − | + | | IV | 270° עד 360° | + | − | − | הזוויות 0°, 90°, 180° ו־270° נמצאות על ציר. רביע הוא האזור הפתוח שבין שני צירים, ולכן אף אחת מארבע הזוויות האלה אינה נמצאת בתוך רביע, והדף מציין את הציר במקום לבחור ברביע סמוך. ### שש־עשרה הזוויות הסטנדרטיות לחמש זוויות ייחוס יש צורות סגורות מדויקות. | זווית ייחוס | cos | sin | tan | |---|---|---|---| | 0° (0) | 1 | 0 | 0 | | 30° (π/6) | √3/2 | 1/2 | √3/3 | | 45° (π/4) | √2/2 | √2/2 | 1 | | 60° (π/3) | 1/2 | √3/2 | √3 | | 90° (π/2) | 0 | 1 | אינו מוגדר | שיקוף השורות האלה בשלושת הרביעים האחרים נותן שש־עשרה זוויות: 0, 30, 45, 60, 90, 120, 135, 150, 180, 210, 225, 240, 270, 300, 315 ו־330 מעלות. הדף יוצר אותן על ידי סיבוב הנקודות של הרביע הראשון ברבע סיבוב בכל פעם, במקום להעתיק את הטבלה ארבע פעמים, משום שהעתקה היא המקום שבו עלול להיכנס סימן שגוי. גם ל־15°, 75° ו־105° יש צורות סגורות, אך הן בעלות שני איברים, כגון 2 − √3. הן אינן שייכות למשפחה זו, ולכן ניתנות כערכים עשרוניים. 15° נותנת cos 0.96592583, sin 0.25881905 ו־tan 0.26794919. ### דוגמה: 210 מעלות 210° גדולה מ־180° וקטנה מ־270°, ולכן היא נמצאת ברביע III. חיסור 180 משאיר זווית ייחוס של 30°. בזווית ייחוס של 30° שלושת הגדלים הם √3/2, 1/2 ו־√3/3. ברביע III שתי הקואורדינטות שליליות, ולכן הנקודה היא (−√3/2, −1/2). הטנגנס הוא מספר שלילי מחולק במספר שלילי, ולכן הוא נשאר חיובי, √3/3. ברדיאנים הזווית היא 7π/6 וזווית הייחוס היא π/6. כערכים עשרוניים הדף מציג cos −0.8660254, sin −0.5 ו־tan 0.57735027. 570° ו־−150° נותנות את אותן תשובות, משום ששתיהן מתקפלות ל־210°. ### אילו קבועים מדויקים | קבוע | ערך | מדויק? | מקור | |---|---|---|---| | מעלות בסיבוב יחיד | 360 | מדויק לפי הגדרה | ISO 80000-3 | | רדיאנים בסיבוב יחיד | 2π | מדויק לפי הגדרה | ISO 80000-3; חוברת SI | | cos 30°, sin 60° | √3/2 | מדויק | NIST DLMF §4.14 | | cos 45°, sin 45° | √2/2 | מדויק | NIST DLMF §4.14 | | cos 60°, sin 30° | 1/2 | מדויק | NIST DLMF §4.14 | | tan 90°, tan 270° | אין ערך | מדויק, נקודת קוטב | NIST DLMF §4.15 | π הוא מספר אי־רציונלי, ולכן אין לו צורה עשרונית או בינארית מדויקת, וכל ערך שלו שנשמר מעוגל. הדף מונע מהעיגול הזה להיכנס לתשובות בשתי דרכים. הקיפול מתבצע במעלות, שבהן 360 מתחלק ללא שארית. והזוויות הסטנדרטיות נקראות מטבלת הצורות הסגורות שלמעלה, לעולם לא מסינוס בנקודה צפה. ### קריאת זווית שהוזנה ברדיאנים קלט ברדיאנים הוא כבר ערך עשרוני מעוגל. π/2 מוזן כ־1.5707963267948966, והמרה חזרה של ערך זה נותנת זווית המרוחקת בערך עשירית טריליון המעלה מ־90, ולא בדיוק 90. לכן הדף קורא כל זווית הנמצאת במרחק של עד מיליונית מעלה מזווית סטנדרטית כאילו היא אותה זווית. הסבילות קובעת באיזו טבלה משתמשים; היא לעולם אינה מרחיבה תשובה. 30.001° אינה הופכת ל־30°. זוויות הגדולות ממיליארד מעלות נדחות. זו מגבלה של האריתמטיקה, לא של הגאומטריה: הפער בין המספרים שמחשב יכול לשמור גדל עם גודלם, ומעבר לכארבעה וחצי מיליארד מעלות הפער רחב יותר מסבילות של מיליונית מעלה, ולכן הקיפול כבר אינו שומר די פרטים כדי לזהות זווית. מיליארד משאיר מרווח מתחת לנקודה זו. ### שאלות נפוצות **למה משמש מעגל היחידה?** הוא הופך סינוס וקוסינוס לקואורדינטות. קריאת נקודה אחת מן המעגל נותנת את שני הערכים בבת אחת, והאיור מראה מדוע הם חוזרים על עצמם בכל סיבוב שלם ומדוע הסימנים שלהם משתנים מרביע לרביע. **מהו הערך המדויק של sin 30°?** חצי. cos 30° הוא √3/2, בערך 0.8660254, ו־tan 30° הוא √3/3, בערך 0.57735027. **מדוע tan 90° אינו מוגדר?** הטנגנס הוא הסינוס מחולק בקוסינוס, ו־cos 90° הוא 0. לחלוקה באפס אין תשובה. הדף מזהה את הקוטב לפי הזווית, ולא על ידי בדיקה אם טנגנס מחושב חזר כערך גדול, משום שטנגנס תלול מעט לפני 90° הוא מספר רגיל. **מהי זווית ייחוס?** זו הזווית החדה בין הקרן לבין ציר ה־x, ולכן היא תמיד נמצאת בין 0° ל־90°. ל־150°, 210° ו־330° יש זווית ייחוס של 30°, ולכן הסינוס והקוסינוס שלהן חולקים את אותם שלושה גדלים ונבדלים רק בסימן. **האם זווית שלילית עובדת?** כן. זווית שלילית מסתובבת בכיוון השעון. −30° מצביעה לאותו כיוון כמו 330°, ולכן הדף מחזיר את הנקודה (√3/2, −1/2) ואת הרביע IV. **מדוע הדף מציג את הזווית פעמיים?** 750° ו־30° נפגשות עם המעגל באותה נקודה, אך אינן אותו סיבוב. הדף מציג שוב את הזווית כפי שהוזנה, כשהיא מומרת ליחידה האחרת, ומציג לצידה את הזווית המקופלת.