מחשבון ערך קריטי | מבחן Z, מבחן t, חי-בריבוע

ערך קריטי הוא נקודת החיתוך בהתפלגות הסתברות, המסמנת את הקצה של "אזור הדחייה" במבחן השערות. אם סטטיסטי המבחן חורג מהערך הקריטי, התוצאה נחשבת מובהקת סטטיסטית, והשערת האפס נדחית. מחשבון זה מוצא ערכים קריטיים לשלושת המבחנים הנפוצים ביותר: מבחן Z, מבחן t ומבחן כי-בריבוע.

מהו ערך קריטי?

בסטטיסטיקה, חוקרים מתחילים לעיתים קרובות בהשערת אפס, כלומר בהנחה פשוטה שלא מתרחש דבר חריג (לדוגמה, שלתרופה חדשה אין השפעה). סטטיסטי המבחן מחושב מנתוני המדגם, ומושווה לערך קריטי כדי לקבוע אם הנתונים מספקים ראיות מספיקות נגד השערת האפס.

הערך הקריטי תלוי בשלושה דברים: בחירת המבחן, רמת המובהקות (הנכתבת כ־α, האות היוונית אלפא), ובשאלה אם המבחן הוא חד-זנבי או דו-זנבי. רמת המובהקות היא ההסתברות לדחות בטעות השערת אפס נכונה, ולעיתים קרובות היא נקבעת ל־0.05 (5%) או ל־0.01 (1%).

מבחן חד-צדדי בודק השפעה בכיוון יחיד, כגון "גדול מ־". יש לו ערך קריטי אחד. מבחן דו-צדדי בוחן השפעה אפשרית בכל אחד משני הכיוונים, ויש לו שני ערכים קריטיים, אחד בכל צד של ההתפלגות.

כיצד לחשב ערך קריטי

1. בחרו את המבחן: מבחן Z (מדגמים גדולים או שונות אוכלוסייה ידועה), מבחן t (מדגמים קטנים עם שונות לא ידועה) או מבחן כי-בריבוע (נתונים קטגוריאליים או מבחן טיב התאמה).
2. בחרו את סוג הזנב: חד-זנבי או דו-זנבי.
3. בחרו את רמת המובהקות α, מספר בין 0 ל־1. אפשרויות נפוצות הן 0.10, 0.05 ו־0.01.
4. עבור מבחן t או מבחן כי-בריבוע, הזינו את דרגות החופש (df). במבחן t, df שווה לגודל המדגם פחות 1. במבחן כי-בריבוע לטיב התאמה, df שווה למספר הקטגוריות פחות 1.
5. מצאו בטבלה (או חשבו) את הערך שחותך את שטח הזנב שנבחר מתחת לעקומת ההתפלגות. זהו הערך הקריטי.

נוסחאות לערכים קריטיים

כל נוסחה משתמשת בהופכי של פונקציית התפלגות מצטברת: הערך של x שעבורו השטח מתחת לעקומה עד x שווה להסתברות יעד p.

נוסחת מבחן Z

$Z_c = \Phi^{-1}(1 - \alpha) \quad \text{(חד-זנבי)}$ $Z_c = \Phi^{-1}\left(1 - \frac{\alpha}{2}\right) \quad \text{(דו-זנבי)}$

Φ⁻¹ הוא ההופכי של פונקציית ההתפלגות המצטברת הנורמלית הסטנדרטית.

נוסחת מבחן t

$t_c = t^{-1}(1 - \alpha,\ df) \quad \text{(חד-זנבי)}$ $t_c = t^{-1}\left(1 - \frac{\alpha}{2},\ df\right) \quad \text{(דו-זנבי)}$

t⁻¹(p, df) הוא ההופכי של פונקציית ההתפלגות המצטברת של התפלגות t עם df דרגות חופש.

נוסחת מבחן כי-בריבוע

$\chi^2_c = \chi^2_{1-\alpha,\ df} \quad \text{(חד-זנבי)}$ $\chi^2_{\text{תחתון}} = \chi^2_{\alpha/2,\ df}, \qquad \chi^2_{\text{עליון}} = \chi^2_{1-\alpha/2,\ df} \quad \text{(דו-זנבי)}$

התפלגות כי-בריבוע מקבלת ערכים חיוביים בלבד, ולכן שני הערכים הקריטיים חיוביים, והתחתון מביניהם קטן מהעליון.

דוגמה: ערך קריטי במבחן Z

צוות בקרת איכות מעוניין בערך קריטי של מבחן Z חד-זנבי ברמת α = 0.05.

$Z_c = \Phi^{-1}(1 - 0.05) = \Phi^{-1}(0.95) \approx 1.6449$

כל סטטיסטי מבחן הגדול מ־1.6449 נמצא באזור הדחייה.

דוגמה: ערך קריטי במבחן t

חוקר עורך ניסוי בהשתתפות 20 משתתפים, ולכן df = 19. הוא מעוניין בערך קריטי דו-זנבי ברמת α = 0.01.

$t_c = t^{-1}(1 - 0.005,\ 19) = t^{-1}(0.995,\ 19) \approx 2.8609$

אזורי הדחייה הם t < -2.8609 ו־t > 2.8609.

דוגמה: ערכים קריטיים במבחן כי-בריבוע

אנליסט משווה ספירות נצפות וספירות צפויות על פני 5 קטגוריות, ולכן df = 4. הוא מעוניין בערכים קריטיים דו-זנביים ברמת α = 0.05.

$\chi^2_{\text{תחתון}} = \chi^2_{0.025,\ 4} \approx 0.4844$ $\chi^2_{\text{עליון}} = \chi^2_{0.975,\ 4} \approx 11.1433$

סטטיסטי כי-בריבוע הנמוך מ־0.4844 או הגבוה מ־11.1433 יימצא באזור הדחייה.

ערכים קריטיים נפוצים

ככל שדרגות החופש גדלות, הערכים הקריטיים של התפלגות t מתקרבים לערכים המקבילים של מבחן Z, משום שהתפלגות t מתקרבת להתפלגות הנורמלית.

שאלות נפוצות

למה משמש ערך קריטי? הוא קובע את הגבול להחלטה אם סטטיסטי המבחן קיצוני דיו כדי לדחות את השערת האפס. אם הסטטיסטי חוצה את הערך הקריטי, התוצאה מובהקת סטטיסטית ברמת ה־α שנבחרה.

מה ההבדל בין ערך קריטי חד-זנבי לערך קריטי דו-זנבי? מבחן חד-זנבי מחפש השפעה בכיוון אחד ויש לו ערך קריטי יחיד. מבחן דו-זנבי מחפש השפעה בשני הכיוונים ויש לו שני ערכים קריטיים, הממוקמים באופן סימטרי סביב המרכז במבחן Z ובמבחן t. עבור אותו α, ערך קריטי דו-זנבי גדול יותר בערכו המוחלט מערך חד-זנבי, משום שאותה הסתברות כוללת מתחלקת בין שני זנבות במקום בין זנב אחד.

מתי יש להשתמש במבחן Z במקום במבחן t? משתמשים במבחן Z כאשר שונות האוכלוסייה ידועה או כאשר המדגם גדול, בדרך כלל 30 תצפיות או יותר. במבחן t משתמשים במדגמים קטנים יותר כאשר שונות האוכלוסייה אינה ידועה. ככל שגודל המדגם גדל, הערכים הקריטיים של מבחן t מתכנסים לערכים הקריטיים של מבחן Z.

האם ערך קריטי יכול להיות שלילי? כן. התפלגויות מבחן Z ומבחן t סימטריות סביב אפס, ולכן במבחן דו-זנבי יש ערך קריטי שלילי אחד וערך קריטי חיובי אחד. ערכים קריטיים של כי-בריבוע תמיד חיוביים, משום שהתפלגות כי-בריבוע מוגדרת רק עבור ערכים של אפס או יותר.

כיצד דרגות החופש משפיעות על ערך קריטי? דרגות החופש מודדות כמה מידע בלתי תלוי יש בנתונים, ובדרך כלל שוות לגודל המדגם פחות מספר הפרמטרים שכבר נאמדו. מספר קטן יותר של דרגות חופש יוצר התפלגויות רחבות יותר, בעלות זנבות כבדים יותר, וערכים קריטיים גדולים יותר. מספר גדול יותר של דרגות חופש מקרב את התפלגות t ואת התפלגות כי-בריבוע להתפלגות הנורמלית.

מהו הערך הקריטי המתאים לרמת סמך של 95%? רמת סמך של 95% משתמשת ב־α = 0.05. במבחן Z דו-צדדי, הערכים הקריטיים הם ±1.9600. במבחן Z חד-צדדי, הערך הקריטי הוא 1.6449.

היסטוריה

קרל פירסון הציג את מבחן כי-בריבוע בשנת 1900. ויליאם סילי גוסט, שפרסם בשם "Student", פיתח את התפלגות t בשנת 1908 כדי לטפל במדגמים קטנים במבשלת גינס. רונלד פישר ניסח באופן פורמלי את בדיקת המובהקות ואת הערכים הקריטיים בשנות ה־1920 בספרו שיטות סטטיסטיות לחוקרי מחקר. לפני עידן המחשבים, חוקרים חיפשו ערכים קריטיים בטבלאות מודפסות; כיום מחשבונים ותוכנות מחשבים אותם ישירות מנוסחאות ההתפלגות.

מקורות

1. פירסון, ק. (1900). "On the criterion that a given system of deviations... is such that it can be reasonably supposed to have arisen from random sampling." Philosophical Magazine, סדרה 5, 50(302), 157–175.
2. Student [Gosset, W. S.] (1908). "The probable error of a mean." Biometrika, 6(1), 1–25.
3. פישר, ר. א. (1925). Statistical Methods for Research Workers. אדינבורו: Oliver & Boyd.
4. מדריך NIST/SEMATECH המקוון לשיטות סטטיסטיות, «ערכים קריטיים».