מחשבון מבחן פישר המדויק - כלי סטטיסטי חינמי

מהו המבחן המדויק של פישר?

המבחן המדויק של פישר הוא שיטה סטטיסטית הבודקת אם שני משתנים קטגוריים קשורים זה לזה, באמצעות נתונים המסודרים בטבלה בגודל 2×2. הוא מחשב הסתברות מדויקת, הנקראת ערך-p, במקום קירוב. לכן הוא שימושי כאשר המדגם קטן.

המבחן משווה את השכיחויות בשתי שורות ובשתי עמודות, למשל מטופלים שקיבלו טיפול לעומת מטופלי ביקורת, שהחלימו או לא החלימו. בטבלה בגודל 2×2 יש ארבעה תאים, המסומנים בדרך כלל A, B, C ו-D, וכן סכומים לפי שורות ולפי עמודות.

המבחן המדויק של פישר לעומת מבחן כי-בריבוע

גם מבחן כי-בריבוע בודק קשר בין שני משתנים קטגוריים, אך הוא מסתמך על קירוב שפועל היטב רק כאשר השכיחויות בתאים גדולות מספיק. כלל אצבע נפוץ הוא שאם שכיחות צפויה כלשהי בתא בטבלה נמוכה מ-5, קירוב כי-בריבוע נעשה לא מהימן, ואז המבחן המדויק של פישר הוא הבחירה העדיפה. המבחן המדויק של פישר פועל בכל גודל מדגם, אך הוא מדויק מבחינה מתמטית ולא מקורב, וזהו היתרון העיקרי שלו במדגמים קטנים.

כיצד מחשבים את המבחן המדויק של פישר

המבחן משתמש בהתפלגות ההיפרגאומטרית, המתארת את ההסתברות לשליפת מספר מסוים של פריטים מקבוצה, בלי להחזיר אותם. בהינתן הסכומים לפי שורות ולפי עמודות של טבלה, ההתפלגות ההיפרגאומטרית נותנת את ההסתברות לכל סידור מסוים של ארבע השכיחויות בתאים.

נוסחת ההסתברות

עבור טבלה שהתאים שלה הם A, B, C, D, שסכומי השורות שלה הם r₁ = A + B ו-r₂ = C + D, שסכומי העמודות שלה הם c₁ = A + C ו-c₂ = B + D, ושגודל המדגם הכולל הוא n = A + B + C + D, ההסתברות של אותה טבלה בדיוק היא:

$P = \frac{r_1!\, r_2!\, c_1!\, c_2!}{A!\, B!\, C!\, D!\, n!}$

כאן "!" מציין עצרת: 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1.

ערך-p חד-זנבי

ערך-p חד-זנבי מחבר את ההסתברות של הטבלה שנצפתה עם ההסתברויות של כל טבלה אחרת בעלת אותם סכומי שורות ועמודות, שמציגה קשר חזק באותה מידה או קשר חזק יותר באותו כיוון. ה"כיוון" נקבע באמצעות השוואת התא A לערך שהיה לו אילו שני המשתנים לא היו קשורים, הנקרא הערך הצפוי שלו: E(A) = r₁c₁ / n.

• אם A שווה ל-E(A) או גדול ממנו, הקשר נוטה להיות חיובי, והסכימה מתבצעת על כל ערך אפשרי של התא A, מהערך שנצפה ועד לערך המרבי האפשרי שלו.
• אם A קטן מ-E(A), הקשר נוטה להיות שלילי, והסכימה מתבצעת מהערך המינימלי האפשרי של התא A ועד לערך שנצפה.

ערך-p דו-זנבי

ערך-p דו-זנבי מחבר את ההסתברויות של כל טבלה אפשרית בעלת אותם סכומי שורות ועמודות, שההסתברות שלה שווה להסתברות הטבלה שנצפתה או קטנה ממנה. כך נספרות תוצאות קיצוניות בשני הכיוונים, ולכן ערך-p דו-זנבי בדרך כלל גדול מערך-p חד-זנבי המחושב מאותה טבלה.

דוגמה פתורה

בניסוי קטן ניתן טיפול תרופתי חדש ל-10 מטופלים, ופלצבו ל-10 מטופלים אחרים. התוצאות:

כאן A = 8, B = 2, C = 3, D = 7, ו-n = 20. הערך הצפוי של A תחת אי-תלות הוא E(A) = (10 × 11) / 20 = 5.5. מכיוון ש-8 גדול מ-5.5, הקשר נוטה להיות חיובי, ולכן הסכימה החד-זנבית נמשכת מ-A = 8 ועד לערך המרבי האפשרי של A, שהוא 10.

חישוב הסתברויות היפרגאומטריות עבור A = 8, 9 ו-10 נותן ערך-p חד-זנבי של בערך 0.0349. חיבור ההסתברויות של כל הטבלאות, בשני הכיוונים, שהסתברותן שווה להסתברות הטבלה שנצפתה או קטנה ממנה, נותן ערך-p דו-זנבי של בערך 0.0698.

בסף המקובל של 0.05, התוצאה החד-זנבית נחשבת מובהקת סטטיסטית, ואילו התוצאה הדו-זנבית אינה נחשבת מובהקת. הדבר מדגים מדוע בחירת סוג המבחן חשובה: מבחן חד-זנבי מתאים רק כאשר כיוון ההשפעה, כאן ההנחה שהתרופה משפרת את התוצאות, נחזה לפני בחינת הנתונים.

מתי משתמשים במבחן המדויק של פישר

המבחן המדויק של פישר נפוץ ב:

• ניסויים קליניים עם מספר קטן של מטופלים.
• בדיקות בקרת איכות המשוות את מספר הפגמים בין שתי אצוות ייצור.
• מחקרים בגנטיקה המשווים את מספר המופעים של תכונה בין שתי קבוצות קטנות.
• כל טבלה בגודל 2×2 שבה השכיחות הצפויה בתא כלשהו נמוכה מ-5.

שאלות נפוצות

למה משמש המבחן המדויק של פישר? הוא בודק אם שני משתנים קטגוריים קשורים זה לזה, באמצעות שכיחויות מטבלה בגודל 2×2. לעיתים קרובות בוחרים בו במקום במבחן כי-בריבוע כאשר המדגם קטן.

מתי יש להשתמש במבחן המדויק של פישר במקום במבחן כי-בריבוע? כאשר השכיחות הצפויה בתא כלשהו בטבלה נמוכה מ-5, או כאשר נדרשת ודאות נוספת לגבי ההסתברות המדויקת, ללא קשר לגודל המדגם.

מה ההבדל בין תוצאות חד-זנביות לתוצאות דו-זנביות? ערך-p חד-זנבי בודק כיוון חזוי של ההשפעה, שנקבע לפני שהנתונים נצפים. ערך-p דו-זנבי בודק אם קיים קשר כלשהו, בכל אחד מהכיוונים. ערך-p דו-זנבי מאותה טבלה בדרך כלל גדול יותר.

האם מחשבון זה מדווח על יחס סיכויים? לא. הוא מדווח רק על ערך-p המדויק. אפשר למצוא בנפרד את יחס הסיכויים עבור אותה טבלה באמצעות חלוקת A × D ב-B × C.

האם אפשר להשתמש במבחן המדויק של פישר בטבלאות הגדולות מ-2×2? הגרסה המתוארת כאן מיועדת לטבלאות בגודל 2×2. טבלאות גדולות יותר דורשות שיטה קשורה הנקראת הרחבת פרימן–הלסטון, הזמינה ברוב תוכנות הסטטיסטיקה.

האם אפשר להשתמש במבחן המדויק של פישר בנתונים מזווגים, כגון מדידות לפני ואחרי אצל אותם אנשים? לא. המבחן מניח שתי קבוצות בלתי תלויות. נתונים קטגוריים מזווגים דורשים במקום זאת את מבחן מקנמר.

מקורות

1. פישר, R.A. (1922). "על הפרשנות של χ² מטבלאות שכיחות ועל חישוב P." Journal of the Royal Statistical Society, 85(1), 87–94.
2. פרימן, G.H. והלטון, J.H. (1951). "הערה על טיפול מדויק בבעיות שכיחות, התאמת טיב ומובהקות אחרות." Biometrika, 38(1/2), 141–149.
3. אגרסטי, A. (2018). מבוא לניתוח נתונים קטגוריים (מהדורה 3). Wiley.