Calcolatore di frequenza per semitoni - trasponi l'altezza con semitoni e cent

Che cos'è un calcolatore della frequenza dei semitoni?

Un calcolatore della frequenza dei semitoni converte gli intervalli musicali in frequenze sonore misurate in hertz (Hz), e viceversa. Funziona in due direzioni. Può prendere una frequenza iniziale e aumentarla o diminuirla di un determinato numero di semitoni e cent, indicando la nuova frequenza e la nota musicale più vicina. Può anche prendere due frequenze e indicare l'intervallo che le separa in semitoni e cent.

Un semitono è l'intervallo più piccolo nella musica occidentale standard: la distanza tra un tasto del pianoforte e quello immediatamente successivo, nero o bianco. Un'ottava contiene 12 semitoni. Il cent è un'unità ancora più piccola: corrisponde a un centesimo di semitono, quindi un'ottava comprende 1200 cent. I cent permettono ai musicisti di misurare differenze di altezza troppo piccole per essere percepite come un cambiamento netto di nota, come nel caso di un'accordatura leggermente imprecisa.

Come calcolare la frequenza di un intervallo di un semitono

Il calcolatore usa il temperamento equabile, l'accordatura standard dei pianoforti moderni, delle chitarre e della maggior parte degli strumenti occidentali. Nel temperamento equabile l'ottava è divisa in 12 intervalli uguali, quindi ogni semitono ha esattamente la stessa ampiezza.

Per aumentare una frequenza iniziale $f_0$ di $n$ semitoni e $c$ cent:

$f = f_0 \times 2^{(n + c/100)/12}$

Un valore positivo di $n$ aumenta l'altezza del suono, mentre un valore negativo di $n$ la diminuisce. Il campo dei centesimi di semitono indica una variazione fine; 100 cent equivalgono a un semitono, quindi inserire 100 cent produce lo stesso effetto che aggiungere 1 al numero di semitoni.

Il rapporto del temperamento equabile

Ogni intervallo di un semitono moltiplica la frequenza per:

$r = 2^{1/12} \approx 1.059463$

Moltiplicando una frequenza per 1,059463, essa aumenta di un semitono. Ripetendo l'operazione 12 volte, la frequenza raddoppia, formando un'ottava:

$(2^{1/12})^{12} = 2$

La nota più vicina

Oltre alla frequenza, il calcolatore indica la nota temperata più vicina, usando A4 = 440 Hz come riferimento. Converte la frequenza in un numero di nota MIDI, lo arrotonda al numero intero più vicino, quindi ricava il nome della nota e l'ottava:

$m = \operatorname{round}\left(69 + 12 \times \log_2\left(\frac{f}{440}\right)\right)$

I nomi delle note usano la notazione scientifica dell'altezza, in cui il numero indica l'ottava: A4 è il la del diapason a 440 Hz, mentre C4 è il do centrale. Poiché il valore viene arrotondato, una frequenza compresa tra due note viene indicata come la nota più vicina.

Come calcolare i semitoni tra due frequenze

La seconda modalità applica la stessa relazione al contrario. Il numero di semitoni $n$ tra due frequenze è:

$n = 12 \times \log_2\left(\frac{f_2}{f_1}\right)$

Qui $f_1$ è la frequenza iniziale in Hz e $f_2$ è quella finale. Poiché un semitono equivale a 100 cent, la versione in cent moltiplica lo stesso rapporto per 1200:

$c = 1200 \times \log_2\left(\frac{f_2}{f_1}\right)$

Un risultato positivo indica che la seconda frequenza è più alta della prima. Un risultato negativo indica che è più bassa.

Perché la formula usa un logaritmo

L'udito umano valuta l'altezza in base al rapporto tra le frequenze, non alla differenza assoluta in Hz. Il raddoppio di una frequenza produce sempre lo stesso salto, un'ottava, indipendentemente dalla frequenza di partenza.

• Da 110 Hz a 220 Hz c'è un'ottava (12 semitoni)
• Da 220 Hz a 440 Hz c'è un'ottava (12 semitoni)
• Da 440 Hz a 880 Hz c'è un'ottava (12 semitoni)

Ogni coppia presenta una diversa differenza in Hz, ma lo stesso rapporto; perciò serve un logaritmo per trasformare quel rapporto in una scala lineare uniforme di semitoni.

Come usare il calcolatore

Scegliere prima una modalità di calcolo.

Frequenza dai semitoni. Inserire la frequenza di base in Hz, il numero di semitoni di cui spostarsi (negativo per scendere) e un'eventuale variazione in cent. Il calcolatore restituisce la nuova frequenza in Hz e la nota più vicina.

Intervallo tra frequenze. Inserire due frequenze in Hz. Il calcolatore restituisce l'intervallo dalla prima alla seconda, in semitoni e in cent.

Ogni frequenza inserita deve essere maggiore di zero. Una frequenza nulla o negativa non ha un'altezza musicale, quindi il calcolatore restituisce un errore invece di un risultato.

Esempio di calcolo

Aumentare un'altezza di alcuni semitoni

Il do centrale ha una frequenza di circa 261,63 Hz. Aumentandola di 7 semitoni:

• Frequenza = 261,63 × 2^(7/12) ≈ 261,63 × 1,059463^7 ≈ 392,00 Hz.
• Nota più vicina: G4.

Sette semitoni formano una quinta giusta, uno degli intervalli più comuni nella musica; perciò il sol sopra il do centrale è il risultato atteso.

Aggiungere una variazione in cent

Partendo dal la del diapason a 440 Hz, con 0 semitoni e una variazione di 50 cent:

• Frequenza = 440 × 2^(50/1200) ≈ 452,89 Hz.

Cinquanta cent equivalgono a mezzo semitono, cioè a un quarto di tono. Si trovano a metà tra A4 e A#4, quindi l'indicazione della nota più vicina è solo un'approssimazione per un'altezza di questo tipo.

Misurare l'intervallo tra due frequenze

Inserendo le stesse due note nella seconda modalità, con 261,63 Hz come prima e 392,00 Hz come seconda:

• Semitoni = 12 × log₂(392,00 / 261,63) ≈ 7,00.
• Cent = 1200 × log₂(392,00 / 261,63) ≈ 699,99.

Il risultato è inferiore di una frazione di cent a un intervallo netto di 700 cent, perché 261,63 Hz e 392,00 Hz sono a loro volta valori arrotondati.

Misurare un piccolo errore di altezza

I cent sono utili per rilevare piccole discrepanze. Supponiamo che una stanza presenti una risonanza indesiderata a 147 Hz e che un tecnico stia lavorando a una traccia costruita intorno alla nota re, la cui frequenza fondamentale standard è 146,83 Hz.

• Cent = 1200 × log₂(147 / 146,83) ≈ 2,00 cent.

La risonanza è circa 2 cent più alta del re, una differenza troppo piccola perché la maggior parte degli ascoltatori la percepisca come un'altezza diversa, ma comunque misurabile e degna di nota nel trattamento acustico di una stanza.

Intervalli musicali comuni

La tabella elenca i nomi standard degli intervalli nel temperamento equabile, con la loro ampiezza in semitoni e cent, il rapporto tra le frequenze e l'altezza risultante partendo da A440 (440 Hz).

Questi valori si applicano esclusivamente al temperamento equabile. Altri sistemi di accordatura collocano gli stessi intervalli a frequenze leggermente diverse.

Sistemi di accordatura alternativi

Il temperamento equabile è lo standard moderno, ma non è l'unico modo di accordare la musica e non è perfettamente in sintonia con la fisica del suono.

Intonazione naturale costruisce gli intervalli a partire da rapporti tra numeri interi semplici, come 3:2 per una quinta giusta o 5:4 per una terza maggiore. Questi rapporti producono suoni perfettamente consonanti insieme, senza battimenti udibili, ma differiscono dal temperamento equabile fino a circa 16 cent, a seconda dell'intervallo. Una terza maggiore naturale (5:4) è più bassa di circa 14 cent rispetto alla terza maggiore temperata.

Accordatura pitagorica costruisce una scala interamente da quinte giuste sovrapposte (rapporto 3:2). Le sue quinte sono pure e prive di battimenti, ma le sue terze maggiori risultano circa 8 cent più alte delle terze maggiori temperate. Rispetto alla terza maggiore pura 5:4 dell'intonazione naturale, la terza pitagorica è ancora più alta, di quasi 22 cent, un intervallo noto come comma sintonico. L'accordatura pitagorica era comune nella musica medievale e del primo Rinascimento.

Temperamento mesotonico restringe leggermente le quinte giuste affinché le terze maggiori risultino pure. Fu ampiamente usato dal Rinascimento fino al primo Barocco ed è adatto alla musica che rimane in un piccolo insieme di tonalità strettamente correlate.

Sistemi microtonali dividono l'ottava in più di 12 intervalli; tra le scelte comuni vi sono 19, 24, 31 o 53 intervalli. Sono presenti nella musica sperimentale e in alcune musiche non occidentali.

Usi pratici

• Produzione musicale: trasposizione dei campioni, accordatura degli oscillatori dei sintetizzatori e verifica dell'accordatura di suoni sovrapposti.
• Ingegneria del suono: correlazione tra le bande dell'equalizzatore o le risonanze della stanza e le note musicali, come nell'esempio precedente sulla risonanza della stanza.
• Costruzione di strumenti: i liutai posizionano i tasti usando la costante 17,817, derivata da $2^{1/12}$, così che ogni tasto aumenti l'altezza di un semitono. I costruttori di organi e i fonditori di campane usano la stessa matematica per progettare la lunghezza delle canne e accordare le campane.
• Ricerca e didattica: studio della percezione dell'altezza da parte degli esseri umani, analisi dei richiami degli animali o insegnamento dei logaritmi e della fisica del suono.

Domande frequenti

Come si calcola la frequenza a una certa distanza in semitoni?

Moltiplicare la frequenza iniziale per 2 elevato alla potenza del numero di semitoni diviso per 12: f = f₀ × 2^(n/12). Per includere una variazione in cent, aggiungere i cent divisi per 100 al numero di semitoni prima di dividere per 12.

Come si calcolano i semitoni a partire da due frequenze?

Dividere la seconda frequenza per la prima, calcolare il logaritmo in base 2 di tale rapporto, quindi moltiplicare per 12: n = 12 × log₂(f₂/f₁). Moltiplicare per 1200 invece di 12 per ottenere il risultato in cent.

Qual è la differenza tra un semitono e un cent?

Un semitono è l'intervallo standard tra note adiacenti nella musica occidentale, come i tasti vicini di un pianoforte. Un cent è 1/100 di un semitono, quindi in un'ottava ci sono 1200 cent. I cent offrono una scala più precisa per misurare piccole differenze di altezza comprese tra i semitoni.

Quanti Hz vale un semitono?

Non esiste un numero fisso di Hz per semitono. Un semitono è un rapporto, circa 1,059463, non una differenza fissa di frequenza; perciò la sua ampiezza in Hz dipende dall'altezza di partenza. Un semitono sopra 440 Hz corrisponde a 466,16 Hz, con un aumento di 26,16 Hz. Un semitono sopra 220 Hz corrisponde a 233,08 Hz, con un aumento di soli 13,08 Hz.

Quale frequenza si trova 12 semitoni sopra 440 Hz?

880 Hz. Dodici semitoni formano un'ottava e un'ottava implica sempre il raddoppio della frequenza, qualunque sia la frequenza di partenza.

Qual è la relazione tra i numeri di nota MIDI e i semitoni?

Ogni numero di nota MIDI dista un semitono dai numeri adiacenti. Il do centrale è la nota MIDI 60 e A440 è la nota MIDI 69. La frequenza si ricava dal numero di nota MIDI secondo la formula f = 440 × 2^((m − 69)/12), che è la formula invertita dal calcolatore per indicare la nota più vicina.

Perché alcuni intervalli nel temperamento equabile sembrano leggermente stonati?

Il temperamento equabile divide l'ottava in 12 intervalli identici, così la musica può passare liberamente da una tonalità all'altra, ma questo compromesso allontana leggermente la maggior parte degli intervalli dai rapporti tra numeri interi dell'intonazione naturale. La terza maggiore temperata, per esempio, è circa 14 cent più alta della terza maggiore pura 5:4. Gli ascoltatori esperti talvolta riescono a percepirlo, anche se la maggior parte delle persone non lo nota durante un ascolto normale.

Quanto deve essere precisa una misurazione della frequenza per l'accordatura?

Per gli usi musicali quotidiani, una precisione entro circa 5 cent è generalmente sufficiente, vicino al limite della capacità media di discriminazione dell'altezza. L'accordatura professionale degli strumenti mira di solito a circa 2 cent, mentre alcuni musicisti esperti possono rilevare differenze di appena 1 cent in condizioni favorevoli.