拡散速度計算ツール | 無料グラハムの法則ツール

流出速度計算機とは何ですか？

流出速度計算機は、ある気体が別の気体と比べて小さな穴からどれほど速く逃げるかを求めます。これは、気体の流出速度とモル質量、温度の関係を示すグレアムの流出の法則を使います。流出は、気体分子が互いに衝突せずに通過できるほど小さな開口部を、一つずつ通り抜けるときに起こります。

グレアムの流出の法則の公式

グレアムの法則は、気体1と気体2の流出速度を比較します。

$\frac{\text{速度}_1}{\text{速度}_2} = \sqrt{\frac{M_2}{M_1}} \times \sqrt{\frac{T_1}{T_2}}$

• Rate₁とRate₂は、気体1と気体2の流出速度です。
• M₁とM₂は、気体1と気体2のモル質量で、モル当たりのグラム（g/mol）で表します。
• T₁とT₂は、気体1と気体2の絶対温度で、ケルビン（K）で表します。

1を上回る結果は、気体1のほうが気体2より速く流出することを意味します。1を下回る結果は、気体2のほうが速いことを意味します。結果がちょうど1なら、両方の気体は同じ速度で流出します。

流出速度は、分子が穴にぶつかる頻度で決まり、その頻度は分子の密度と速さで決まります。気体分子運動論によれば、単位面積の壁に毎秒衝突する分子の数は、数密度と平均分子速度の積の四分の一であり、平均速度は√(8RT/πM)です。この式の温度の項が変えるのは速度だけです。そのため、二つの気体の単位体積当たりの分子数が等しいことを前提としています。圧力が同じで温度が異なる二つの気体は、高温の気体のほうが密度が低いため、この前提を満たしません。

公式が成り立つ理由

この式は気体分子運動論から導かれます。同じ温度のすべての気体は同じ平均運動エネルギーを持ち、½mv² = (3/2)kT で表されます。ここで m は分子一個の質量、v は平均速度、k はボルツマン定数、T は絶対温度です。速度について解くと v = √(3kT/m) になります。同じ運動エネルギーを保つには、軽い分子は重い分子より速く動かなければなりません。流出速度は分子の速度とともに大きくなり、モル質量は分子の質量に比例するため、気体1の速度を気体2の速度で割ると、上の式が得られます。

2つのより簡単なケース

• 同じ温度の場合。 T₁がT₂に等しければ、温度の項は打ち消され、式は Rate₁/Rate₂ = √(M₂/M₁) になります。モル質量だけが関係します。これが、同じ温度と圧力にある二つの気体に対する、グレアムの法則の通常の形です。
• 同じモル質量。 M₁がM₂に等しい場合、公式はRate₁/Rate₂ = √(T₁/T₂)となります。重要なのは温度だけです。

流出速度計算機の使い方

1. 気体1のモル質量と温度を入力します。
2. 気体2のモル質量と温度を入力します。
3. 相対流出速度を読み取ります。気体1が気体2の何倍の速さで流出するかを示します。

モル質量と温度は、どちらも正の数でなければなりません。公式は絶対温度に基づくため、温度は摂氏や華氏ではなくケルビンで入力します。

一般的な気体のモル質量

計算例

例1：ヘリウムとメタン、同じ温度

ヘリウム（He）のモル質量は4.00 g/molです。メタン（CH₄）のモル質量は16.04 g/molです。どちらも298 Kです。

$\frac{\text{速度}_{He}}{\text{速度}_{CH_4}} = \sqrt{\frac{16.04}{4.00}} \times \sqrt{\frac{298}{298}} = \sqrt{4.01} \times 1 \approx 2.0025$

ヘリウムは、メタンの約2.00倍の速さで流出します。

例2：水素と酸素、異なる温度

水素（H₂）のモル質量は2.02 g/mol、温度は400 Kです。酸素（O₂）のモル質量は32.00 g/mol、温度は300 Kです。

$\sqrt{\frac{32.00}{2.02}} \approx 3.9801 \qquad \sqrt{\frac{400}{300}} \approx 1.1547$

$\frac{\text{速度}_{H_2}}{\text{速度}_{O_2}} = 3.9801 \times 1.1547 \approx 4.5959$

400 Kの水素が流出する速さは、300 Kの酸素の約4.60倍です。ネット上の計算例の中には、平方根をそれぞれ小数第二位に丸めてから掛けるものがありますが、その場合は3.98 × 1.15 = 4.58となり、少しずれます。最後の段階まで多くの桁を保てば、この誤差を避けられます。

グレアムの法則の応用

• 同位体分離。 マンハッタン計画では、六フッ化ウランの気体拡散を使って、ウラン235とウラン238を分離しました。二つの同位体は、モル質量がわずかに異なる六フッ化ウランの気体になるため、流出する速さもわずかに異なります。
• 漏れの検出。 ヘリウムは、モル質量が小さく、小さな漏れを通って速く流出できるため、真空システムや圧力容器の漏れを見つけるための一般的なトレーサーガスです。
• 膜による気体分離。 気体混合物を精製または分離する工業用膜は、成分気体の流出速度が異なることを部分的に利用しています。

歴史

スコットランドの化学者トーマス・グレアムは、さまざまな気体が小さな開口部から逃げる速さを測定しました。彼は、流出速度が気体のモル質量の平方根に反比例することを見いだしました。彼の結果は、のちにジェームズ・クラーク・マクスウェルとルートヴィヒ・ボルツマンによってさらに発展した気体分子運動論を裏付ける助けとなりました。

よくある質問

流出と拡散の違いは何ですか？ 流出とは、分子の平均自由行程より小さい穴を通って、真空またはより低圧の領域へ気体分子が逃げることです。拡散とは、濃度差によって気体分子が別の気体や媒体中に広がることで、分子同士の衝突を伴います。

なぜ温度はケルビンでなければならないのですか？ 気体分子の運動エネルギーは絶対温度に比例します。摂氏と華氏の温度尺度は絶対零度から始まらないため、それらを使うと正しい比が得られません。

圧力は相対流出速度に影響しますか。 二つの気体の温度と圧力が同じなら、圧力は比から打ち消されます。温度が異なる場合、計算機の温度項が仮定するのは、圧力が同じことではなく、二つの気体の分子密度が同じことです。

グレアムの法則で未知の気体のモル質量を求められますか？ はい。未知の気体の流出速度を、モル質量が既知の気体と比較して測定すれば、公式を変形できます。

$M_{unknown} = M_{known} \times \left(\frac{\text{速度}_{known}}{\text{速度}_{unknown}}\right)^2 \times \frac{T_{unknown}}{T_{known}}$

グレアムの法則は液体にも適用できますか？ いいえ。これは気体にのみ適用されます。液体分子は互いにずっと近くに詰まっており、相互作用もはるかに強いため、液体が小さな開口部を通って移動する様子を同じ公式で表すことはできません。

温度が二倍になると、気体の流出はどれだけ速くなりますか。 流出速度は絶対温度の平方根に比例します。モル質量と分子密度が変わらなければ、温度を二倍にすると、速度は√2倍、つまり約1.41倍になります。

参考文献

1. OpenStax. Chemistry 2e, 第9.4節. Effusion and Diffusion of Gases — グレアムの法則（温度と圧力が同じ気体について、速度 ∝ 1/√ℳ）。マンハッタン計画におけるUF₆の気体拡散。
2. Eames, E. V. (City College of San Francisco), via LibreTexts. General Chemistry Supplement: Diffusion and Effusion. Diffusion and Effusion — 流出速度は粒子が穴にぶつかる頻度で決まり、その頻度は粒子の密度と速さで決まります。
3. National Institute of Standards and Technology. NIST Chemistry WebBook: Helium. Helium — 分子量4.002602。
4. National Institute of Standards and Technology. NIST Chemistry WebBook: Methane. Methane — 分子量16.0425。
5. LibreTexts. Physical Chemistry, 第27.4節. The Frequency of Collisions with a Wall — 壁への衝突流束 z_w = ¼ (N/V)⟨v⟩、⟨v⟩ = (8RT/πM)^½。温度の項の背景にある、数密度が等しいという仮定の根拠です。