ミラー指数計算機 - 結晶面の切片を(hkl)に変換

ミラー指数とは何か？

ミラー指数は、(h,k,l) と表記される3つの整数の組で、結晶格子内の面を特定します。結晶格子とは、固体物質中の原子が規則正しく繰り返し配列した構造です。ミラー指数を使うと、面がその格子をどのように切るかを、幾何学的形状を言葉で説明せずに正確に示せます。これは英国の鉱物学者ウィリアム・ハロウェス・ミラーが1839年に導入し、現在も結晶学における標準的な表記法です。

この計算機は、x、y、z結晶軸上の面の切片をミラー指数 (h,k,l) に変換します。

ミラー指数の公式

ミラー指数は、面の各軸切片の逆数から求められます。面が原点から x、y、z 軸上の距離 a、b、c の位置で各軸と交わる場合、指数は次の関係を満たします。

$h : k : l = \frac{1}{a} : \frac{1}{b} : \frac{1}{c}$

切片からミラー指数を計算する方法

1. 面が各軸と交わる位置を、単位胞の辺の長さを単位として求めます。これらの切片を a、b、c とします。
2. 各切片の逆数を取ります：1/a、1/b、1/c。
3. 3つの逆数すべてに同じ数を掛け、各値を整数にします。
4. 3つの整数を最大公約数で割り、これ以上約分できない形にします。

得られた3つの整数が h、k、l です。面がある軸と決して交わらない場合、その軸との切片は無限大として扱います。1を無限大で割ると0になるため、その軸のミラー指数は0です。

計算例

ある面が x 軸と2、y 軸と3、z 軸と6の位置で交わるとします。

1. 切片：(2、3、6)
2. 逆数：(1/2、1/3、1/6)
3. 分母の最小公倍数 6 を掛ける：(3、2、1)
4. 3、2、1の最大公約数は1なので、これらの数はこれ以上約分できません。

ミラー指数は (321) です。

その他の例

• (1, ∞, 2) を通る面は、y 軸に平行で、逆数は (1、0、1/2) です。2を掛けると (2、0、1) になります。0は、その面が y 軸と決して交わらないことを示します。
• (-1, 2, 3) を通る面の逆数は (-1、1/2、1/3) です。6を掛けると (-6、3、2) になり、通常は負の指数の上にバーを付けて (6̄32) と表します。
• (1, ∞, ∞) を通る面の逆数は (1、0、0) であり、(100) になります。これは立方体の6つの面のうちの1つです。

特殊な場合

軸に平行な面はその軸と決して交わらないため、その切片は無限大、そのミラー指数は0として扱います。原点の負の側で軸と交わる面の指数は負になり、正式な表記では数の上にバーを付け、通常のテキストではマイナス記号を付けます。原点そのものを通る面にはミラー指数を定義できません。結晶格子内の平行な面の組は、指数を付けるために原点からずれていなければならないためです。このような面を記述するには、まず原点を移動する必要があります。分数の切片も整数の切片と同様に扱い、各切片の逆数を取ってから分母を払います。

指数は常に、可能な限り小さい整数に約分します。(622) と (311) は同じ面族を表しますが、結晶学者は常に (311) と表記します。

この計算機の使い方

x、y、z 軸上での面の切片を入力します。

• 原点の正の側の切片には正の数を、負の側の切片には負の数を使用します。
• 軸に平行な面には、「infinity」、「inf」、または「∞」と入力します。
• 原点を通る面にはこの方法でミラー指数を割り当てられないため、切片に0は使用できません。

計算機は指数を即座に計算し、単位胞内の面の図を表示します。

ミラー指数の応用

X線回折。 X線回折パターンの各スポットまたはピークは、特定の (hkl) を持つ面族に対応します。ブラッグの法則は、それらの面間隔と回折角を関連付けます。

$n\lambda = 2d_{hkl}\sin\theta$

ここで d_hkl は (h,k,l) 面間の間隔、λ はX線の波長、θ は回折角です。観測されたピークを (hkl) の値と照合する作業は指数付けと呼ばれ、未知の結晶構造を特定する基本的な手順です。

材料科学。 結晶面ごとに露出する原子配列が異なるため、表面エネルギー、化学反応速度、金属の変形における役割も異なります。アルミニウムなどの面心立方金属では、原子面は {111} 面に沿って最も容易にすべり合います。コンピュータチップ用のシリコンウエハーは通常、(100) 面または (111) 面に沿って切断されます。面の選択が、その後の製造工程の挙動に影響するためです。

鉱物学。 天然結晶に見られる平らな面と、鉱物がきれいに割れる方向（へき開）は、いずれも特定の低指数面に対応します。岩塩（食塩）は {100} 面に沿ってへき開し、蛍石は {111} 面に沿ってへき開します。

六方晶のミラー・ブラベー指数

マグネシウム、亜鉛、チタンなどの六方晶は、通常、3指数系ではなく4指数系 (hkil) で記述します。追加された指数 i は独立ではなく、常に i = -(h+k) です。この形式を使うと、2つの面が同じ対称性等価な面族に属することが分かりやすくなります。六方晶格子では、3指数のミラー表記だけではそれが常に明らかとは限りません。

歴史

ミラー指数は、ウィリアム・ハロウェス・ミラーが1839年に著した書籍 A Treatise on Crystallography で導入しました。結晶面にラベルを付ける以前の方式も存在しましたが、ミラーが切片の逆数を用いる方法を考案したことで、軸に平行な面を容易に扱えるようになりました。その切片は無限大で、逆数は単に0となるためです。マックス・フォン・ラウエが1912年に結晶によるX線回折を発見した後、ウィリアム・ヘンリー・ブラッグとウィリアム・ローレンス・ブラッグは、ミラー指数が回折ピークを生じさせる面を正確に表すことを示しました。この業績により、両者は1915年のノーベル物理学賞を共同受賞しました。

よくある質問

ミラー指数は何に使われますか？ 結晶格子内の特定の面を識別します。X線回折や電子回折のピークの指数付け、金属のすべり面の記述、半導体ウエハーの方位の指定、鉱物の面やへき開の表示に使われます。

ミラー指数の0は何を意味しますか？ その面がその軸に平行で、決して交わらないことを意味します。たとえば、(201) は y 軸に平行です。

負のミラー指数は何を意味しますか？ その面が原点の負の側でその軸と交わることを意味します。負の指数は、(2̄11) のように数の上にバーを付けて表すか、(-2,1,1) のようにマイナス記号を付けて表します。

なぜ原点を通る面にはミラー指数を付けられないのですか？ ミラー指数は切片の逆数から求めるためです。原点を通る面はすべての軸との切片が0となり、1/0は未定義なので、面を移動しない限りこの方法では指数を割り当てられません。

ミラー指数とミラー・ブラベー指数の違いは何ですか？ ミラー指数 (hkl) は3つの数を使い、あらゆる結晶系に適用できます。ミラー・ブラベー指数 (hkil) は従属する4番目の指数を加えたもので、主に六方晶に使われます。六方晶では、対称性等価な面を見分けやすくなります。

面間隔はミラー指数とどのように関係しますか？ 辺の長さが a の立方晶では、隣接する (hkl) 面の間隔は d = a / √(h² + k² + l²) です。指数が大きい面ほど、面間隔は狭くなります。他の結晶系では、軸長が等しくないことや、90°ではない角度を考慮した、同様ですがより複雑な公式を使います。

参考文献

1. Miller, W. H. (1839). A Treatise on Crystallography. Cambridge: J. & J. J. Deighton.
2. Ashcroft, N. W., & Mermin, N. D. (1976). Solid State Physics. Holt, Rinehart and Winston.
3. Hammond, C. (2015). The Basics of Crystallography and Diffraction（4版）. Oxford University Press.
4. Cullity, B. D., & Stock, S. R. (2014). Elements of X-ray Diffraction（3版）. Pearson Education.
5. International Union of Crystallography. (2016). International Tables for Crystallography, Volume A: Space-group symmetry. Wiley.