信頼区間から標準偏差を求める計算機

この計算機は、報告された信頼区間から標準誤差と標準偏差を逆算します。必要な入力は、区間の下限と上限、標本サイズ、信頼水準の4つです。論文では平均値とその信頼区間だけを報告し、メタアナリシスや検出力計算に必要な標準偏差を省くことがよくあります。

この計算機が行うこと

平均に対する信頼区間は、通常次のように作られます。

CI = 推定値 ± Z × (σ / √n)

±の後ろの部分が誤差の範囲です。これは臨界値Zに標準誤差を掛けたものに等しくなります。区間は対称なので、幅の半分が誤差の範囲に一致します。この式を逆に解くと、標準誤差、続いて標準偏差を求められます。

計算式

幅 = 上限 − 下限

SE = 幅 ÷ (2 × Z)

σ = SE × √n

SEは平均の標準誤差です。σは標準偏差です。Zは、信頼水準に対応する標準正規分布の両側臨界値です。

臨界値

これ以外の信頼水準では、Zは残りの確率を両側に等分した値になります。この計算機は、入力されたどの水準に対してもZを計算します。

例

ある研究で、78人の参加者に基づき、平均差−2.6、95%信頼区間−5.2から−0.01が報告されたとします。

1. 幅 = −0.01 − (−5.2) = 5.19
2. 95%信頼に対するZ = 1.96
3. SE = 5.19 ÷ (2 × 1.96) = 1.324
4. σ = 1.324 × √78 = 1.324 × 8.832 = 11.69

標準偏差はおよそ11.69です。

この方法が近似になる場合

この式は、区間が推定値を中心に対称であり、正規分布から作られたことを前提としています。この前提が崩れる状況が2つあります。

標本サイズが小さい場合、正規分布ではなくt分布が使われることが多くあります。t分布の臨界値はZより大きいため、Zを使うと標準偏差をわずかに過小評価します。この差は標本が大きくなるほど縮まり、およそ30例を超えるとわずかになります。

オッズ比やハザード比のような比率の信頼区間は、元の尺度ではなく対数尺度で対称です。これらの区間の下限・上限は、この計算式を適用する前に対数変換する必要があります。

点推定値が区間の中点にない場合、この計算機はその区間を非対称と表示し、結果は目安として扱う必要があります。

よくある質問

標準誤差と標準偏差の違いは何ですか？

標準偏差は個々の値がどれだけ散らばっているかを示します。標準誤差は平均値がどれだけ正確に分かっているかを示します。両者はSE = σ / √nで結びついているため、標本が大きくなるほど標準誤差は小さくなりますが、標準偏差は変わりません。

なぜZではなく2Zで割るのですか？

区間全体の幅は、推定値の両側を覆っています。誤差の範囲は幅の半分なので、半分の幅をZで割ることになり、これは全体の幅を2Zで割ることと同じです。

t分布に基づく区間にも使えますか？

使えますが、Zの代わりに自由度n − 1のt分布の臨界値を使う必要があります。標本サイズが小さいときにZを使うと、標準偏差がわずかに低く出ます。

誤差の範囲だけが報告されている場合はどうしますか？

それを2倍すれば幅が得られるので、あとは同じ手順に従ってください。

点推定値は結果に影響しますか？

いいえ。計算式に入るのは幅、信頼水準、標本サイズだけです。点推定値は、区間が対称かどうかを確認するために使われます。