信頼区間から標準偏差を求める計算機

この計算機は、報告された信頼区間から標準誤差と標準偏差を逆算します。必要なのは、区間の上下限、標本サイズ、信頼水準です。論文では、信頼区間付きの平均値を報告しながら標準偏差を記載しないことがありますが、メタ解析や検出力計算には標準偏差が必要です。

計算機の機能

平均値の信頼区間は、通常、次のように求めます。

$CI = m \pm Z \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

CI は信頼区間、m は報告された推定値、Z は臨界値、σ は標準偏差、n は標本サイズを表す。

±記号の後の部分が誤差範囲です。これは臨界値Zに標準誤差を掛けたものです。区間は対称なので、その幅の半分が誤差範囲になります。式を逆にたどると、まず標準誤差、次に標準偏差を求められます。

式

$w = u - l$

$SE = \frac{w}{2 \times Z}$

$\sigma = SE \times \sqrt{n}$

ここで、w は区間幅、u は上限、l は下限を表す。SE は平均の標準誤差である。σ は標準偏差である。Z は、信頼水準に対応する標準正規分布の両側臨界値である。

臨界値

その他の信頼水準では、Zは残りの確率の半分が各裾に残る値です。計算機は入力された任意の信頼水準についてZを計算します。

計算例

ある研究では、78人の参加者に基づき、平均差を−2.6、95%信頼区間を−5.2から−0.01までと報告しています。

1. 幅 = −0.01 − (−5.2) = 5.19
2. 95%信頼水準のZ = 1.96
3. SE = 5.19 ÷ (2 × 1.96) = 1.324
4. σ = 1.324 × √78 = 1.324 × 8.832 = 11.69

標準偏差は約11.69です。

この方法が近似となる場合

この式は、区間が推定値を中心に対称であり、正規分布に基づいて作られていることを前提とします。この前提が崩れる状況が2つあります。

小標本では、正規分布の代わりにt分布を使うことがよくあります。t分布の臨界値はより大きいため、Zを使うと標準偏差をわずかに過小評価します。標本が大きくなるにつれて差は小さくなり、およそ30観測を超えると小さくなります。

オッズ比やハザード比などの比の区間は、元の尺度ではなく対数尺度上で対称です。この式を適用する前に、対数を使って上下限を変換する必要があります。

点推定値が区間の中点にない場合、計算機は区間が非対称であると判定し、結果は推定値として扱う必要があります。

よくある質問

標準誤差と標準偏差の違いは何ですか？

標準偏差は、個々の値がどの程度ばらついているかを表します。標準誤差は、平均値がどの程度正確に分かっているかを表します。両者はSE = σ / √nで結び付いているため、標本が大きくなると標準誤差は小さくなりますが、標準偏差は小さくなりません。

なぜZではなく2Zで割るのですか？

全幅は推定値の両側を含みます。誤差範囲の一方は幅の半分なので、半幅をZで割ります。これは、全幅を2Zで割ることと同じです。

t分布に基づく信頼区間にも使えますか？

はい。ただし、Zを自由度n − 1に対応するt分布の臨界値に置き換えます。小標本でZを使うと、標準偏差がわずかに小さく算出されます。

誤差範囲だけが報告されている場合はどうしますか？

それを2倍して幅を求め、同じ手順に従います。

点推定値によって答えは変わりますか？

いいえ。式に入るのは、幅、信頼水準、標本サイズだけです。推定値は、区間が対称であることを確認するために使います。