Kalkulator Indeks Miller - Tukar Pintasan Satah Hablur kepada (hkl)

Apakah indeks Miller?

Indeks Miller ialah set tiga nombor bulat, ditulis sebagai (h,k,l), yang mengenal pasti satah dalam kekisi hablur. Kekisi hablur ialah susunan atom yang berulang dan teratur dalam bahan pepejal. Indeks Miller menunjukkan dengan tepat keratan dalam kekisi yang diwakili oleh sesuatu satah, tanpa perlu menerangkan geometrinya dengan kata-kata. Indeks ini diperkenalkan oleh ahli mineralogi British, William Hallowes Miller, pada 1839 dan kekal sebagai tatatanda piawai dalam kristalografi hingga hari ini.

Kalkulator ini menukarkan pintasan satah pada paksi kristalografi x, y dan z kepada indeks Miller (h,k,l).

Formula indeks Miller

Indeks Miller diperoleh daripada nilai songsang bagi pintasan paksi sesuatu satah. Jika satah memotong paksi x, y dan z pada jarak a, b dan c dari asalan, indeks tersebut memenuhi:

$h : k : l = \frac{1}{a} : \frac{1}{b} : \frac{1}{c}$

Cara mengira indeks Miller daripada pintasan

1. Tentukan tempat satah memotong setiap paksi, diukur dalam unit panjang tepi sel unit. Namakan pintasan ini a, b dan c.
2. Ambil salingan setiap pintasan: 1/a, 1/b, 1/c.
3. Darabkan ketiga-tiga salingan dengan nombor yang sama supaya setiap satunya menjadi nombor bulat.
4. Bahagikan ketiga-tiga nombor bulat itu dengan pembahagi sepunya terbesar supaya tidak dapat dipermudahkan lagi.

Ketiga-tiga integer yang terhasil ialah h, k dan l. Satah yang tidak pernah memotong sesuatu paksi dianggap memotongnya pada infiniti, dan 1 dibahagi dengan infiniti ialah 0, maka paksi itu mendapat indeks Miller 0.

Contoh pengiraan

Sesuatu satah memotong paksi-x pada 2, paksi-y pada 3 dan paksi-z pada 6.

1. Pintasan: (2, 3, 6)
2. Salingan: (1/2, 1/3, 1/6)
3. Darabkan dengan gandaan sepunya terkecil penyebut, 6: (3, 2, 1)
4. Pembahagi sepunya terbesar bagi 3, 2 dan 1 ialah 1, maka nombor tersebut tidak dapat dipermudahkan lagi.

Indeks Miller ialah (321).

Contoh lain

• Satah melalui (1, ∞, 2) — selari dengan paksi-y — mempunyai salingan (1, 0, 1/2). Pendaraban dengan 2 memberikan (2, 0, 1). Nilai 0 menunjukkan bahawa satah itu tidak pernah memotong paksi-y.
• Satah melalui (-1, 2, 3) mempunyai salingan (-1, 1/2, 1/3). Pendaraban dengan 6 memberikan (-6, 3, 2), yang biasanya ditulis sebagai (6̄32) dengan palang di atas indeks negatif.
• Satah melalui (1, ∞, ∞) mempunyai salingan (1, 0, 0), lalu menghasilkan (100). Ini ialah salah satu daripada enam muka kubus.

Kes khas

Satah yang selari dengan sesuatu paksi tidak pernah memotongnya, maka pintasan itu dianggap tidak terhingga dan indeks Millernya ialah 0. Satah yang memotong paksi pada bahagian negatif asalan mendapat indeks negatif, yang ditulis dengan palang di atas nombor dalam tatatanda formal, atau dengan tanda tolak dalam teks biasa. Satah yang melalui asalan itu sendiri tidak mempunyai indeks Miller yang ditakrifkan, kerana setiap set satah selari dalam kekisi mesti dianjak dari asalan untuk diindeks; asalan perlu dialihkan sebelum satah sedemikian dapat diterangkan. Pintasan pecahan dikendalikan dengan cara yang sama seperti pintasan nombor bulat: ambil salingan setiap satu, kemudian hapuskan pecahan tersebut.

Indeks sentiasa dipermudahkan kepada integer terkecil yang mungkin. (622) dan (311) menerangkan keluarga satah yang sama, tetapi ahli kristalografi sentiasa menulis (311).

Cara menggunakan kalkulator ini

Masukkan pintasan satah pada paksi x, y dan z.

• Gunakan nombor positif untuk pintasan pada bahagian positif asalan, dan nombor negatif untuk bahagian negatif.
• Taipkan "infinity", "inf" atau "∞" untuk satah yang selari dengan sesuatu paksi.
• Pintasan sifar tidak diterima, kerana satah yang melalui asalan tidak boleh diberikan indeks Miller dengan kaedah ini.

Kalkulator mengira indeks serta-merta dan memaparkan rajah satah di dalam sel unit.

Aplikasi indeks Miller

Difraksi sinar-X. Setiap titik atau puncak dalam corak difraksi sinar-X sepadan dengan set satah kekisi yang mempunyai (hkl) tertentu. Hukum Bragg menghubungkan jarak antara satah tersebut dengan sudut difraksi:

$n\lambda = 2d_{hkl}\sin\theta$

Di sini d_hkl ialah jarak antara satah (h,k,l), λ ialah panjang gelombang sinar-X, dan θ ialah sudut pembelauan. Memadankan puncak yang diperhatikan dengan nilai (hkl), suatu proses yang dipanggil pengindeksan, ialah langkah asas dalam mengenal pasti struktur hablur yang tidak diketahui.

Sains bahan. Satah hablur yang berbeza mendedahkan susunan atom yang berbeza, maka satah tersebut mempunyai tenaga permukaan dan kadar tindak balas kimia yang berbeza, serta peranan yang berbeza dalam cara logam berubah bentuk. Dalam logam kubik berpusat muka seperti aluminium, satah atom paling mudah tergelincir antara satu sama lain pada satah {111}. Wafer silikon untuk cip komputer biasanya dipotong sepanjang satah (100) atau (111), kerana pilihan ini mempengaruhi cara langkah pembuatan seterusnya berlangsung.

Mineralogi. Muka rata yang kelihatan pada hablur semula jadi, serta arah sepanjang mineral terbelah dengan bersih (belahan), kedua-duanya sepadan dengan satah indeks rendah tertentu. Halit (garam makan) terbelah sepanjang satah {100}, manakala fluorit terbelah sepanjang satah {111}.

Indeks Miller-Bravais bagi hablur heksagonal

Hablur heksagon, seperti magnesium, zink dan titanium, biasanya diterangkan dengan sistem empat indeks (hkil), bukannya tiga. Indeks tambahan i tidak bebas; nilainya sentiasa i = -(h+k). Bentuk ini memudahkan pengenalpastian bahawa dua satah tergolong dalam keluarga yang sama dan setara dari segi simetri, sesuatu yang tidak semestinya jelas daripada tatatanda Miller tiga indeks sahaja dalam kekisi heksagon.

Sejarah

Indeks Miller diperkenalkan oleh William Hallowes Miller dalam bukunya A Treatise on Crystallography pada 1839. Sistem terdahulu untuk melabel muka hablur telah pun wujud, tetapi kaedah Miller yang menggunakan salingan pintasan memudahkan pengendalian satah yang selari dengan paksi, kerana pintasannya adalah infiniti dan salingannya hanyalah 0. Selepas Max von Laue menemui pembelauan sinar-X oleh hablur pada 1912, William Henry Bragg dan William Lawrence Bragg menunjukkan bahawa indeks Miller menerangkan dengan tepat satah yang bertanggungjawab terhadap puncak pembelauan; atas hasil kerja itu, mereka berkongsi Hadiah Nobel dalam Fizik 1915.

Soalan lazim

Untuk apakah indeks Miller digunakan? Indeks ini mengenal pasti satah tertentu dalam kekisi hablur. Indeks ini digunakan untuk mengindeks puncak pembelauan sinar-X dan elektron, menerangkan satah gelinciran dalam logam, menentukan orientasi wafer semikonduktor, serta melabel muka dan belahan mineral.

Apakah maksud sifar dalam indeks Miller? Sifar bermaksud satah itu selari dengan paksi tersebut dan tidak pernah memotongnya. Sebagai contoh, (201) selari dengan paksi-y.

Apakah maksud indeks Miller negatif? Indeks negatif bermaksud satah itu memotong paksi tersebut pada bahagian negatif asalan. Indeks negatif ditulis dengan palang di atas nombor, seperti (2̄11), atau dengan tanda tolak, seperti (-2,1,1).

Mengapakah satah yang melalui asalan tidak boleh mempunyai indeks Miller? Indeks Miller diperoleh daripada salingan sesuatu pintasan. Satah yang melalui asalan memotong setiap paksi pada 0, dan 1/0 tidak ditakrifkan, maka kaedah ini tidak dapat memberikan indeks melainkan satah itu dialihkan.

Apakah perbezaan antara indeks Miller dengan indeks Miller-Bravais? Indeks Miller (hkl) menggunakan tiga nombor dan berfungsi untuk mana-mana sistem hablur. Indeks Miller-Bravais (hkil) menambah indeks keempat yang bersandar dan digunakan terutamanya untuk hablur heksagon, yang memudahkan pengecaman satah yang setara dari segi simetri.

Bagaimanakah jarak antara satah berkaitan dengan indeks Miller? Dalam hablur kubik dengan panjang sisi a, jarak antara satah bersebelahan (hkl) ialah d = a / √(h² + k² + l²). Semakin tinggi indeks, semakin rapat jarak antara satah. Sistem hablur lain menggunakan formula yang serupa tetapi lebih rumit, yang mengambil kira panjang paksi yang tidak sama dan sudut yang bukan-90°.

Rujukan

1. Miller, W. H. (1839). A Treatise on Crystallography. Cambridge: J. & J. J. Deighton.
2. Ashcroft, N. W., & Mermin, N. D. (1976). Solid State Physics. Holt, Rinehart and Winston.
3. Hammond, C. (2015). The Basics of Crystallography and Diffraction (edisi ke-4). Oxford University Press.
4. Cullity, B. D., & Stock, S. R. (2014). Elements of X-ray Diffraction (edisi ke-3). Pearson Education.
5. International Union of Crystallography. (2016). International Tables for Crystallography, Volume A: Space-group symmetry. Wiley.