Enhetssirkelkalkulator: eksakt sinus, cosinus og tangens
Skriv inn en vinkel i grader eller radianer for å finne punktet på enhetssirkelen, sinus, cosinus, tangens, referansevinkel og kvadrant. Eksakte verdier for standardvinkler.
Unit Circle Calculator
Enter an angle in degrees or radians to get its point on the unit circle, its sine, cosine and tangent, its reference angle and its quadrant. The standard angles are answered exactly.
Point on the circle (x, y)
(√3/2, 1/2)
Sine, cosine and tangent
cos θ (the x coordinate)
√3/2
sin θ (the y coordinate)
1/2
tan θ
√3/3
This is one of the sixteen standard angles, so the values are exact rather than rounded. As decimals: cos θ = 0.8660254, sin θ = 0.5, tan θ = 0.57735027.
Where it lands
Quadrant or axis
Quadrant I
Reference angle
30°
Reference angle in radians
π/6rad
The angle
Angle in degrees
30°
Angle in radians
0.52359878rad
Folded into one turn
30°
Folded angle in radians
π/6rad
The unit circle has radius 1 and is centred on the origin. A point on it is (cos θ, sin θ), so the coordinates and the two function values are the same pair of numbers. The tangent is sin θ divided by cos θ, which has no value where cos θ is 0.
Lastekalkulator...
📚
Dokumentasjon
Kalkulator for enhetssirkelen
Enhetssirkelen er sirkelen med radius 1 som tegnes rundt origo i et koordinatsystem. En kalkulator for enhetssirkelen tar imot én vinkel og viser hvor vinkelen treffer sirkelen: punktet (x, y), sinus, cosinus og tangens, referansevinkelen og kvadranten. Denne siden leser en vinkel i grader eller radianer og gir eksakte verdier som √3/2 for de seksten standardvinklene.
Hva kalkulatoren gjør
Brukeren skriver inn én vinkel og velger grader eller radianer. Siden viser:
- punktet (x, y) der vinkelen krysser sirkelen
- cos θ, sin θ og tan θ
- referansevinkelen, i grader og radianer
- kvadranten, eller aksen når vinkelen treffer en av dem
- vinkelen i begge enheter, samt samme vinkel brettet inn i én hel omdreining
For de seksten standardvinklene vises svarene som eksakte lukkede former, med desimalene nedenfor. Alle andre vinkler vises med åtte signifikante sifre. Det er bare visningen som avrundes.
Formelen for enhetssirkelen
Vinkler måles mot klokken fra den positive x-aksen. En stråle tegnet med vinkel θ krysser sirkelen i ett punkt, og de to koordinatene til dette punktet er cosinus og sinus:
der er den horisontale koordinaten, er den vertikale koordinaten, og er vinkelen.
Radiusen er 1, så koordinatene og de to funksjonsverdiene er det samme talparet under to navn. Det er grunnen til at sirkelen tegnes med radius 1 i stedet for en annen størrelse. Tangensen bygger på det samme paret:
Alle punkter på sirkelen oppfyller også Pythagoras' teorem, anvendt på den rettvinklede trekanten med sider og og hypotenus 1:
Grader og radianer
Siden godtar begge enhetene og viser begge. De henger sammen ved at en halv omdreining er π radianer:
\qquad \theta_{\mathrm{deg}} = \theta_{\mathrm{rad}} \times \frac{180}{\pi}$$ der $\theta_{\mathrm{deg}}$ er vinkelen i grader, og $\theta_{\mathrm{rad}}$ er den samme vinkelen i radianer. ### Brette inn i én omdreining En vinkel kan være negativ og kan gå mer enn én hel omdreining. Punktet på sirkelen gjentar seg for hver 360°, så siden bretter først vinkelen inn i intervallet fra 0° til, men ikke med, 360°: $$\theta_0 = ((\theta \bmod 360) + 360) \bmod 360$$ der $\theta$ er vinkelen som ble skrevet inn, i grader, og $\theta_0$ er samme retning skrevet innenfor én omdreining. 750° brettes til 30°, og −30° brettes til 330°. Brettingen gjøres i grader, der resten beregnes eksakt. ### Referansevinkel og kvadrant Referansevinkelen er den spisse vinkelen mellom vinkelbeinet og x-aksen. Den er aldri større enn 90°: $$\theta_{\mathrm{ref}} = \begin{cases} \theta_0 & \text{if } \theta_0 \le 90 \\ 180 - \theta_0 & \text{if } \theta_0 \le 180 \\ \theta_0 - 180 & \text{if } \theta_0 \le 270 \\ 360 - \theta_0 & \text{ellers} \end{cases}$$ der $\theta_0$ er den innbrettede vinkelen i grader. Størrelsen på sinus, cosinus og tangens avhenger bare av referansevinkelen. Kvadranten angir fortegnene. | Kvadrant | Innbrettet vinkel | cos | sin | tan | |---|---|---|---|---| | I | 0° til 90° | + | + | + | | II | 90° til 180° | − | + | − | | III | 180° til 270° | − | − | + | | IV | 270° til 360° | + | − | − | Vinklene 0°, 90°, 180° og 270° ligger på en akse. En kvadrant er området mellom to akser, uten selve aksene, så ingen av disse fire ligger i en kvadrant. Siden angir derfor aksen i stedet for å velge en nabokvadrant. ### De seksten standardvinklene Fem referansevinkler har eksakte lukkede former. | Referansevinkel | cos | sin | tan | |---|---|---|---| | 0° (0) | 1 | 0 | 0 | | 30° (π/6) | √3/2 | 1/2 | √3/3 | | 45° (π/4) | √2/2 | √2/2 | 1 | | 60° (π/3) | 1/2 | √3/2 | √3 | | 90° (π/2) | 0 | 1 | udefinert | Ved å speile disse radene inn i de tre andre kvadrantene får man seksten vinkler: 0, 30, 45, 60, 90, 120, 135, 150, 180, 210, 225, 240, 270, 300, 315 og 330 grader. Siden genererer dem ved å rotere punktene i første kvadrant en kvart omdreining om gangen, i stedet for å skrive tabellen av fire ganger, fordi det er ved avskrift feil fortegn kan komme inn. 15°, 75° og 105° har også lukkede former, men også uttrykk med to ledd, som 2 − √3. De faller utenfor denne familien og besvares som desimaltall. For 15° får man cos 0,96592583, sin 0,25881905 og tan 0,26794919. ### Eksempel: 210 grader 210° er større enn 180° og mindre enn 270°, så den ligger i kvadrant III. Når 180 trekkes fra, blir referansevinkelen 30°. For en referansevinkel på 30° er de tre størrelsene √3/2, 1/2 og √3/3. Kvadrant III gjør begge koordinatene negative, så punktet er (−√3/2, −1/2). Tangensen er et negativt tall dividert med et negativt tall, så den forblir positiv ved √3/3. I radianer er vinkelen 7π/6, og referansevinkelen er π/6. Som desimaltall viser siden cos −0,8660254, sin −0,5 og tan 0,57735027. 570° og −150° gir samme svar, fordi begge brettes til 210°. ### Hvilke konstanter er eksakte | Konstant | Verdi | Eksakt? | Kilde | |---|---|---|---| | Grader i én omdreining | 360 | eksakt etter definisjon | ISO 80000-3 | | Radianer i én omdreining | 2π | eksakt etter definisjon | ISO 80000-3; SI-brosjyren | | cos 30°, sin 60° | √3/2 | eksakt | NIST DLMF §4,14 | | cos 45°, sin 45° | √2/2 | eksakt | NIST DLMF §4,14 | | cos 60°, sin 30° | 1/2 | eksakt | NIST DLMF §4,14 | | tan 90°, tan 270° | ingen verdi | eksakt, en pol | NIST DLMF §4,15 | π er et irrasjonalt tall, så det har ingen eksakt desimal- eller binærform, og enhver lagret verdi av det er avrundet. Siden hindrer at denne avrundingen påvirker svarene på to måter. Brettingen gjøres i grader, der 360 går opp uten rest. Og standardvinklene leses fra tabellen over lukkede former, aldri fra en flyttallssinus. ### Å lese en vinkel skrevet inn i radianer En verdi i radianer er allerede et avrundet desimaltall. π/2 skrives inn som 1,5707963267948966, og ved omregning tilbake blir vinkelen omtrent en ti-billiondel grad fra 90, i stedet for nøyaktig 90. Derfor tolker siden alle vinkler som ligger innenfor en milliondels grad fra en standardvinkel, som denne standardvinkelen. Toleransen avgjør hvilken tabell som brukes; den gjør aldri et svar mindre presist. 30,001° blir ikke til 30°. Vinkler over én milliard grader avvises. Dette er en grense for aritmetikken, ikke geometrien: Avstanden mellom tallene en datamaskin kan lagre, øker med størrelsen på tallene, og etter omtrent fire og en halv milliard grader er avstanden større enn toleransen på en milliondels grad. Da inneholder ikke brettingen lenger nok detaljer til å angi en vinkel. Én milliard gir en sikkerhetsmargin under dette punktet. ### Ofte stilte spørsmål **Hva brukes enhetssirkelen til?** Den gjør sinus og cosinus om til koordinater. Ved å lese av ett punkt på sirkelen får man begge verdiene samtidig, og figuren viser hvorfor de gjentar seg for hver hele omdreining, og hvorfor fortegnene endres fra én kvadrant til den neste. **Hva er den eksakte verdien av sin 30°?** En halv. cos 30° er √3/2, omtrent 0,8660254, og tan 30° er √3/3, omtrent 0,57735027. **Hvorfor er tan 90° udefinert?** Tangensen er sinus dividert med cosinus, og cos 90° er 0. Divisjon med null har ingen verdi. Siden identifiserer polen ved å angi vinkelen, ikke ved å kontrollere om en beregnet tangens ble stor, fordi en bratt tangens like før 90° er et vanlig tall. **Hva er en referansevinkel?** Det er den spisse vinkelen mellom strålen og x-aksen, så den ligger alltid mellom 0° og 90°. 150°, 210° og 330° har alle referansevinkelen 30°, og derfor har sinus og cosinus de samme tre størrelsene og skiller seg bare i fortegn. **Virker en negativ vinkel?** Ja. En negativ vinkel dreier med klokken. −30° peker i samme retning som 330°, så siden returnerer punktet (√3/2, −1/2) og kvadrant IV. **Hvorfor viser siden vinkelen to ganger?** 750° og 30° krysser sirkelen i samme punkt, men de er ikke samme rotasjon. Siden gjengir vinkelen slik den ble skrevet inn, omregnet til den andre enheten, og viser den innbrettede vinkelen ved siden av.