Calculadora de plano de poupança: valor futuro

Calculadora de plano de poupança

Uma calculadora de plano de poupança estima quanto valerá uma conta de poupança ou investimento após um número escolhido de anos. Ela combina um depósito inicial único com uma contribuição regular feita mensalmente, trimestralmente ou anualmente, e faz ambos crescerem com juros compostos.

O que a calculadora faz

A calculadora usa sete entradas: o depósito inicial, a contribuição regular, a frequência das contribuições (mensal, trimestral ou anual), se cada contribuição ocorre no início ou no fim do período, a taxa de juros anual, a frequência de capitalização dos juros e o número de anos durante os quais o dinheiro cresce.

Ela retorna três valores: o valor futuro (o saldo final), o total das contribuições (o depósito inicial mais todos os depósitos regulares) e o total de juros obtidos (a diferença entre os dois). Um gráfico mostra o saldo ao final de cada período de contribuição.

O depósito inicial pode variar de US$ 0 a US$ 1 trilhão, e a contribuição pode variar de US$ 0 a US$ 1 bilhão por período. A taxa de juros pode variar de 0% a 100%. O número de anos deve ser maior que 0 e no máximo 100. Pelo menos um dos valores, o depósito ou a contribuição, deve ser superior a US$ 0.

Como calcular o valor futuro de um plano de poupança

Dois resultados padrão são combinados, ambos descritos nos artigos da Wikipédia “Valor futuro” e “Anuidade”.

O depósito inicial cresce apenas com juros compostos:

VF(depósito) = P₀ × (1 + i)ˣ

O fluxo de depósitos regulares cresce como uma anuidade:

VF(contribuições) = PMT × (1 + i)ˣ⁻ᴺ × A

• P₀ é o depósito inicial.
• PMT é a contribuição regular.
• i é a taxa de juros de um período de contribuição.
• x é o horizonte medido em períodos de contribuição (anos × períodos por ano).
• N é o número de depósitos efetivamente realizados.
• A é o fator de anuidade, o valor futuro de US$ 1 depositado a cada período durante N períodos.

O fator de anuidade depende de quando os depósitos são realizados:

Um depósito no início de cada período rende juros por um período adicional, de onde vem o fator extra (1 + i). Quando a taxa é 0%, o fator de anuidade é N: os depósitos são somados sem crescimento.

O valor futuro é a soma das duas partes. O total de juros é o valor futuro menos tudo o que foi pago.

Quando a capitalização e as contribuições têm frequências diferentes

Os juros podem ser capitalizados com maior ou menor frequência do que a dos depósitos, como na capitalização mensal com depósitos trimestrais. A calculadora converte a taxa nominal anual r, capitalizada n vezes por ano, na taxa efetiva de um período de contribuição (consulte o artigo da Wikipédia “Taxa de juros efetiva”):

i = (1 + r/n)^(n/m) − 1

em que m é o número de contribuições por ano. Com uma taxa anual de 5% capitalizada mensalmente e depósitos trimestrais, i = (1 + 0,05/12)³ − 1 ≈ 1,2552% por trimestre. Quando as duas frequências coincidem, i é diretamente igual a r/n.

Exemplo prático

Um plano começa com US$ 1.000 e acrescenta US$ 100 no início de cada mês durante 10 anos, a uma taxa anual de 5%, capitalizada mensalmente. Esses são os valores padrão da calculadora.

1. Períodos por ano m = 12; portanto, o horizonte é x = 120 períodos e N = 120 depósitos.
2. A taxa mensal é i = 0,05 / 12 ≈ 0,0041667.
3. Fator de crescimento: (1 + i)¹²⁰ ≈ 1,647009.
4. Depósito inicial: US$ 1.000 × 1,647009 ≈ US$ 1.647,01.
5. Fator de anuidade (ordinária): (1,647009 − 1) / 0,0041667 ≈ 155,282279. Os depósitos são realizados no início de cada mês, então multiplica-se por (1 + i): 155,929289.
6. Contribuições: US$ 100 × 155,929289 ≈ US$ 15.592,93.
7. Valor futuro: US$ 1.647,01 + US$ 15.592,93 = US$ 17.239,94.

O total das contribuições é US$ 1.000 + 120 × US$ 100 = US$ 13.000; portanto, o total de juros é US$ 17.239,94 − US$ 13.000 = US$ 4.239,94. Com o mesmo plano, mas com depósitos no fim de cada mês, o valor futuro é US$ 17.175,24, cerca de US$ 65 menor.

Um segundo exemplo, com depósitos no fim do mês: depósito inicial de US$ 5.000, US$ 200 por mês, taxa de 6% capitalizada mensalmente, durante 20 anos. Aqui, (1,005)²⁴⁰ ≈ 3,310204, o depósito cresce para US$ 16.551,02, o fator de anuidade é 462,040895 e as contribuições crescem para US$ 92.408,18. O valor futuro é US$ 108.959,20: foram pagos US$ 53.000, e US$ 55.959,20 correspondem a juros. Isso coincide com a calculadora de juros compostos da Comissão de Valores Mobiliários dos EUA, em investor.gov, com a qual o mecanismo da ferramenta foi conferido.

Convenções usadas por esta calculadora

Por padrão, os depósitos são feitos no início do período. A maioria dos planos de poupança reais debita a conta no início de cada mês, portanto o padrão é uma anuidade antecipada. Muitos livros didáticos e calculadoras adotam uma anuidade ordinária; a opção de momento de pagamento alterna entre as duas.

Em anos fracionários, os depósitos são contados de acordo com o momento. Ao longo de 2,5 anos de depósitos anuais, um plano no fim do período faz 2 depósitos (somente os anos completos geram pagamentos), enquanto um plano no início do período faz 3 (cada ano incluído gera um pagamento no início). Cada depósito realizado, assim como o valor inicial, é acumulado até o horizonte exato, incluindo o período parcial final.

Os resultados são nominais. Não há desconto de inflação, impostos ou tarifas. O valor futuro é o que apareceria no extrato da conta, não seu poder de compra.

O arredondamento ocorre uma única vez, no final. O valor futuro e o total das contribuições são arredondados para o centavo, e o total de juros é a diferença entre eles; assim, os três valores exibidos sempre fecham exatamente a conta.

Dúvidas frequentes

Qual é o valor futuro de um plano de poupança? É o saldo da conta no fim do plano: o depósito inicial e cada depósito regular, todos acrescidos de juros compostos desde o momento do pagamento até o final.

Fazer contribuições no início do mês realmente faz diferença? Sim, um pouco. Cada depósito rende juros por um período adicional, o que multiplica a parte do saldo correspondente às contribuições por (1 + i). No exemplo padrão, a diferença ao longo de 10 anos é de US$ 64,70.

Por que a frequência de capitalização altera o resultado? Uma capitalização mais frequente credita os juros mais cedo, portanto os juros começam a render juros mais cedo. A calculadora incorpora isso à taxa efetiva por período i = (1 + r/n)^(n/m) − 1, tratando exatamente qualquer combinação de frequências de capitalização e contribuição.

O que acontece com uma taxa de juros de 0%? O valor futuro é simplesmente a soma de todo o dinheiro pago. O plano padrão a 0% termina exatamente em US$ 13.000, com US$ 0 de juros.

A calculadora considera a inflação ou os impostos? Não. Todos os resultados são valores nominais em dólares. Para estimar o poder de compra, pode-se inserir uma taxa “real” mais baixa, mas a ferramenta não aceita taxas negativas.

Por que o total de juros é o valor futuro menos o total das contribuições? Juros são todos os valores na conta que não foram pagos. Como os depósitos são contabilizados no total das contribuições, o que restar do valor futuro deve ter vindo da capitalização.

Referências

1. "Future value." Wikipédia, https://en.wikipedia.org/wiki/Future_value.
2. "Annuity." Wikipédia, https://en.wikipedia.org/wiki/Annuity.
3. "Effective interest rate." Wikipédia, https://en.wikipedia.org/wiki/Effective_interest_rate.
4. "Compound Interest Calculator." Comissão de Valores Mobiliários dos EUA, Investor.gov, https://www.investor.gov/financial-tools-calculators/calculators/compound-interest-calculator.