Calculator pentru Distribuția Laplace

Introducere

Distribuția Laplace, cunoscută și sub numele de distribuția dublu exponențială, este o distribuție de probabilitate continuă numită după Pierre-Simon Laplace. Este simetrică în jurul mediei sale (parametrul de locație) și are cozi mai grele comparativ cu distribuția normală. Acest calculator vă permite să calculați funcția de densitate a probabilității (PDF) a distribuției Laplace pentru parametrii dați și să vizualizați forma acesteia.

Cum să folosiți acest calculator

1. Introduceți parametrul de locație (μ), care reprezintă media distribuției.
2. Introduceți parametrul de scară (b), care determină dispersia distribuției (b > 0).
3. Calculatorul va afișa valoarea funcției de densitate a probabilității (PDF) la x = 0 și va arăta un grafic al distribuției.

Notă: Parametrul de scară trebuie să fie strict pozitiv (b > 0).

Formula

Funcția de densitate a probabilității (PDF) a distribuției Laplace este dată de:

$f(x|\mu,b) = \frac{1}{2b} \exp\left(-\frac{|x-\mu|}{b}\right)$

Unde:

• x este variabila
• μ (mu) este parametrul de locație
• b este parametrul de scară (b > 0)

Calcul

Calculatorul folosește această formulă pentru a calcula valoarea PDF la x = 0 pe baza inputului utilizatorului. Iată o explicație pas cu pas:

1. Validarea inputurilor: Asigurați-vă că parametrul de scară b este pozitiv.
2. Calculați |x - μ|: În acest caz, este pur și simplu |0 - μ| = |μ|.
3. Calculați termenul exponențial: $\exp(-|μ| / b)$
4. Calculați rezultatul final: $\frac{1}{2b} \exp(-|μ| / b)$

Cazuri limită de luat în considerare:

• Dacă b ≤ 0, afișați un mesaj de eroare.
• Pentru valori foarte mari |μ| sau foarte mici b, rezultatul poate fi extrem de aproape de zero.
• Pentru μ = 0, PDF-ul va atinge valoarea maximă de 1/(2b) la x = 0.

Cazuri de utilizare

Distribuția Laplace are diverse aplicații în diferite domenii:

1. Procesarea semnalelor: Folosită în modelarea și analiza semnalelor audio și de imagine.

2. Finanțe: Aplicată în modelarea randamentelor financiare și evaluarea riscurilor.

3. Învățare automată: Folosită în mecanismul Laplace pentru confidențialitate diferențială și în unele modele de inferență bayesiană.

4. Procesarea limbajului natural: Aplicată în modelele de limbaj și sarcinile de clasificare a textului.

5. Geologie: Folosită în modelarea distribuției magnitudinilor cutremurelor (legea Gutenberg-Richter).

Alternative

Deși distribuția Laplace este utilă în multe scenarii, există alte distribuții de probabilitate care ar putea fi mai adecvate în anumite situații:

1. Distribuția Normală (Gaussiană): Folosită mai frecvent pentru modelarea fenomenelor naturale și a erorilor de măsurare.

2. Distribuția Cauchy: Are cozi și mai grele decât distribuția Laplace, utilă pentru modelarea datelor predispuse la valori aberante.

3. Distribuția Exponențială: Folosită pentru modelarea timpului dintre evenimente într-un proces Poisson.

4. Distribuția t a lui Student: Folosită frecvent în testarea ipotezelor și modelarea randamentelor financiare.

5. Distribuția Logistică: Similară ca formă cu distribuția normală, dar cu cozi mai grele.

Istoric

Distribuția Laplace a fost introdusă de Pierre-Simon Laplace în memoria sa din 1774 "Despre Probabilitatea Cauzelor Evenimentelor". Cu toate acestea, distribuția a câștigat mai multă prominență în secolul XX cu dezvoltarea statisticii matematice.

Principalele etape în istoria distribuției Laplace:

1. 1774: Pierre-Simon Laplace introduce distribuția în lucrările sale despre teoria probabilității.
2. Anii 1930: Distribuția este redescoperită și aplicată în diverse domenii, inclusiv economie și inginerie.
3. Anii 1960: Distribuția Laplace câștigă importanță în statistica robustă ca alternativă la distribuția normală.
4. Anii 1990-prezent: Utilizare crescută în învățarea automată, procesarea semnalelor și modelarea financiară.

Exemple

Iată câteva exemple de cod pentru a calcula PDF-ul distribuției Laplace:

1' Funcție Excel VBA pentru PDF-ul Distribuției Laplace
2Function LaplacePDF(x As Double, mu As Double, b As Double) As Double
3    If b <= 0 Then
4        LaplacePDF = CVErr(xlErrValue)
5    Else
6        LaplacePDF = (1 / (2 * b)) * Exp(-Abs(x - mu) / b)
7    End If
8End Function
9' Utilizare:
10' =LaplacePDF(0, 1, 2)
11

1import math
2
3def laplace_pdf(x, mu, b):
4    if b <= 0:
5        raise ValueError("Parametrul de scară trebuie să fie pozitiv")
6    return (1 / (2 * b)) * math.exp(-abs(x - mu) / b)
7
8## Exemplu de utilizare:
9location = 1.0
10scale = 2.0
11x = 0.0
12pdf_value = laplace_pdf(x, location, scale)
13print(f"Valoarea PDF la x={x}: {pdf_value:.6f}")
14

1function laplacePDF(x, mu, b) {
2  if (b <= 0) {
3    throw new Error("Parametrul de scară trebuie să fie pozitiv");
4  }
5  return (1 / (2 * b)) * Math.exp(-Math.abs(x - mu) / b);
6}
7
8// Exemplu de utilizare:
9const location = 1;
10const scale = 2;
11const x = 0;
12const pdfValue = laplacePDF(x, location, scale);
13console.log(`Valoarea PDF la x=${x}: ${pdfValue.toFixed(6)}`);
14

1public class LaplacePDF {
2    public static double laplacePDF(double x, double mu, double b) {
3        if (b <= 0) {
4            throw new IllegalArgumentException("Parametrul de scară trebuie să fie pozitiv");
5        }
6        return (1 / (2 * b)) * Math.exp(-Math.abs(x - mu) / b);
7    }
8
9    public static void main(String[] args) {
10        double location = 1.0;
11        double scale = 2.0;
12        double x = 0.0;
13        double pdfValue = laplacePDF(x, location, scale);
14        System.out.printf("Valoarea PDF la x=%.1f: %.6f%n", x, pdfValue);
15    }
16}
17

Aceste exemple demonstrează cum să calculați PDF-ul distribuției Laplace pentru parametrii dați. Puteți adapta aceste funcții la nevoile dumneavoastră specifice sau să le integrați în sisteme mai mari de analiză statistică.

Exemple numerice

1. Distribuția Laplace Standard:

   • Locație (μ) = 0
   • Scară (b) = 1
   • PDF la x = 0: 0.500000

2. Distribuția Laplace Mutată:

   • Locație (μ) = 2
   • Scară (b) = 1
   • PDF la x = 0: 0.183940

3. Distribuția Laplace Scalată:

   • Locație (μ) = 0
   • Scară (b) = 3
   • PDF la x = 0: 0.166667

4. Distribuția Laplace Mutată și Scalată:

   • Locație (μ) = -1
   • Scară (b) = 0.5
   • PDF la x = 0: 0.367879

Referințe

1. Kotz, S., Kozubowski, T., & Podgorski, K. (2001). The Laplace Distribution and Generalizations. Birkhäuser, Boston, MA.
2. Keynes, J. M. (1911). The Principal Averages and the Laws of Error which Lead to Them. Journal of the Royal Statistical Society, 74(3), 322-331.
3. Peng, L., & Xu, X. (2019). The Laplace Mechanism in Differential Privacy. IEEE Access, 7, 39891-39900.
4. Norton, M. P., & Karczub, D. G. (2003). Fundamentals of Noise and Vibration Analysis for Engineers. Cambridge University Press.
5. "Distribuția Laplace." Wikipedia, Wikimedia Foundation, https://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_distribution. Accesat pe 2 aug. 2024.