Calculator Distribuție Laplace - Instrument Gratuit PDF & Vizualizare

Ce este distribuția Laplace?

Distribuția Laplace, numită și distribuție exponențială dublă, este o distribuție continuă de probabilitate, având forma a două curbe exponențiale unite spate în spate la vârful lor. Este simetrică în jurul unei valori centrale și are cozi mai grele decât distribuția normală, astfel încât atribuie o probabilitate mai mare valorilor extreme. Calculatorul distribuției Laplace de pe această pagină determină densitatea maximă de probabilitate a distribuției pe baza unui parametru de poziție și a unui parametru de scară și trasează curba completă a densității.

Distribuția poartă numele lui Pierre-Simon Laplace, matematicianul francez care a descris-o pentru prima dată în 1774.

Formula distribuției Laplace

Funcția de densitate a probabilității (PDF) a distribuției Laplace este:

$f(x \mid \mu, b) = \frac{1}{2b} \exp\left(-\frac{|x-\mu|}{b}\right)$

• x este orice punct de pe axa numerelor.
• μ (mu), parametrul de poziție, este centrul distribuției. Este, de asemenea, media și mediana.
• b, parametrul de scară, controlează cât de dispersată este distribuția. Trebuie să fie mai mare decât 0.
• |x − μ| este distanța dintre x și centru, fără a ține cont de direcție.

Curba atinge punctul său cel mai înalt exact la x = μ. În acel punct, formula se simplifică, deoarece |μ − μ| = 0 și exp(0) = 1, rezultând:

$f(\mu \mid \mu, b) = \frac{1}{2b}$

Această valoare maximă, 1/(2b), este numărul raportat de calculator.

Cum se utilizează calculatorul distribuției Laplace

1. Introduceți parametrul de poziție (μ). Acesta stabilește centrul distribuției.
2. Introduceți parametrul de scară (b). Acesta trebuie să fie un număr pozitiv; cu cât valoarea este mai mare, cu atât curba este mai plată și mai dispersată.
3. Calculatorul afișează densitatea maximă, 1/(2b), și trasează curba densității f(x) de la μ − 4b la μ + 4b. Axa verticală a graficului reprezintă densitatea de probabilitate, iar curba poate fi descărcată sub forma unui tabel cu valorile x și f(x).

Calculatorul nu primește o valoare x separată. El raportează întotdeauna densitatea din punctul maxim al distribuției, x = μ, deoarece acesta este singurul număr-sinteză cel mai util pentru compararea distribuțiilor cu scări diferite. Pentru a determina densitatea într-un alt punct, utilizați formula de mai sus cu valoarea x dorită sau citiți înălțimea de pe grafic.

Exemplu rezolvat

Considerați o poziție μ = 4 și o scară b = 2.

1. Verificați că b este pozitiv: 2 > 0, deci valorile introduse sunt valide.
2. Maximul apare la x = μ = 4, unde |x − μ| = 0.
3. Calculați densitatea maximă: 1 / (2 × 2) = 1 / 4 = 0,25.

Calculatorul afișează 0,250000. Curba trasată atinge maximul în punctul (4, 0,25) și scade simetric pe ambele laturi, extinzându-se de la μ − 4b la μ + 4b, adică de la −4 la 12 în acest caz.

Deoarece formula densității maxime, 1/(2b), nu include μ, modificarea poziției doar deplasează curba la stânga sau la dreapta. Nu îi schimbă înălțimea. Numai parametrul de scară schimbă înălțimea.

Mai multe exemple

Media, varianța și abaterea standard

Pentru o distribuție Laplace cu poziția μ și scala b:

• Media = μ
• Mediana = μ
• Varianța = 2b²
• Abaterea standard = b√2

Distribuția Laplace comparativ cu distribuția normală

Ambele distribuții sunt simetrice și au forma unui clopot, iar ambele sunt descrise complet printr-un centru și un parametru de dispersie. Diferența constă în cozi. În distribuția normală, densitatea scade proporțional cu pătratul distanței față de medie, astfel încât valorile extreme devin foarte repede extrem de rare. În distribuția Laplace, densitatea scade proporțional cu distanța propriu-zisă, astfel încât valorile extreme rămân relativ mai probabile. Din acest motiv, distribuția Laplace este utilă atunci când datele reale conțin mai multe valori aberante decât ar anticipa o distribuție normală.

Utilizări frecvente

• Prelucrarea semnalelor și a imaginilor: modelarea zgomotului și comprimarea imaginilor, deoarece diferențele dintre pixeli sau semnale se grupează adesea în jurul valorii zero, cu salturi mari ocazionale.
• Confidențialitate diferențială: mecanismul Laplace adaugă zgomot distribuit Laplace rezultatelor interogărilor pentru a proteja datele individuale, păstrând în același timp precizia generală.
• Statistici rezistente și regresie: regresia Lasso utilizează o distribuție a priori cu forma Laplace, favorizând soluțiile în care mulți coeficienți sunt exact egali cu zero.
• Finanțe: modelarea randamentelor activelor, care tind să aibă cozi mai grele decât sugerează o distribuție normală.
• Seismologie: apare în modelele tiparelor magnitudinii cutremurelor asociate cu legea Gutenberg-Richter.

Întrebări frecvente

Ce înseamnă rezultatul calculatorului?

Este valoarea maximă, sau de vârf, a funcției de densitate a probabilității, egală cu 1/(2b). Aceasta este înălțimea curbei în centrul său, x = μ.

De ce nu solicită calculatorul o valoare x?

Densitatea maximă, 1/(2b), este aceeași pentru orice valoare x egală cu μ, astfel încât nu este necesară o valoare x separată pentru a o determina. Acesta este numărul unic standard utilizat pentru a compara cât de înalte și înguste sau cât de joase și late sunt două distribuții Laplace. Curba completă, care arată densitatea pentru fiecare x, este disponibilă pe grafic.

Cum determin densitatea într-un punct diferit de maxim?

Utilizați formula $f(x) = \frac{1}{2b} \exp\left(-\frac{|x-\mu|}{b}\right)$ cu valoarea x dorită sau citiți direct înălțimea de pe curba trasată.

Prin ce se deosebește distribuția Laplace de distribuția exponențială?

Distribuția Laplace poate fi construită din două distribuții exponențiale. Dacă X și Y sunt variabile aleatoare exponențiale independente, cu aceeași rată, atunci X − Y urmează o distribuție Laplace centrată în 0.

Care sunt utilizările obișnuite ale distribuției Laplace?

Este utilizată în prelucrarea semnalelor, comprimarea imaginilor, confidențialitatea diferențială, statistica rezistentă la valori extreme, regresia Lasso și modelarea randamentelor financiare și a magnitudinilor cutremurelor, oriunde datele reale prezintă mai multe valori extreme decât anticipează o distribuție normală.

Distribuția Laplace poate avea valori negative sau este destinată doar valorilor pozitive?

Este definită pentru toate numerele reale, atât pozitive, cât și negative, spre deosebire de distribuția exponențială, care ia doar valori nenegative.

Referințe

1. Kotz, S., Kozubowski, T. și Podgórski, K. (2001). The Laplace Distribution and Generalizations. Birkhäuser, Boston, MA.
2. "Laplace distribution." Wikipedia, Fundația Wikimedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_distribution