Calculator de Distribuție Poisson - Calculați Probabilitățile Evenimentelor

Ce este un calculator pentru distribuția Poisson?

Un calculator pentru distribuția Poisson determină probabilitatea ca un anumit număr de evenimente să aibă loc într-o perioadă fixă de timp sau într-un spațiu fix, cunoscând frecvența medie a acestor evenimente. Este folosit când evenimentele au loc unul câte unul, independent unele de altele, cu o rată medie constantă. Printre exemplele tipice se numără numărul de apeluri telefonice primite de un centru de apeluri într-o oră sau numărul greșelilor de tipar de pe o pagină.

Formula distribuției Poisson

Distribuția Poisson dă probabilitatea ca exact k evenimente să aibă loc atunci când rata medie este λ (litera grecească lambda):

$P(X = k) = \dfrac{e^{-\lambda} \lambda^{k}}{k!}$

Fiecare simbol înseamnă:

• λ (lambda) — numărul mediu de evenimente pe interval. Este singurul parametru al distribuției.
• k — numărul exact de evenimente pentru care se calculează probabilitatea. Trebuie să fie un număr întreg, 0 sau mai mare.
• e — numărul lui Euler, o constantă fixă egală cu aproximativ 2,71828.
• k! — „factorialul lui k”, produsul tuturor numerelor întregi de la 1 până la k. De exemplu, 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24. Prin convenție, 0! = 1.

Formula are nevoie doar de λ și k. Nu necesită un număr total de încercări, spre deosebire de distribuția binomială.

Cum se calculează o probabilitate Poisson

1. Alegeți λ, numărul mediu de evenimente din intervalul studiat.
2. Alegeți k, numărul exact de evenimente pentru care doriți să aflați probabilitatea.
3. Ridicați e la puterea −λ: aceasta dă e^(−λ).
4. Ridicați λ la puterea k: aceasta dă λ^k.
5. Determinați k!, factorialul lui k.
6. Înmulțiți rezultatele pașilor 3 și 4, apoi împărțiți la rezultatul pasului 5.

Numărul obținut este o probabilitate între 0 și 1. Înmulțiți-l cu 100 pentru a-l exprima ca procent.

Exemplu rezolvat

Un centru de apeluri primește în medie 5 apeluri pe oră (λ = 5). Care este probabilitatea să primească exact 3 apeluri într-o anumită oră (k = 3)?

1. e^(−5) ≈ 0,006738
2. 5^3 = 125
3. 3! = 3 × 2 × 1 = 6
4. Înmulțire: 0,006738 × 125 ≈ 0,842243
5. Împărțire la 6: 0,842244 ÷ 6 ≈ 0,140374

Probabilitatea să primească exact 3 apeluri în acea oră este de aproximativ 0,140, adică 14 %.

Mai multe exemple

Unde este folosită distribuția Poisson

Distribuția Poisson modelează numărul de apariții ale unor evenimente rare și independente. Utilizările frecvente includ:

• Centre de apeluri și servicii pentru clienți: estimarea numărului de apeluri sau conversații care sunt primite într-o oră.
• Producție: estimarea numărului de defecte dintr-un lot de produse.
• Asigurări: estimarea numărului de cereri de despăgubire care vor fi primite într-o anumită perioadă.
• Biologie și medicină: modelarea numărului de mutații sau a răspândirii bolilor rare.
• Fizică: descrierea dezintegrării radioactive, în care fiecare atom se dezintegrează independent, cu o rată medie constantă.
• Trafic și ingineria rețelelor: estimarea sosirilor de vehicule la o intersecție sau a cererilor care ajung la un server.

Condiții pentru utilizarea distribuției Poisson

Distribuția Poisson se potrivește unei situații numai când sunt îndeplinite toate condițiile următoare:

• Evenimentele au loc unul câte unul; două evenimente nu pot avea loc exact în același moment.
• Evenimentele au loc independent — un eveniment nu îl face pe următorul mai mult sau mai puțin probabil.
• Rata medie, λ, rămâne constantă pe intervalul studiat.

Dacă rata se schimbă în timp sau evenimentele tind să se grupeze, distribuția Poisson simplă nu va descrie bine datele.

Distribuția Poisson și distribuții înrudite

• Distribuția binomială: este folosită când există un număr fix de încercări și o probabilitate cunoscută de succes la fiecare dintre acestea, cum ar fi aruncarea unei monede de 20 de ori. Distribuția Poisson este limita către care tinde distribuția binomială când numărul de încercări crește foarte mult, iar probabilitatea de succes la fiecare încercare scade către zero, în timp ce produsul dintre cele două rămâne în jurul valorii λ.
• Distribuția normală: pentru valori mari ale lui λ, aproximativ peste 20, distribuția Poisson seamănă cu o distribuție normală în formă de clopot, cu media λ și varianța λ.
• Distribuția exponențială: în timp ce distribuția Poisson numără câte evenimente au loc într-un interval fix, distribuția exponențială descrie timpul de așteptare dintre aceste evenimente.

O notă despre istorie

Matematicianul francez Siméon Denis Poisson a introdus distribuția în 1837, într-o carte despre aplicarea probabilității la verdicte judecătorești. La început, a atras puțină atenție. Utilizarea sa s-a extins la începutul secolului al 20-lea, după ce statisticieni precum Ladislaus Bortkiewicz și Ronald Fisher au aplicat-o unor date reale de numărare, inclusiv într-un studiu celebru despre soldații prusaci uciși de lovituri de copite.

Întrebări frecvente

Ce înseamnă lambda (λ) într-o distribuție Poisson? Lambda este numărul mediu de evenimente așteptate în intervalul studiat. Este și varianța distribuției, astfel încât o valoare mai mare a lui λ înseamnă atât o medie mai mare a numărului de evenimente, cât și o dispersie mai mare a rezultatelor posibile.

Pot fi k sau λ negative ori fracționare? λ trebuie să fie mai mare decât 0, dar poate fi o valoare zecimală, cum ar fi 2,5 evenimente pe oră. k trebuie să fie un număr întreg de 0 sau mai mare, deoarece numără evenimente reale; nu poate fi negativ sau fracționar.

Prin ce diferă distribuția Poisson de distribuția binomială? Distribuția binomială necesită un număr fix de încercări și o probabilitate constantă de succes pentru fiecare încercare. Distribuția Poisson are nevoie doar de o rată medie și se aplică evenimentelor care, în principiu, se pot produce de un număr nelimitat de ori.

Când ar trebui folosită în schimb distribuția normală? Pentru valori mari ale lui λ, în general peste aproximativ 20, o distribuție normală cu aceeași medie și aceeași varianță aproximează îndeaproape distribuția Poisson și este adesea mai ușor de utilizat manual.

De ce afișează uneori calculatorul un număr în notație științifică? Rezultatele sunt afișate de obicei cu șase zecimale. Când o probabilitate este mai mică decât 0,0001, șase zecimale ar rotunji-o la 0,000000 și ar ascunde cât de mică este în realitate, astfel încât calculatorul trece la notația științifică. Pentru λ = 20 și k = 1 afișează 4.122307e-8, ceea ce înseamnă 0,00000004122307.

Există limite pentru valorile acceptate de calculator? Da. λ trebuie să fie mai mare decât 0 și cel mult egal cu 700, iar k trebuie să fie un număr întreg de la 0 la 1000. În afara acestor limite, calculatorul afișează o eroare. Limitele mențin rezultatul în intervalul de numere pe care îl poate stoca un computer și păstrează graficul la un număr de bare ușor de citit.

Permite distribuția Poisson mai mult de un eveniment în același timp? Nu. Modelul presupune că evenimentele au loc unul câte unul. Dacă două evenimente au loc în mod obișnuit împreună, o altă distribuție se potrivește mai bine datelor.

Referințe

1. Poisson, Siméon Denis. Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile. Paris, 1837.
2. Haight, Frank A. Handbook of the Poisson Distribution. New York: John Wiley & Sons, 1967.
3. "Poisson Distribution." NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, secțiunea 1,3.6,6.19. https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda366j.htm
4. Johnson, Norman L., Adrienne W. Kemp și Samuel Kotz. Univariate Discrete Distributions. John Wiley & Sons, 2005.