Калькулятор взаимно простых чисел

Взаимно простые числа — это два или более целых числа, единственный общий положительный делитель которых равен 1. Этот калькулятор проверяет, являются ли введённые числа взаимно простыми, находя их наибольший общий делитель (НОД). Если НОД равен 1, числа взаимно простые.

Взаимно простые числа также называют относительно простыми числами.

Что значит «взаимно простые»?

Два целых числа называются взаимно простыми, если ни одно целое число больше 1 не делит их оба. Сами числа не обязательно должны быть простыми. Например, 8 и 15 взаимно простые: делители числа 8 — это 1, 2, 4 и 8, а делители числа 15 — это 1, 3, 5 и 15. Единственный общий делитель — 1, поэтому числа взаимно простые.

А вот 12 и 18 не взаимно простые. Оба числа делятся на 2, 3 и 6, поэтому их наибольший общий делитель равен 6.

Как проверить, являются ли числа взаимно простыми

1. Найдите наибольший общий делитель (НОД) всех чисел. НОД — это наибольшее целое число, на которое делится каждое из чисел без остатка.
2. Сравните НОД с 1. Если НОД равен 1, числа взаимно простые. Если НОД больше 1, числа не взаимно простые.

НОД группы чисел находят, применяя алгоритм Евклида последовательно к парам чисел: НОД трёх чисел a, b и c равен GCD(GCD(a, b), c).

Формула взаимной простоты

Числа a₁, a₂, …, aₙ взаимно простые, если:

GCD(a₁, a₂, …, aₙ) = 1

Пример

Проверим, взаимно простые ли числа 6, 10 и 15.

• GCD(6, 10) = 2
• GCD(2, 15) = 1

Наибольший общий делитель всех трёх чисел равен 1, поэтому 6, 10 и 15 взаимно простые как набор.

Обратите внимание, что эти три числа не попарно взаимно простые. 6 и 10 имеют общий делитель 2, 6 и 15 — общий делитель 3, а 10 и 15 — общий делитель 5. Взаимная простота набора (НОД всех чисел вместе равен 1) — более слабое условие, чем попарная взаимная простота (НОД каждой пары равен 1). Этот калькулятор показывает оба результата.

Попарная взаимная простота и взаимная простота набора

Группа чисел называется взаимно простой как набор, если НОД всей группы равен 1. Она называется попарно взаимно простой, если НОД каждой возможной пары в группе равен 1. Попарно взаимно простые числа всегда взаимно простые как набор, но обратное не всегда верно, как показывает пример выше.

Часто задаваемые вопросы

Является ли 1 взаимно простым с любым числом?

Да. Число 1 не имеет общего делителя больше 1 ни с одним целым числом, поэтому 1 взаимно просто с любым целым числом, включая само себя.

Должны ли взаимно простые числа быть простыми?

Нет. Взаимно простые числа могут быть составными. 8 и 15 — оба составные числа, но они взаимно простые, потому что не имеют общего делителя, кроме 1.

Всегда ли два разных простых числа взаимно просты?

Да. Два разных простых числа не имеют общего делителя, кроме 1, поэтому любые два разных простых числа взаимно простые.

Могут ли отрицательные числа быть взаимно простыми?

Взаимная простота обычно определяется для положительных целых чисел. Этот калькулятор принимает положительные целые числа от 1 и больше.

В чём разница между НОД и взаимной простотой?

НОД — это наибольшее число, на которое делятся все введённые значения. «Взаимно простые» — это частный случай, когда этот НОД равен 1.