Перейти к содержимому
🛠️
Whiz Tools

Калькулятор единичной окружности: точные sin, cos и tan

Введите угол в градусах или радианах, чтобы получить его точку на единичной окружности, синус, косинус, тангенс, опорный угол и координатную четверть. Точные значения стандартных углов.

Unit Circle Calculator

Enter an angle in degrees or radians to get its point on the unit circle, its sine, cosine and tangent, its reference angle and its quadrant. The standard angles are answered exactly.

The angle to place on the circle, in the unit chosen below. Any value is allowed, including a negative one and one past a full turn.

Point on the circle (x, y)
(√3/2, 1/2)

Sine, cosine and tangent

cos θ (the x coordinate)
√3/2
sin θ (the y coordinate)
1/2
tan θ
√3/3
This is one of the sixteen standard angles, so the values are exact rather than rounded. As decimals: cos θ = 0.8660254, sin θ = 0.5, tan θ = 0.57735027.

Where it lands

Quadrant or axis
Quadrant I
Reference angle
30°
Reference angle in radians
π/6rad

The angle

Angle in degrees
30°
Angle in radians
0.52359878rad
Folded into one turn
30°
Folded angle in radians
π/6rad
The unit circle has radius 1 and is centred on the origin. A point on it is (cos θ, sin θ), so the coordinates and the two function values are the same pair of numbers. The tangent is sin θ divided by cos θ, which has no value where cos θ is 0.
Калькулятор загрузки...
📚

Документация

Калькулятор единичной окружности

Единичная окружность — это окружность с радиусом 1, построенная с центром в начале координат. Калькулятор единичной окружности принимает угол и показывает точку, в которой сторона угла пересекает окружность: координаты точки (x, y), синус, косинус и тангенс, опорный угол и квадрант. Эта страница считывает угол в градусах или радианах и выдаёт точные значения, например √3/2, для шестнадцати стандартных углов.

Что делает калькулятор

Пользователь вводит угол и выбирает градусы или радианы. Страница выдаёт:

  • точку (x, y), в которой сторона угла пересекает окружность
  • cos θ, sin θ и tan θ
  • опорный угол в градусах и радианах
  • квадрант или ось, если угол попадает на неё
  • угол в обеих единицах, а также тот же угол, приведённый к одному полному обороту

Для шестнадцати стандартных углов ответы представлены в виде точных выражений, а ниже показаны десятичные значения. Любой другой угол отображается с восемью значащими цифрами. Округляется только отображаемое значение.

Формула единичной окружности

Углы измеряются против часовой стрелки от положительной полуоси x. Луч, проведённый под углом θ, пересекает окружность в одной точке, и две координаты этой точки равны косинусу и синусу:

(x,y)=(cos⁡θ,sin⁡θ)(x, y) = (\cos\theta, \sin\theta)

где xx — горизонтальная координата, yy — вертикальная координата, а θ\theta — угол.

Радиус равен 1, поэтому координаты и два значения функций представляют собой одну и ту же пару чисел, называемую по-разному. Поэтому окружность имеет радиус 1, а не какой-либо другой. Тангенс строится из той же пары:

tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}

Каждая точка окружности также удовлетворяет теореме Пифагора, применённой к прямоугольному треугольнику с катетами xx и yy и гипотенузой 1:

cos⁡2θ+sin⁡2θ=1\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1

Градусы и радианы

Страница принимает любую из двух единиц и сообщает результат в обеих. Они связаны тем, что половина оборота равна π радианам:

\qquad \theta_{\mathrm{deg}} = \theta_{\mathrm{rad}} \times \frac{180}{\pi}$$ где $\theta_{\mathrm{deg}}$ — угол в градусах, а $\theta_{\mathrm{rad}}$ — тот же угол в радианах. ### Приведение к одному обороту Угол может быть отрицательным и может превышать полный оборот. Точка на окружности повторяется каждые 360°, поэтому сначала страница приводит угол к диапазону от 0° до, но не включая, 360°: $$\theta_0 = ((\theta \bmod 360) + 360) \bmod 360$$ где $\theta$ — введённый угол в градусах, а $\theta_0$ — то же направление, записанное в пределах одного оборота. Угол 750° приводится к 30°, а −30° — к 330°. Приведение выполняется в градусах, без округления остатка. ### Опорный угол и квадрант Опорный угол — это острый угол между лучом и осью x. Он не может быть больше 90°: $$\theta_{\mathrm{ref}} = \begin{cases} \theta_0 & \text{if } \theta_0 \le 90 \\ 180 - \theta_0 & \text{if } \theta_0 \le 180 \\ \theta_0 - 180 & \text{if } \theta_0 \le 270 \\ 360 - \theta_0 & \text{иначе} \end{cases}$$ где $\theta_0$ — приведённый угол в градусах. Величина синуса, косинуса и тангенса зависит только от опорного угла. Квадрант определяет знаки. | Квадрант | Приведённый угол | cos | sin | tan | |---|---|---|---|---| | I | от 0° до 90° | + | + | + | | II | от 90° до 180° | − | + | − | | III | от 180° до 270° | − | − | + | | IV | от 270° до 360° | + | − | − | Углы 0°, 90°, 180° и 270° лежат на оси. Квадрант — это открытая область между двумя осями, поэтому ни один из этих четырёх углов не находится внутри квадранта; вместо выбора соседнего квадранта страница называет ось. ### Шестнадцать стандартных углов Пять опорных углов имеют точные выражения. | Опорный угол | cos | sin | tan | |---|---|---|---| | 0° (0) | 1 | 0 | 0 | | 30° (π/6) | √3/2 | 1/2 | √3/3 | | 45° (π/4) | √2/2 | √2/2 | 1 | | 60° (π/3) | 1/2 | √3/2 | √3 | | 90° (π/2) | 0 | 1 | не определено | Отражение этих строк в остальных трёх квадрантах даёт шестнадцать углов: 0, 30, 45, 60, 90, 120, 135, 150, 180, 210, 225, 240, 270, 300, 315 и 330 градусов. Страница получает их, поворачивая точки первого квадранта на четверть оборота за раз, а не переписывая таблицу четыре раза, поскольку именно при переписывании может появиться неверный знак. Углы 15°, 75° и 105° также имеют точные выражения, но состоящие из двух слагаемых, например 2 − √3. Они не относятся к этому семейству и приводятся в виде десятичных значений. Для 15° получаем cos 0,96592583, sin 0,25881905 и tan 0,26794919. ### Пример: 210 градусов 210° больше 180° и меньше 270°, поэтому он находится в квадранте III. Если вычесть 180, останется опорный угол 30°. При опорном угле 30° три величины равны √3/2, 1/2 и √3/3. В квадранте III обе координаты отрицательны, поэтому точка имеет координаты (−√3/2, −1/2). Тангенс представляет собой отрицательное число, делённое на отрицательное, поэтому он остаётся положительным и равен √3/3. В радианах угол равен 7π/6, а опорный угол — π/6. В десятичном виде страница показывает cos −0,8660254, sin −0,5 и tan 0,57735027. Углы 570° и −150° дают одинаковые результаты, поскольку оба приводятся к 210°. ### Какие константы являются точными | Постоянная величина | Значение | Точное значение? | Источник | |---|---|---|---| | Градусы в одном обороте | 360 | точно по определению | ISO 80000-3 | | Радианы в одном обороте | 2π | точно по определению | ISO 80000-3; брошюра SI | | cos 30°, sin 60° | √3/2 | точно | NIST DLMF §4,14 | | cos 45°, sin 45° | √2/2 | точно | NIST DLMF §4,14 | | cos 60°, sin 30° | 1/2 | точно | NIST DLMF §4,14 | | tan 90°, tan 270° | значения нет | точно, полюс | NIST DLMF §4,15 | Число π иррационально, поэтому у него нет точного десятичного или двоичного представления, и любое сохранённое его значение округлено. Страница исключает это округление из ответов двумя способами. Приведение выполняется в градусах, где 360 делится без остатка. А стандартные углы берутся из приведённой выше таблицы точных выражений, а не вычисляются по синусу с плавающей точкой. ### Чтение угла, введённого в радианах Значение в радианах уже является округлённым десятичным числом. π/2 вводится как 1,5707963267948966, и обратное преобразование даёт угол, отличающийся от 90 примерно на одну десятимиллиардную долю градуса, а не в точности равный 90. Поэтому страница считает любой угол, отличающийся от стандартного менее чем на миллионную долю градуса, этим стандартным углом. Допуск определяет, какая таблица используется, но не расширяет ответ. 30,001° не превращается в 30°. Углы больше миллиарда градусов отклоняются. Это ограничение арифметики, а не геометрии: разрыв между числами, которые может хранить компьютер, увеличивается вместе с их размером, и примерно после четырёх с половиной миллиардов градусов этот разрыв становится больше допуска в миллионную долю градуса, поэтому приведение уже не сохраняет достаточно подробностей для определения угла. Миллиард оставляет запас до этой границы. ### Часто задаваемые вопросы **Для чего используется единичная окружность?** Она превращает синус и косинус в координаты. Считывая с окружности одну точку, можно сразу получить оба значения; рисунок показывает, почему они повторяются через полный оборот и почему их знаки меняются от квадранта к квадранту. **Чему точно равен sin 30°?** Одной второй. cos 30° равен √3/2, то есть примерно 0,8660254, а tan 30° равен √3/3, то есть примерно 0,57735027. **Почему tan 90° не определён?** Тангенс — это синус, делённый на косинус, а cos 90° равен 0. Деление на ноль не имеет результата. Страница определяет полюс по самому углу, а не проверяет, оказалось ли вычисленное значение тангенса большим, поскольку большое значение тангенса при угле чуть меньше 90° — это обычное число. **Что такое опорный угол?** Это острый угол между лучом и осью x, поэтому он всегда находится между 0° и 90°. Углы 150°, 210° и 330° имеют опорный угол 30°, поэтому их синус и косинус используют одни и те же три величины и отличаются только знаками. **Работает ли отрицательный угол?** Да. Отрицательный угол направлен по часовой стрелке. Угол −30° указывает в том же направлении, что и 330°, поэтому страница выдаёт точку (√3/2, −1/2) и квадрант IV. **Почему страница показывает угол дважды?** Углы 750° и 30° пересекают окружность в одной и той же точке, но обозначают разные повороты. Страница повторяет введённый угол, преобразованный в другую единицу, и показывает рядом приведённый угол.