Kalkulačka Poissonovho rozdelenia - Výpočet pravdepodobností udalostí

Čo je kalkulačka Poissonovho rozdelenia?

Kalkulačka Poissonovho rozdelenia vypočíta pravdepodobnosť, že za pevne stanovený časový alebo priestorový interval nastane určitý počet udalostí, ak poznáme ich priemernú mieru výskytu. Používa sa vtedy, keď udalosti nastávajú po jednej, navzájom nezávisle a s konštantnou priemernou mierou.

Vzorec Poissonovho rozdelenia

Poissonovo rozdelenie udáva pravdepodobnosť presne k udalostí, ak je priemerný počet udalostí λ (grécke písmeno lambda):

$P(X = k) = \dfrac{e^{-\lambda} \lambda^{k}}{k!}$

Každý symbol znamená:

• λ (lambda) — priemerný počet udalostí na interval. Je to jediný parameter rozdelenia.
• k — presný počet udalostí, ktorého pravdepodobnosť sa vypočítava. Musí to byť celé číslo 0 alebo väčšie.
• e — Eulerovo číslo, pevná konštanta približne rovná 2,71828.
• k! — „k faktoriál“, súčin všetkých celých čísel od 1 po k. Napríklad 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24. Podľa konvencie platí 0! = 1.

Vzorec potrebuje iba λ a k. Na rozdiel od binomického rozdelenia nepotrebuje celkový počet pokusov.

Ako vypočítať Poissonovu pravdepodobnosť

1. Zvoľte λ, priemerný počet udalostí v skúmanom intervale.
2. Zvoľte k, presný počet udalostí, pre ktorý chcete nájsť pravdepodobnosť.
3. Umocnite e na zápornú hodnotu λ: získate e^(−λ).
4. Umocnite λ na k: získate λ^k.
5. Nájdite k!, teda faktoriál čísla k.
6. Vynásobte výsledky krokov 3 a 4 a potom ich vydeľte výsledkom kroku 5.

Výsledkom je pravdepodobnosť medzi 0 a 1. Ak ju chcete vyjadriť v percentách, vynásobte ju číslom 100.

Príklad s riešením

Call centrum prijme v priemere 5 telefonátov za hodinu (λ = 5). Aká je pravdepodobnosť, že za danú hodinu prijme presne 3 telefonáty (k = 3)?

1. e^(−5) ≈ 0,006738
2. 5^3 = 125
3. 3! = 3 × 2 × 1 = 6
4. Vynásobte: 0,006738 × 125 ≈ 0,842243
5. Vydeľte číslom 6: 0,842244 ÷ 6 ≈ 0,140374

Pravdepodobnosť presne 3 telefonátov za danú hodinu je približne 0,140, teda 14 %.

Ďalšie príklady

Kde sa používa Poissonovo rozdelenie

Poissonovo rozdelenie modeluje počty zriedkavých, nezávislých udalostí. Medzi bežné použitia patria:

• Call centrá a zákaznícke služby: predpovedanie počtu telefonátov alebo chatov prijatých za hodinu.
• Výroba: odhad počtu chýb v dávke výrobkov.
• Poisťovníctvo: odhad počtu poistných udalostí, ktoré nastanú za dané obdobie.
• Biológia a medicína: modelovanie počtu mutácií alebo šírenia zriedkavých ochorení.
• Fyzika: opis rádioaktívneho rozpadu, pri ktorom sa každý atóm rozpadá nezávisle od ostatných stálou priemernou rýchlosťou.
• Doprava a sieťové inžinierstvo: odhad príchodov vozidiel na križovatku alebo požiadaviek smerujúcich na server.

Podmienky použitia Poissonovho rozdelenia

Poissonovo rozdelenie je vhodné pre danú situáciu iba vtedy, keď platia všetky tieto podmienky:

• Udalosti nastávajú po jednej; dve udalosti nemôžu nastať presne v rovnakom okamihu.
• Udalosti nastávajú nezávisle — jedna udalosť nezvyšuje ani neznižuje pravdepodobnosť nasledujúcej.
• Priemerná miera výskytu λ zostáva počas skúmaného intervalu konštantná.

Ak sa frekvencia v priebehu času mení alebo sa udalosti zvyknú zoskupovať, jednoduché Poissonovo rozdelenie nebude údaje dobre opisovať.

Poissonovo rozdelenie v porovnaní s príbuznými rozdeleniami

• Binomické rozdelenie: používa sa pri pevnom počte pokusov a známej pravdepodobnosti úspechu pri každom z nich, napríklad pri hodení mincou 20-krát. Poissonovo rozdelenie je limitným prípadom binomického rozdelenia, keď počet pokusov veľmi narastá a pravdepodobnosť úspechu pri jednom pokuse sa blíži k nule, pričom ich súčin zostáva približne rovný λ.
• Normálne rozdelenie: pri veľkom λ, približne nad 20, sa Poissonovo rozdelenie podobá zvonovitému normálnemu rozdeleniu so strednou hodnotou λ a rozptylom λ.
• Exponenciálne rozdelenie: Poissonovo rozdelenie počíta, koľko udalostí nastane v pevnom intervale, zatiaľ čo exponenciálne rozdelenie opisuje čas čakania medzi týmito udalosťami.

Stručná poznámka k histórii

Francúzsky matematik Siméon Denis Poisson predstavil toto rozdelenie v roku 1837 v knihe o pravdepodobnosti použitej na súdne rozsudky. Spočiatku mu bola venovaná malá pozornosť. Jeho používanie sa rozšírilo na začiatku 20. storočia, keď ho štatistici ako Ladislaus Bortkiewicz a Ronald Fisher aplikovali na skutočné údaje o počtoch vrátane známej štúdie pruských vojakov usmrtených kopancami koní.

Najčastejšie otázky

Čo znamená lambda (λ) v Poissonovom rozdelení? Lambda je priemerný počet udalostí očakávaných v skúmanom intervale. Je tiež rozptylom rozdelenia, takže väčšie λ znamená vyšší priemerný počet aj väčší rozptyl možných výsledkov.

Môžu byť k alebo λ záporné alebo zlomkové? λ musí byť väčšie ako 0, ale môže byť desatinné, napríklad 2,5 udalosti za hodinu. k musí byť celé číslo od 0 vyššie, pretože vyjadruje skutočné udalosti; nemôže byť záporné ani zlomkové.

Ako sa Poissonovo rozdelenie líši od binomického rozdelenia? Binomické rozdelenie potrebuje pevný počet pokusov a pevnú pravdepodobnosť úspechu pri každom pokuse. Poissonovo rozdelenie potrebuje iba priemernú frekvenciu a používa sa pri udalostiach, ktoré by teoreticky mohli nastať ľubovoľne veľakrát.

Kedy treba namiesto neho použiť normálne rozdelenie? Pri veľkom λ, spravidla nad približne 20, normálne rozdelenie s rovnakou strednou hodnotou a rozptylom dobre aproximuje Poissonovo rozdelenie a často sa s ním ľahšie pracuje ručne.

Prečo kalkulačka niekedy zobrazuje číslo vo vedeckom zápise? Výsledky sa zvyčajne zobrazujú na šesť desatinných miest. Keď je pravdepodobnosť menšia ako 0,0001, zaokrúhlenie na šesť desatinných miest by ju zmenilo na 0,000000 a skrylo, aká je v skutočnosti malá, preto kalkulačka namiesto toho použije vedecký zápis. Pri λ = 20 a k = 1 kalkulačka zobrazí 4.122307e-8, čo zodpovedá hodnote 0,00000004122307.

Existujú obmedzenia hodnôt, ktoré kalkulačka prijíma? Áno. λ musí byť väčšie ako 0 a nesmie byť väčšie ako 700, pričom k musí byť celé číslo od 0 do 1000. Mimo týchto limitov kalkulačka zobrazí chybu. Horné hranice zabezpečujú, aby výsledok zostal v rozsahu hodnôt, ktoré dokáže počítač uložiť, a zachovávajú čitateľný počet stĺpcov v grafe.

Umožňuje Poissonovo rozdelenie viac než jednu udalosť naraz? Nie. Model predpokladá, že udalosti nastávajú po jednej. Ak dve udalosti pravidelne nastávajú súčasne, údaje lepšie vystihuje iné rozdelenie.

Referencie

1. Poisson, Siméon Denis. Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile. Paríž, 1837.
2. Haight, Frank A. Handbook of the Poisson Distribution. New York: John Wiley & Sons, 1967.
3. "Poisson Distribution." NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, časť 1,3.6,6.19. https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda366j.htm
4. Johnson, Norman L., Adrienne W. Kemp a Samuel Kotz. Univariate Discrete Distributions. John Wiley & Sons, 2005.