Kalkulator Z-ocene - Orodje za standardni rezultat in verjetnost

Kaj je z-vrednost?

Z-vrednost, imenovana tudi standardizirana vrednost, meri, koliko standardnih odklonov je podatkovna točka oddaljena od povprečja nabora podatkov. Z-vrednost 0 pomeni, da je vrednost enaka povprečju. Pozitivna z-vrednost pomeni, da je vrednost nad povprečjem, negativna z-vrednost pa, da je pod njim.

Formula za z-vrednost

Z-vrednost podatkovne točke se izračuna po tej formuli:

$$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$

Pri tem:

• $z$ je z-vrednost
• $x$ je podatkovna točka
• $\mu$ je povprečje nabora podatkov
• $\sigma$ je standardni odklon nabora podatkov

Standardni odklon ne more biti enak nič, saj deljenje z ničlo nima definiranega rezultata. Prav tako ne more biti negativen, ker je standardni odklon po definiciji vedno enak nič ali pozitiven.

Kako izračunati z-vrednost

1. Izračunajte povprečje nabora podatkov tako, da seštejete vse vrednosti in vsoto delite s številom vrednosti, $n$.

$$\mu = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$$

2. Izračunajte standardni odklon. Najprej izračunajte varianco, to je povprečje kvadratov odklonov od povprečja, nato pa izračunajte njen kvadratni koren.

$$\sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2}{n}}$$

To je standardni odklon populacije, pri katerem se deli z $n$. Kadar so števila vzorec, vzet iz večje skupine, namesto tega delite z $n - 1$.

3. Od podatkovne točke odštejte povprečje in rezultat delite s standardnim odklonom.

$$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$

Primer z rešitvijo

Dijak na preizkusu doseže 85 točk. Povprečje razreda je 75, standardni odklon rezultatov razreda pa 10.

• Podatkovna točka: $x = 85$
• Povprečje: $\mu = 75$
• Standardni odklon: $\sigma = 10$

$$z = \frac{85 - 75}{10} = 1.0$$

Dijakova z-vrednost je 1,0. Njegov rezultat je en standardni odklon nad povprečjem razreda.

Z-vrednost in kumulativna verjetnost

Z-vrednost je mogoče pretvoriti v kumulativno verjetnost, to je verjetnost, da naključno izbrana vrednost iz normalne porazdelitve pade na to točko ali pod njo. To je ploščina pod standardno normalno krivuljo levo od $z$.

$$P(Z \leq z) = \Phi(z)$$

Pri dijakovi z-vrednosti 1,0 je kumulativna verjetnost približno 0,8413 oziroma 84,13 %. To pomeni, da je dijak dosegel boljši rezultat kot približno 84 % razreda, če rezultati sledijo normalni porazdelitvi. Kalkulator prikaže z-vrednost na štiri decimalna mesta, kumulativno verjetnost pa kot odstotek na dve decimalni mesti.

Nekaj referenčnih točk:

Razlaga z-vrednosti

Večina vrednosti v normalni porazdelitvi je znotraj 2 standardnih odklonov od povprečja. Z-vrednosti nad +3 ali pod -3 so redke in se pogosto obravnavajo kot osamelci, torej vrednosti, ki se izrazito razlikujejo od preostalih podatkov.

Z-vrednosti omogočajo tudi primerjavo vrednosti, izmerjenih na različnih lestvicah. Rezultata preizkusa in meritve višine ni mogoče neposredno primerjati, njuni z-vrednosti pa je mogoče, ker obe opisujeta oddaljenost od povprečja v enakih enotah standardnega odklona.

Z-vrednost v primerjavi s t-vrednostjo

Z-vrednost predpostavlja, da je standardni odklon populacije znan, in je najprimernejša za velike vzorce. T-vrednost se uporablja, kadar standardni odklon populacije ni znan in je vzorec majhen, običajno z manj kot 30 opazovanji. Obe opisujeta oddaljenost od povprečja, vendar t-vrednost izhaja iz t-porazdelitve, ki ima zaradi dodatne negotovosti pri majhnem vzorcu debelejše repe.

Pogoste uporabe z-vrednosti

• Standardizirano testiranje. Primerjava dijakovega osnovnega rezultata s celotno porazdelitvijo rezultatov.
• Odkrivanje osamelcev. Označevanje podatkovnih točk, ki so v naboru podatkov daleč od povprečja.
• Nadzor kakovosti. Preverjanje, ali izdelan predmet spada v sprejemljivo območje.
• Preverjanje hipotez. Z-testi uporabljajo z-vrednosti za presojo, ali se povprečje vzorca pomembno razlikuje od znanega povprečja populacije.

Zgodovina

Z-vrednost temelji na normalni porazdelitvi, ki jo je Abraham de Moivre opisal leta 1733, Carl Friedrich Gauss in Pierre-Simon Laplace pa sta jo v začetku 19. stoletja nadalje razvila. Standardiziranje vrednosti v enote standardnega odklona je postalo običajna praksa pri psihološkem testiranju in nadzoru kakovosti v 20. stoletju.

Pogosta vprašanja

Kaj je z-vrednost v statistiki? Z-vrednost je število standardnih odklonov, za kolikor je podatkovna točka oddaljena od povprečja svojega nabora podatkov. Izračuna se po formuli z = (x − μ) / σ.

Kako razlagam rezultat z-vrednosti? Z-vrednost 0 pomeni, da je vrednost enaka povprečju. Pozitivna vrednost je nad povprečjem, negativna pa pod njim. Vrednosti nad +3 ali pod -3 so neobičajne.

Ali je z-vrednost lahko negativna? Da. Negativna z-vrednost preprosto pomeni, da je podatkovna točka pod povprečjem. Z-vrednost -2 pomeni, da je vrednost 2 standardna odklona pod povprečjem.

Kakšna je razlika med z-vrednostjo in t-vrednostjo? Z-vrednost se uporablja pri velikih vzorcih, kadar je standardni odklon populacije znan. T-vrednost se uporablja pri majhnih vzorcih, običajno z manj kot 30 opazovanji, kadar standardni odklon ni znan.

Kaj pomeni kumulativna verjetnost pri z-vrednosti? To je verjetnost, da je naključno izbrana vrednost iz normalne porazdelitve manjša ali enaka dani z-vrednosti. Enaka je ploščini pod normalno krivuljo levo od te točke.

Kaj se zgodi, če je standardni odklon enak nič? Z-vrednost ni definirana, ker bi formula zahtevala deljenje z ničlo. Standardni odklon nič pomeni, da so vse vrednosti v naboru podatkov enake.

Viri

1. Standard score, Wikipedia: https://en.wikipedia.org/wiki/Standard_score
2. Normal distribution and z-scores, Khan Academy: https://www.khanacademy.org/math/statistics-probability/modeling-distributions-of-data/z-scores/a/z-scores-review