Калкулатор конусних пресека - Круг, Елипса, Парабола

Шта је калкулатор конусних пресека?

Калкулатор конусних пресека одређује ексцентрицитет и стандардну једначину круга, елипсе, параболе или хиперболе на основу неколико мерења. Ове четири криве настају када равна раван пресече купу под различитим угловима.

Четири конусна пресека

Хоризонтално пресецање купе даје круг. Нагињањем равни добија се елипса. Пресек паралелан бочној страни купе даје параболу. Пресек кроз обе половине двоструке купе даје хиперболу.

Свака крива има ексцентрицитет, број који показује колико се разликује од савршеног круга.

• Круг: $e = 0$
• Елипса: $0 < e < 1$
• Парабола: $e = 1$
• Хипербола: $e > 1$

Како се користи овај калкулатор

1. Изаберите тип конусног пресека: круг, елипсу, параболу или хиперболу.
2. Унесите потребна мерења.
   • Круг: полупречник ($r$)
   • Елипса: велика полуоса ($a$) и мала полуоса ($b$)
   • Парабола: жижна даљина ($f$)
   • Хипербола: реална полуоса ($a$) и имагинарна полуоса ($b$)
3. Ексцентрицитет и стандардна једначина појављују се аутоматски чим се за изабрани тип конусног пресека унесу важеће позитивне вредности; нема дугмета „Израчунај“ на које треба кликнути.
4. График криве приказује се испод резултата.

Калкулатор исписује једначину са већ замењеним унетим бројевима, па се елипса са $a = 5$ и $b = 3$ приказује као $(x/5)^2 + (y/3)^2 = 1$. То је иста једначина као $x^2/25 + y^2/9 = 1$. Ексцентрицитет се приказује на четири децимална места.

Све вредности морају бити позитивни бројеви. Код елипсе велика полуоса мора бити најмање једнака малој полуоси, јер је велика полуоса по дефиницији дужа. За хиперболу такво правило не важи: њена полуоса попречне осе и полуоса коњуговане осе могу бити било које позитивне дужине, укључујући и једнаке дужине.

Формула за круг

За круг полупречника $r$ са центром у координатном почетку:

$$x^2 + y^2 = r^2$$

Ексцентрицитет: $e = 0$.

Круг је посебан случај елипсе код које су обе осе једнаке дужине, а обе жиже се налазе у центру.

Формула за елипсу

За елипсу са центром у координатном почетку, великом полуосом $a$ и малом полуосом $b$, где важи $a \geq b > 0$:

$$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$$ $$e = \sqrt{1 - \left(\dfrac{b}{a}\right)^2}$$

Пример: $a = 5$, $b = 3$.

$$e = \sqrt{1 - \left(\dfrac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - 0.36} = \sqrt{0.64} = 0.8$$

Једначина: $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1$

Када је $a = b$, елипса постаје круг и $e = 0$.

Формула за параболу

За параболу отворену надесно, са жижном даљином $f$ (растојањем од темена до жиже):

$$y^2 = 4fx$$

Ексцентрицитет: $e = 1$, увек.

Пример: $f = 2$. Једначина: $y^2 = 8x$.

Формула за хиперболу

За хиперболу са центром у координатном почетку, полуосом попречне осе $a$ и полуосом коњуговане осе $b$, где су $a$ и $b$ било који позитивни бројеви:

$$\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$$ $$e = \sqrt{1 + \left(\dfrac{b}{a}\right)^2}$$

Реална полуоса $a$ представља половину растојања између два темена, тачака у којима крива мења смер. Имагинарна полуоса $b$ представља половину дужине имагинарне осе, дужи повучене под правим углом на њу кроз центар. Она одређује брзину отварања кракова.

За разлику од елипсе, код хиперболе није неопходно да $a$ буде веће од $b$. Те две дужине су независне, па $b$ може бити мање, једнако или веће од $a$. Када је $a = b$, крива се назива правоугла хипербола, са ексцентрицитетом $\sqrt{2} \approx 1.4142$.

Пример: $a = 5$, $b = 3$.

$$e = \sqrt{1 + \left(\dfrac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 + 0.36} = \sqrt{1.36} \approx 1.1662$$

Једначина: $\dfrac{x^2}{25} - \dfrac{y^2}{9} = 1$

Примене конусних пресека у стварном свету

Планете и комете крећу се по орбитама облика конусних пресека. Кеплеров први закон каже да је орбита планете елипса, са Сунцем у једној од жижа. Неке комете прате параболичне или хиперболичне путање и никада се не враћају.

Параболе усмеравају паралелне зраке у једну тачку, па инжењери користе параболичне облике код сателитских антена, огледала телескопа и аутомобилских фарова. Хиперболичне криве појављују се на зидовима расхладних торњева, где такав облик обезбеђује чврстину уз мању количину материјала. Елипсе се користе у луковима, таваницама галерија шапата и конструкцији зупчаника.

Кратка историја конусних пресека

Грчки математичар Менаехмо проучавао је конусне пресеке око 350. године пре н. е. док је покушавао да реши проблем удвостручавања коцке. Аполоније из Перге написао је детаљан трактат под називом Конусни пресеци око 200. године пре н. е. Он је именовао елипсу, параболу и хиперболу и описао њихова својства. Вековима касније Јоханес Кеплер је користио елипсу за описивање кретања планета, а Исак Њутн је користио конусне пресеке за објашњење гравитације.

Најчешће постављана питања

Које су четири врсте конусних пресека?

Круг, елипса, парабола и хипербола. Сваки од њих настаје када раван пресече купу под различитим углом и сваки има различит опсег ексцентрицитета.

Како се израчунава ексцентрицитет?

Ексцентрицитет је фиксан за круг ($e = 0$) и параболу ($e = 1$). За елипсу важи $e = \sqrt{1 - (b/a)^2}$, при чему се користе велика полуоса $a$ и мала полуоса $b$. За хиперболу важи $e = \sqrt{1 + (b/a)^2}$, при чему се користе полуоса попречне осе $a$ и полуоса коњуговане осе $b$.

Да ли реална полуоса хиперболе мора бити дужа од имагинарне полуосе?

Не. За разлику од велике и мале полуосе елипсе, реална полуоса ($a$) и имагинарна полуоса ($b$) хиперболе представљају независна мерења. Обе морају бити позитивне, али било која од њих може бити већа.

Може ли елипса постати круг?

Да. Када је велика полуоса једнака малој полуоси, елипса је круг и њен ексцентрицитет је 0.

Зашто сателитске антене имају параболичан облик?

Парабола одбија зраке који се крећу паралелно њеној оси ка једној жижној тачки. Сателитске антене и огледала телескопа користе ово својство за усмеравање сигнала или светлости у једну тачку.

Шта је правоугла хипербола?

Правоугла хипербола је хипербола код које је реална полуоса једнака имагинарној полуоси ($a = b$). Њене асимптоте су нормалне једна на другу, а ексцентрицитет је $\sqrt{2} \approx 1.4142$.

Референце

1. Конусни пресек – Википедија
2. Ексцентрицитет конусних пресека – Khan Academy
3. Конусни пресеци – OpenStax