Калкулатор бочне површине купе - Бесплатан онлајн алат

Бочна површина конуса

Бочна површина конуса је површина његове закривљене бочне стране, без равне кружне основе. Назива се и површина омотача. За прави кружни конус може се израчунати на основу само два мерења: полупречника основе и висине конуса.

Шта је бочна површина?

Конус има две површине: равну кружну основу и закривљену површину која се од основе уздиже под нагибом до врха (шиљатог завршетка). Бочна површина обухвата само закривљени део. Ако се конус расече дуж једне изводнице и расклопи, бочна површина се развија у кружни исечак. Површина тог исечка једнака је бочној површини конуса.

То се разликује од укупне површине, која поново укључује основу.

Формула за бочну површину конуса

Бочна површина L правог кружног конуса износи:

$L = \pi r s$

• r је полупречник кружне основе
• s је изводница, дужина праве линије од обода основе до врха
• L је бочна површина, изражена у квадратним јединицама

Одређивање изводнице

Већина људи зна полупречник конуса и његову висину (h), односно вертикално растојање од основе до врха, а не изводницу. Полупречник, висина и изводница образују правоугли троугао, па се изводница добија применом Питагорине теореме:

$s = \sqrt{r^2 + h^2}$

Комбинована формула

Уврштавањем тог израза у формулу за бочну површину добија се потпуна формула, која користи само полупречник и висину:

$L = \pi r \sqrt{r^2 + h^2}$

Како израчунати бочну површину конуса

1. Измерите или забележите полупречник (r) основе.
2. Измерите или забележите нормалну висину (h), од основе до врха.
3. Одредите изводницу: $s = \sqrt{r^2 + h^2}$.
4. Помножите: $L = \pi \times r \times s$.
5. Очитајте резултат. Овај калкулатор рачуна са пуном прецизношћу и приказује резултат заокружен на четири децимална места.

Калкулатор на овој страници аутоматски обавља ове кораке. Унесите полупречник и висину, а он приказује бочну површину заједно са дијаграмом конуса.

Правила за унос

Полупречник и висина не смеју бити негативни. Унос негативне вредности производи поруку о грешци уместо резултата. Дозвољена је вредност нула. Висина нула спљоштава конус на његову основу, па је изводница једнака полупречнику, а формула даје површину тог круга, $\pi r^2$. Полупречник нула своди конус на праву линију, па је бочна површина 0.

Решени пример

Посматрајмо конус полупречника 3 m и висине 4 m.

1. Изводница: $s = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ m
2. Бочна површина: $L = \pi \times 3 \times 5 = 15\pi \approx 47.1239$ m²

Други пример: полупречник је 2 m, а висина 10 m.

1. Изводница: $s = \sqrt{2^2 + 10^2} = \sqrt{4 + 100} = \sqrt{104} \approx 10.1980$ m
2. Бочна површина: $L = \pi \times 2 \times 10.1980 \approx 64.0762$ m²

Виши конус са истим полупречником има дужу изводницу, па је његова бочна површина већа, иако је основа исте величине.

Бочна и укупна површина

Бочна површина не обухвата основу. Укупна површина је поново укључује:

$A_{total} = \pi r s + \pi r^2$

Користите само бочну површину када је важна само закривљена површина, на пример при израчунавању количине материјала потребне за облагање или премазивање стране конуса. Користите укупну површину када је и основа изложена и треба је прекрити, офарбати или узети у обзир.

Где се овај прорачун користи

• Производња: процена количине лима, тканине или премаза потребне за делове конусног облика, левке или абажуре.
• Грађевинарство: одређивање количине материјала за конусне кровове или шиљке.
• Паковање и дизајн: одређивање величине папира или картона за посуде конусног облика.
• Инжењерство: носни купасти делови, резервоари са конусним дном и друге компоненте конусног облика у ваздухопловном и индустријском пројектовању.

Историја

Старогрчки математичари проучавали су конусе и криве настале њиховим пресецима, познате као конусни пресеци. Аполоније из Перге написао је опсежно дело о тој теми, које је вековима потом обликовало начин на који су геометри описивали конусе. Формуле за површину конуса непосредно следе из истих геометријских односа које су утврдили он и ранији математичари попут Еуклида.

Најчешће постављана питања

Која је разлика између бочне и укупне површине конуса? Бочна површина је само закривљена страна. Укупна површина је закривљена страна плус кружна основа: $A_{total} = \pi r s + \pi r^2$.

Како се одређује бочна површина конуса без мерења изводнице? Користите $L = \pi r \sqrt{r^2 + h^2}$. Овим се изводница аутоматски одређује на основу полупречника и висине, применом Питагорине теореме.

У којим јединицама се изражава резултат? У квадратним јединицама које одговарају улазним вредностима. Ако су полупречник и висина изражени у метрима, бочна површина је у квадратним метрима; ако су изражени у инчима, резултат је у квадратним инчима.

Могу ли полупречник и висина бити изражени у различитим јединицама? Не. Пре уноса обе вредности морају бити изражене у истој јединици дужине, иначе ће резултат бити погрешан.

Шта се дешава ако унесем негативан број? Калкулатор га одбија и приказује грешку, јер конус не може имати негативан полупречник или висину.

Која је формула за бочну површину зарубљене купе (конуса са одсеченим врхом)? За зарубљену купу са полупречником горње основе $r_1$ и полупречником доње основе $r_2$: $L = \pi (r_1 + r_2) \sqrt{h^2 + (r_1 - r_2)^2}$. Ово је другачија формула од оне за цео конус.

Референце

1. Вајштајн, Ерик В. "Cone." MathWorld — Веб ресурс Wolfram-а. https://mathworld.wolfram.com/Cone.html
2. "Lateral Surface Area of a Cone." CK-12 Foundation. https://www.ck12.org/geometry/lateral-surface-area-of-a-cone/
3. "Apollonius of Perga." Encyclopaedia Britannica. https://www.britannica.com/biography/Apollonius-of-Perga