Калкулатор правог кружног купе - Запремина, Површина и Формуле

Шта је прави кружни конус?

Прави кружни конус је геометријско тело са равном кружном основом и једном закривљеном страном која се сужава до једне тачке, назване врх. Назива се „правим“ јер се врх налази тачно изнад центра основе. Дуж повучена од врха право надоле до основе сече основу под правим углом. Овај калкулатор израчунава запремину конуса, површину основе, бочну површину и укупну површину на основу његовог полупречника и висине.

Уобичајени примери овог облика су саобраћајни чуњеви, корнети за сладолед, левци и кровови неких кула.

Мере конуса

Прави кружни конус описују две мере:

• Полупречник (r): растојање од центра кружне основе до њене ивице.
• Висина (h): право вертикално растојање од основе до врха.

Трећа дужина, изводница (l), јесте растојање дуж спољашњости конуса од врха до ивице основе. Она се не мери директно. Уместо тога, израчунава се из полупречника и висине, јер те три дужине образују правоугли троугао. Калкулатор користи изводницу за израчунавање површине закривљене стране, али је не приказује као посебан резултат.

Калкулатор не одређује мерну јединицу. Унесите полупречник и висину у истој јединици. Свака површина ће тада бити изражена у квадратима те јединице, а запремина у кубним јединицама. Ниједна вредност не сме бити негативна, јер дужина не може бити негативна; калкулатор уместо резултата приказује поруку. Резултати се дају са четири децимале.

Формуле за конус

Формула за изводницу

Полупречник, висина и изводница образују правоугли троугао, па се изводница добија применом Питагорине теореме:

$$l = \sqrt{r^2 + h^2}$$

Формула за површину основе

Основа је круг, па се њена површина израчунава стандардном формулом за површину круга:

$$A_b = \pi r^2$$

Формула за бочну површину

Бочна површина обухвата само закривљену страну, а не и основу. Када би се закривљена страна развила у равни, образовала би кружни исечак чија је површина:

$$A_l = \pi r l$$

Формула за укупну површину

Укупна површина се добија сабирањем основе и закривљене стране:

$$A = A_b + A_l = \pi r^2 + \pi r l = \pi r (r + l)$$

Конусу који је отворен на основи, као што је папирни левак, за израчунавање количине материјала потребна је само бочна површина.

Формула за запремину конуса

$$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$$

Запремина конуса је тачно једна трећина запремине ваљка са истом основом и висином. Архимед је ову везу доказао методом која је претходила математичкој анализи. Касније је потврђена интегралним рачуном, који посматра конус као бесконачан низ кружних дискова који се смањују од основе ка врху.

Како израчунати запремину конуса: решен пример

Посматрајмо конус са полупречником r = 5 јединица и висином h = 12 јединица.

1. Израчунати изводницу.

$$l = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \text{ јединица}$$

2. Израчунати површину основе.

$$A_b = \pi (5)^2 = 25\pi \approx 78.54 \text{ јединица}^2$$

3. Израчунати бочну површину.

$$A_l = \pi (5)(13) = 65\pi \approx 204.20 \text{ јединица}^2$$

4. Израчунати укупну површину.

$$A = 25\pi + 65\pi = 90\pi \approx 282.74 \text{ јединица}^2$$

5. Израчунати запремину.

$$V = \frac{1}{3} \pi (5)^2 (12) = 100\pi \approx 314.16 \text{ јединица}^3$$

Дијаграм

Испрекидана вертикална линија представља висину, од основе до врха. Испрекидана хоризонтална линија представља полупречник, од центра основе до њене ивице.

Где се конуси појављују у стварном животу

Израчунавање запремине и површине конуса примењује се у различитим практичним областима:

• Израда предмета од лима: бочна површина даје количину равног материјала потребну за ваљање конусног левка, коша или редуктора канала, пре додавања додатка за шавове и отпад.
• Капацитет складиштења: формула за запремину даје капацитет конусних резервоара и конусних дна силоса.
• Грађевинарство: торњеви, завршеци кула и други конусни кровни елементи користе бочну површину за процену количине кровног материјала.
• Предмети свакодневне употребе: папирне чаше, корнети за сладолед и саобраћајни чуњеви приближно су прави кружни конуси.

Овај калкулатор претпоставља савршен конус са кружном основом и врхом постављеним изнад центра основе. Конусу одсеченом при врху, који се назива зарубљени конус, потребан је други скуп формула јер има два полупречника уместо једног.

Историја

Старогрчки математичари проучавали су конусе још око 300. године пре нове ере. Еуклидови Елементи дефинисали су конус као тело настало обртањем правоуглог троугла око једне његове катете. Касније је Аполоније из Перге проучавао криве настале пресецањем конуса под различитим угловима, данас назване конусним пресецима: круг, елипса, парабола и хипербола. Формулу за запремину V = (1/3)πr²h доказао је Архимед методом исцрпљивања, геометријском техником која је за око 2.000 година претходила интегралном рачуну.

Најчешће постављана питања

По чему је конус „прави кружни“?

„Прави“ значи да се врх налази тачно изнад центра основе, па је оса управна на основу. Код косог конуса врх није изнад центра основе. „Кружни“ значи да је основа круг, а не елипса или неки други облик.

Која је формула за запремину конуса?

V = (1/3)πr²h, где је r полупречник основе, а h висина управна на основу. За запремину није потребна изводница.

Која је формула за површину конуса?

Укупна површина је A = πr² + πrl, где је r полупречник, а l изводница. Први сабирак је површина основе, а други бочна површина. Изоставите први сабирак ако конус нема основу, као код отвореног левка.

Шта је изводница и по чему се разликује од висине?

Висина је право вертикално растојање од основе до врха, измерено кроз унутрашњост конуса. Изводница је растојање дуж спољашње површине од врха до ивице основе. Оне су повезане формулом l = √(r² + h²), при чему је изводница увек дужа од висине када је полупречник већи од нуле.

Како да израчунам запремину конуса на основу пречника?

Поделите пречник са 2 да бисте добили полупречник, а затим примените V = (1/3)πr²h. На пример, конус пречника 10 cm и висине 15 cm има полупречник 5 cm, па је V = (1/3)π(5²)(15) ≈ 392,7 cm³.

Да ли овај калкулатор ради за зарубљене конусе?

Не. Зарубљени конус је конус коме је одсечен врх, па има два полупречника уместо једног и захтева сопствене формуле за запремину и површину.