Коса висина конуса

Коса висина конуса је растојање од врха, зашиљеног краја, до ивице кружне основе, мерено дуж спољне површине конуса. Разликује се од висине, која се пружа право надоле кроз средину конуса. Овај калкулатор израчунава косу висину, полупречник или висину правог кружног конуса на основу преостале две вредности.

Шта је коса висина?

Прави кружни конус има равну кружну основу и врх који се налази тачно изнад средишта те основе. Његов облик описују три мере:

• Полупречник (r) — растојање од средишта основе до њене ивице.
• Висина (h) — право, нормално растојање од основе до врха.
• Коса висина (l) — растојање од врха до ивице основе, мерено дуж косе површине.

Ове три дужине образују правоугли троугао. Висина је једна катета, полупречник је друга катета, а коса висина је хипотенуза, најдужа страница, која се налази наспрам правог угла.

Формула за изводницу

Пошто полупречник, висина и коса висина образују правоугли троугао, примењује се Питагорина теорема:

$$l = \sqrt{r^2 + h^2}$$

Овде је $l$ коса висина, $r$ је полупречник, а $h$ је висина.

Формула се може преуредити тако да се израчуна било која од преостале две дужине, ако су познате коса висина и још једна вредност.

За израчунавање полупречника:

$$r = \sqrt{l^2 - h^2}$$

За израчунавање висине:

$$h = \sqrt{l^2 - r^2}$$

Како израчунати косу висину конуса

1. Измерите или забележите полупречник и висину конуса, користећи исту мерну јединицу за обе вредности (на пример, обе у центиметрима).
2. Квадрирајте сваку вредност, а затим саберите добијене резултате.
3. Извуците квадратни корен тог збира. Резултат је коса висина, изражена у истој мерној јединици.

Калкулатор заокружује резултат на четири децимале.

Решен пример

Конус има полупречник од 3 јединице и висину од 4 јединице. За израчунавање косе висине:

$$l = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \text{ јединица}$$

Коса висина износи 5 јединица.

Иста идеја важи и обрнуто. Конус има косу висину од 13 јединица и висину од 12 јединица. За израчунавање полупречника:

$$r = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5 \text{ јединица}$$

Полупречник износи 5 јединица.

Дозвољене вредности

Полупречник, висина и коса висина морају бити позитивни бројеви. Конус са полупречником или висином једнаком нули нема запремину и није стварни тродимензионални облик.

Коса висина увек мора бити дужа и од полупречника и од висине. То директно следи из Питагорине теореме: хипотенуза правоуглог троугла увек је дужа од било које катете. Ако је унета коса висина краћа или једнака полупречнику или висини, не постоји важећи конус са тим мерама, па калкулатор пријављује неважећи унос уместо да прикаже нетачан број. Уноси који нису уобичајени бројеви, као што су текст или број превелик да би га калкулатор обрадио, одбијају се на исти начин.

Зашто је коса висина важна

Коса висина се користи за израчунавање површине омотача конуса, односно закривљене површине без основе, према формули $\pi r l$. То је важно за задатке као што су:

• Сечење лима или папира у одговарајући облик кружног исечка за израду конуса, као код левкова, папирних чаша или абажура.
• Процена количине материјала за купасте кровове, торњеве или силосе.
• Решавање геометријских задатака који укључују Питагорину теорему у три димензије.

Најчешће постављана питања

Шта је коса висина конуса? То је растојање од врха конуса до ивице његове основе, мерено дуж косе површине, а не право надоле кроз средиште.

Како се израчунава коса висина конуса? Користите $l = \sqrt{r^2 + h^2}$, где је $r$ полупречник, а $h$ висина. Квадрирајте сваку вредност, саберите их и извуците квадратни корен.

Која је разлика између косе висине и висине? Висина је права, нормална линија од основе до врха. Коса висина се пружа дуж спољне површине конуса од врха до ивице основе, па је увек дужа од те две дужине.

Може ли коса висина бити краћа од полупречника или висине? Не. Пошто је коса висина хипотенуза правоуглог троугла образованог полупречником и висином, она је увек дужа од било које од њих.

Да ли ова формула важи за сваки конус? Она се примењује на прави кружни конус, који има кружну основу и врх тачно изнад њеног средишта. Код косог конуса, чији је врх померен у страну, потребан је другачији прорачун.

Које јединице треба користити? Може се користити било која јединица, под условом да су полупречник и висина унети у истој јединици. Резултат се добија у тој истој јединици.

Референце

1. Конус – Википедија
2. Питагорина теорема – Khan Academy