Калкулатор пречника купе - Израчунавање из висине и полупречника

Колики је пречник купе?

Пречник купе је ширина његове кружне основе, измерена по правој линији кроз центар. Једнак је двоструком полупречнику основе. Купа се може описати и својом висином (праволинијским растојањем од основе до врха) и изводницом (растојањем од врха низ спољашњу страну купе до ивице основе). Ако су познате било које две од ове три вредности, може се израчунати трећа.

Формула за пречник купе

Постоје два уобичајена начина за израчунавање пречника, у зависности од тога која су мере доступне.

На основу висине и изводнице:

$d = 2\sqrt{s^2 - h^2}$

Овде је d пречник, s изводница, а h висина. Ово следи из Питагорине теореме: изводница је хипотенуза правоуглог троугла који образују висина и полупречник, па важи $s^2 = h^2 + r^2$. Решавањем по полупречнику и његовим удвостручавањем добија се пречник. Калкулатор израчунава исту вредност у еквивалентном облику $2\sqrt{(s-h)(s+h)}$. Оба облика дају исти резултат, али други задржава више тачних цифара када је изводница само мало већа од висине.

На основу полупречника:

$d = 2r$

Ово је само дефиниција пречника. Ако је полупречник већ познат, није потребна ниједна друга мера.

Изводница увек мора бити дужа од висине, јер је хипотенуза правоуглог троугла, а хипотенуза је увек најдужа страница. Ако је изводница једнака висини или краћа од ње, описани облик није ваљана купа.

Како израчунати пречник купе

Метод 1: висина и изводница

1. Измерите висину (h), праволинијско вертикално растојање од основе до врха.
2. Измерите изводницу (s), растојање од врха до ивице основе дуж површине купе.
3. Квадрирајте обе вредности, одузмите квадрат висине од квадрата изводнице и израчунајте квадратни корен: $\sqrt{s^2 - h^2}$.
4. Помножите резултат са 2 да бисте добили пречник.

Метод 2: полупречник

1. Измерите полупречник (r), растојање од центра основе до њене ивице.
2. Помножите га са 2.

Истовремено треба користити само један од ова два метода. Навођење висине, изводнице и полупречника заједно је двосмислено, јер те три вредности можда не описују купу која је међусобно усклађена.

Решен пример

Пример 1: висина и изводница

Купа има висину од 3 јединице и изводницу од 5 јединица.

$d = 2\sqrt{5^2 - 3^2} = 2\sqrt{25 - 9} = 2\sqrt{16} = 2 \times 4 = 8$

Пречник износи 8 јединица.

Пример 2: полупречник

Купа има полупречник од 4 јединице.

$d = 2 \times 4 = 8$

Пречник износи 8 јединица. То се поклапа са примером 1, јер купа висине 3 и изводнице 5 има полупречник основе 4.

Пример 3: спљоштена купа

Купа има висину од 0,1 јединица и изводницу од 10 јединица.

$d = 2\sqrt{10^2 - 0.1^2} = 2\sqrt{100 - 0.01} = 2\sqrt{99.99} \approx 19.999$

Пречник износи приближно 20,00 јединица. Када је висина веома мала у поређењу са изводницом, пречник се приближава двострукој изводници.

Пример 4: купа налик игли

Купа има висину од 9,99 јединица и изводницу од 10 јединица.

$d = 2\sqrt{10^2 - 9.99^2} = 2\sqrt{100 - 99.8001} = 2\sqrt{0.1999} \approx 0.894$

Пречник износи приближно 0,89 јединица. Када је изводница само незнатно дужа од висине, купа је висока и уска, а пречник њене основе је мали.

Где се користе прорачуни пречника купе

Пречник купе јавља се свуда где се мере или израђују купасти облици. Инжењери га користе при пројектовању левкова, млазница и купастих резервоара. Произвођачи га користе за одређивање димензија калупа и купастих делова. Геолози користе слична мерења за описивање вулканских купа. Исти однос између висине, изводнице и полупречника важи за сваки прави кружни конус, од папирне рођенданске капе до купастог врха ракете.

Историја

Математичко изучавање купа потиче још из античке Грчке. Аполоније из Перге, који је стварао око 200. године пре нове ере, написао је значајно дело под називом Conics, у којем је проучавао како равни пресецају купе и тако стварају кругове, елипсе, параболе и хиперболе. Основни однос између висине, полупречника и изводнице купе, заснован на Питагориној теореми, познат је од давнина и и данас се користи као метод.

Најчешће постављана питања

Колики је пречник купе?

То је ширина кружне основе купе, измерена право преко центра. Једнака је двоструком полупречнику основе.

Како наћи пречник купе без полупречника?

Користите висину и изводницу са формулом $d = 2\sqrt{s^2 - h^2}$. Овим се примењује Питагорина теорема за израчунавање полупречника, који се затим удвостручује.

Какав је однос између пречника, висине и изводнице купе?

Висина, полупречник и изводница образују правоугли троугао. Изводница је хипотенуза, висина је једна катета, а полупречник друга: $s^2 = h^2 + r^2$. Пречник је двоструки полупречник.

Зашто калкулатор одбацује неке вредности?

Висина мора бити већа од нуле. Изводница мора бити већа од висине, јер хипотенуза не може бити краћа од катете или једнака њој. Полупречник мора бити већи од нуле. Висину и изводницу, или полупречник, треба унети засебно; унос све три вредности истовремено је двосмислен и одбацује се. Ако се полупречник унесе заједно са висином, користи се само полупречник, јер он већ одређује пречник.

Може ли купа имати два различита пречника?

Стандардна купа има један пречник, при основи, и завршава се врхом. Зарубљена купа, односно купа којој је одсечен вршни део, има два пречника, по један на сваком равном крају.

Које јединице треба користити?

Може се користити било која усаглашена јединица, као што су центиметри, метри или инчи. Резултат се добија у истој јединици која је коришћена за улазне вредности.

Референце

1. Weisstein, Eric W. "Cone." MathWorld, Wolfram Research. https://mathworld.wolfram.com/Cone.html
2. O'Connor, J.J. и Robertson, E.F. "Conic sections." MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews. https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Conic_sections/