Калкулатор Поасонове расподеле - Израчунавање вероватноћа догађаја

Шта је калкулатор Поасонове расподеле?

Калкулатор за Поасонову расподелу израчунава вероватноћу да се одређени број догађаја деси у задатом временском периоду или простору, на основу просечне учесталости њиховог дешавања. Користи се када се догађаји јављају један по један, независно један од другог, уз сталну просечну стопу. Типични примери су број телефонских позива примљених у корисничком центру за сат времена или број штампарских грешака на једној страници.

Формула Поасонове расподеле

Поасонова расподела даје вероватноћу да се догоди тачно k догађаја када је просечна стопа λ (грчко слово ламбда):

$P(X = k) = \dfrac{e^{-\lambda} \lambda^{k}}{k!}$

Сваки симбол означава:

• λ (ламбда) — просечан број догађаја по интервалу. То је једини параметар расподеле.
• k — тачан број догађаја чија се вероватноћа израчунава. Мора бити цео број, 0 или већи.
• e — Ојлеров број, фиксна константа приближно једнака 2,71828.
• k! — „k факторијел“, производ свих целих бројева од 1 до k. На пример, 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24. По договору, 0! = 1.

Формула захтева само λ и k. За разлику од биномијалне расподеле, није потребан укупан број покушаја.

Како се израчунава Поасонова вероватноћа

1. Изаберите λ, просечан број догађаја у интервалу који се проучава.
2. Изаберите k, тачан број догађаја за који треба израчунати вероватноћу.
3. Степенујте e на негативну вредност λ: то даје e^(−λ).
4. Степенујте λ на k: то даје λ^k.
5. Израчунајте k!, односно факторијел броја k.
6. Помножите резултате корака 3 и 4, а затим их поделите резултатом корака 5.

Добијени број је вероватноћа између 0 и 1. Помножите је са 100 да бисте је изразили у процентима.

Пример са решењем

Кориснички центар у просеку прима 5 позива на сат (λ = 5). Колика је вероватноћа да у датом сату прими тачно 3 позива (k = 3)?

1. e^(−5) ≈ 0,006738
2. 5^3 = 125
3. 3! = 3 × 2 × 1 = 6
4. Множење: 0,006738 × 125 ≈ 0,842243
5. Дељење са 6: 0,842244 ÷ 6 ≈ 0,140374

Вероватноћа да у том сату буде тачно 3 позива износи приближно 0,140, односно 14%.

Додатни примери

Где се користи Поасонова расподела

Поасонова расподела описује бројеве ретких, независних догађаја. Уобичајене примене обухватају:

• Кориснички центри и корисничка подршка: предвиђање броја позива или четова који стигну за сат времена.
• Производња: процена броја неисправности у серији производа.
• Осигурање: процена броја захтева за накнаду који ће стићи у датом периоду.
• Биологија и медицина: моделирање броја мутација или ширења ретких болести.
• Физика: описивање радиоактивног распада, при чему се сваки атом распада независно, сталном просечном стопом.
• Саобраћај и мрежно инжењерство: процена долазака возила на раскрсницу или захтева који стижу серверу.

Услови за коришћење Поасонове расподеле

Поасонова расподела одговара ситуацији само ако важе сви следећи услови:

• Догађаји се дешавају један по један; два догађаја не могу да се десе у потпуно истом тренутку.
• Догађаји се дешавају независно — један догађај не чини да следећи буде вероватнији или мање вероватан.
• Просечна стопа, λ, остаје константна током интервала који се проучава.

Ако се стопа мења током времена или догађаји имају тенденцију груписања, обична Поасонова расподела неће добро описати податке.

Поасонова и сродне расподеле

• Биномијална расподела: користи се када постоји фиксан број покушаја и позната вероватноћа успеха у сваком од њих, као при бацању новчића 20 пута. Поасонова расподела је гранични случај биномијалне расподеле када број покушаја постане веома велики, а вероватноћа успеха по покушају тежи нули, док њихов производ остаје приближно једнак λ.
• Нормална расподела: за велике вредности λ, приближно изнад 20, Поасонова расподела је слична нормалној расподели звонастог облика са средњом вредношћу λ и варијансом λ.
• Експоненцијална расподела: док Поасонова расподела броји колико се догађаја дешава у фиксном интервалу, експоненцијална расподела описује време чекања између тих догађаја.

Напомена о историји

Француски математичар Симеон Дени Поасон увео је ову расподелу 1837. године, у књизи о примени вероватноће на судске пресуде. У почетку је привукла мало пажње. Њена употреба се проширила почетком 20. века, након што су је статистичари попут Ладислауса Борткјевича и Роналда Фишера применили на стварне податке о бројању, укључујући познато истраживање пруских војника које су усмртили ударци коња.

Најчешће постављана питања

Шта ламбда (λ) значи у Поасоновој расподели? Ламбда је просечан број догађаја који се очекује у интервалу који се проучава. Она је уједно и варијанса расподеле, па већа вредност λ значи и већи просечан број и већу расутост могућих исхода.

Могу ли k или λ имати негативну или разломну вредност? λ мора бити веће од 0, али може бити децималан број, као 2,5 догађаја на сат. k мора бити цео број 0 или већи, јер броји стварне догађаје; не може бити негативан или разломљен.

По чему се Поасонова расподела разликује од биномијалне расподеле? Биномијалној расподели потребни су фиксан број покушаја и фиксна вероватноћа успеха по покушају. Поасоновој расподели потребна је само просечна стопа и она се користи за догађаје који би, у принципу, могли да се догоде било колико пута.

Када уместо ње треба користити нормалну расподелу? За велике вредности λ, обично изнад приближно 20, нормална расподела са истом средњом вредношћу и варијансом блиско апроксимира Поасонову расподелу и често је лакша за ручни рад.

Зашто калкулатор понекад приказује број у научној нотацији? Резултати се обично приказују са шест децималних места. Када је вероватноћа мања од 0,0001, заокруживање на шест децималних места дало би 0,000000 и прикрило колико је заиста мала, па калкулатор уместо тога прелази на научну нотацију. За λ = 20 и k = 1 приказује 4.122307e-8, што значи 0,00000004122307.

Постоје ли ограничења за вредности које калкулатор прихвата? Да. λ мора бити веће од 0 и не веће од 700, а k мора бити цео број од 0 до 1000. Изван тих граница калкулатор приказује грешку. Ограничења задржавају резултат у опсегу бројева које рачунар може да чува и број стубаца на графикону одржавају на читљивом нивоу.

Да ли Поасонова расподела допушта више од једног догађаја истовремено? Не. Модел претпоставља да се догађаји дешавају један по један. Ако се два догађаја редовно дешавају истовремено, друга расподела ће боље одговарати подацима.

Референце

1. Poisson, Siméon Denis. Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile. Париз, 1837.
2. Haight, Frank A. Handbook of the Poisson Distribution. Њујорк: John Wiley & Sons, 1967.
3. "Poisson Distribution." NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, одељак 1,3.6,6.19. https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda366j.htm
4. Johnson, Norman L., Adrienne W. Kemp, and Samuel Kotz. Univariate Discrete Distributions. John Wiley & Sons, 2005.