เครื่องคำนวณโค้ง - คำนวณรัศมี ช่วง และความสูง

เครื่องคำนวณซุ้มโค้งคืออะไร?

เครื่องคำนวณซุ้มโค้งใช้หาขนาดของซุ้มโค้งวงกลม ได้แก่ รัศมี ระยะกว้าง และระยะยก จากค่าดังกล่าวสองค่า นอกจากนี้ยังคำนวณความยาวส่วนโค้งและพื้นที่ซุ้มโค้งได้ด้วย สถาปนิก ช่างก่อสร้าง และผู้ทำงานอดิเรกใช้เครื่องมือนี้วางแผนช่องประตู หน้าต่าง สะพาน และองค์ประกอบสวนที่มีรูปทรงโค้ง

ขนาดสำคัญของซุ้มโค้ง

ซุ้มโค้งวงกลมคือส่วนที่ตัดออกมาจากเส้นรอบวงของวงกลม ขนาดห้าค่าที่ใช้อธิบายรูปร่างมีดังนี้

• รัศมี: ระยะจากจุดศูนย์กลางของวงกลมไปยังจุดใด ๆ บนเส้นโค้งของซุ้ม
• ระยะกว้าง: ระยะทางแนวนอนเป็นเส้นตรงระหว่างปลายล่างทั้งสองของซุ้ม หรือเรียกอีกอย่างว่าความกว้าง
• ระยะยก: ระยะทางแนวตั้งจากเส้นฐานซุ้ม (เส้นแนวราบที่เชื่อมปลายทั้งสอง) ขึ้นไปยังจุดสูงสุดของซุ้ม
• ความยาวส่วนโค้ง: ระยะตามแนวเส้นโค้งของซุ้มจากปลายด้านหนึ่งไปยังอีกด้านหนึ่ง
• พื้นที่ซุ้มโค้ง: พื้นที่ของบริเวณโค้งที่อยู่ระหว่างซุ้มกับเส้นฐานซุ้ม

สูตรคำนวณขนาดซุ้มโค้ง

สูตรเหล่านี้ใช้กับซุ้มโค้งวงกลม ซึ่งสร้างจากส่วนหนึ่งของวงกลมวงเดียว ใช้ได้กับระยะยกทุกค่าที่ไม่เกินสองเท่าของรัศมี ช่วงดังกล่าวครอบคลุมซุ้มประตู หน้าต่าง และสะพานที่คนส่วนใหญ่คำนวณ รวมถึงซุ้มเกือกม้าที่เส้นโค้งต่อเลยครึ่งวงกลม

สูตรหาระยะยก (จากรัศมีและระยะกว้าง)

$\text{ความสูงยก} = \text{รัศมี} - \sqrt{\text{รัศมี}^2 - \left(\frac{\text{ช่วงพาด}}{2}\right)^2}$

ใช้ได้เมื่อรัศมีและระยะกว้างเป็นค่าบวก และระยะกว้าง ≤ 2 × รัศมี

สูตรหารัศมี (จากระยะกว้างและระยะยก)

$\text{รัศมี} = \frac{\text{ช่วงพาด}^2}{8 \times \text{ความสูงยก}} + \frac{\text{ความสูงยก}}{2}$

ใช้ได้เมื่อระยะกว้างและระยะยกเป็นค่าบวก

สูตรหาระยะกว้าง (จากรัศมีและระยะยก)

$\text{ช่วงพาด} = 2 \times \sqrt{2 \times \text{รัศมี} \times \text{ความสูงยก} - \text{ความสูงยก}^2}$

ใช้ได้เมื่อรัศมีและระยะยกเป็นค่าบวก และระยะยก ≤ 2 × รัศมี

สูตรหาความยาวส่วนโค้ง

$\text{ความยาวส่วนโค้ง} = \text{รัศมี} \times \theta$

ในที่นี้ θ (ทีตา) คือมุมที่จุดศูนย์กลาง มีหน่วยเป็นเรเดียน ซึ่งเส้นโค้งของซุ้มกวาดผ่านที่จุดศูนย์กลางของวงกลม เมื่อระยะยกไม่มากกว่ารัศมี ซุ้มจะมีขนาดไม่เกินครึ่งวงกลม และ θ คือ

$\theta = 2 \times \arcsin\left(\frac{\text{ระยะกว้าง}}{2 \times \text{รัศมี}}\right)$

เมื่อระยะยกมากกว่ารัศมี ซุ้มจะมีขนาดเกินครึ่งวงกลม และ θ คือส่วนที่เหลือของเส้นรอบวง

$\theta = 2\pi - 2 \times \arcsin\left(\frac{\text{ระยะกว้าง}}{2 \times \text{รัศมี}}\right)$

เครื่องคำนวณครอบคลุมทั้งสองกรณีด้วยขั้นตอนเดียว คือ θ = 2 × atan2(ระยะกว้าง ÷ 2, รัศมี − ระยะยก) ซึ่งยังคงให้ค่าที่แม่นยำเมื่อเป็นครึ่งวงกลม

สูตรหาพื้นที่ซุ้มโค้ง

$\text{พื้นที่ซุ้มโค้ง} = \frac{1}{2} \times \text{รัศมี}^2 \times \theta - \frac{1}{2} \times \text{ช่วงพาด} \times (\text{รัศมี} - \text{ความสูงยก})$

วิธีใช้เครื่องคำนวณซุ้มโค้ง

เครื่องคำนวณมีสามโหมด โหมดละหนึ่งขนาดที่อาจไม่ทราบค่า

คำนวณระยะยก เมื่อทราบรัศมีและระยะกว้าง: ป้อนรัศมีและระยะกว้าง เครื่องมือจะแสดงระยะยก ความยาวส่วนโค้ง และพื้นที่ซุ้มโค้ง

คำนวณรัศมี เมื่อทราบระยะกว้างและระยะยก: ป้อนระยะกว้างและระยะยก เครื่องมือจะแสดงรัศมี ความยาวส่วนโค้ง และพื้นที่ซุ้มโค้ง

คำนวณระยะกว้าง เมื่อทราบรัศมีและระยะยก: ป้อนรัศมีและระยะยก เครื่องมือจะแสดงระยะกว้าง ความยาวส่วนโค้ง และพื้นที่ซุ้มโค้ง

เครื่องคำนวณจะปฏิเสธค่าที่ไม่สามารถสร้างซุ้มโค้งจริงได้ ระยะกว้างต้องไม่เกินสองเท่าของรัศมี ระยะยกต้องไม่เกินสองเท่าของรัศมี และทุกขนาดต้องเป็นจำนวนบวก ระบบจะแสดงข้อความผิดพลาดเมื่อค่าหนึ่งละเมิดกฎข้อใดข้อหนึ่ง

ตัวอย่างพร้อมวิธีทำ

ตัวอย่าง 1: ซุ้มประตู

ซุ้มประตูมีระยะกว้าง 36 นิ้ว (91.4 ซม.) และมีระยะยก 12 นิ้ว (30.5 ซม.)

รัศมี = (36² ÷ (8 × 12)) + (12 ÷ 2) = (1296 ÷ 96) + 6 = 13.5 + 6 = 19.5 นิ้ว (49.5 ซม.)

θ = 2 × arcsin(18 ÷ 19.5) = 2 × arcsin(0.9231) = 2 × 1.176 = 2.352 เรเดียน

ความยาวส่วนโค้ง = 19.5 × 2.352 = 45.86 นิ้ว (116 ซม.)

พื้นที่ซุ้มโค้ง = (0.5 × 19.5² × 2.352) − (0.5 × 36 × (19.5 − 12)) = 447.18 − 135 = 312.18 ตารางนิ้ว (2,010 cm²)

ตัวอย่าง 2: ซุ้มสวน

ซุ้มสวนมีรัศมี 4 ฟุต (1.2 ม.) และมีระยะกว้าง 6 ฟุต (1.8 ม.)

ระยะยก = 4 − √(4² − (6 ÷ 2)²) = 4 − √(16 − 9) = 4 − 2.6458 = 1.35 ฟุต (0.411 ม.)

θ = 2 × arcsin(3 ÷ 4) = 2 × arcsin(0.75) = 2 × 0.848 = 1.696 เรเดียน

ความยาวส่วนโค้ง = 4 × 1.696 = 6.78 ฟุต (2.07 ม.)

พื้นที่ซุ้มโค้ง = (0.5 × 4² × 1.696) − (0.5 × 6 × (4 − 1.3542)) = 13.57 − 7.94 = 5.63 ตารางฟุต (0.523 m²)

ตัวอย่าง 3: ซุ้มสะพาน

ซุ้มสะพานมีระยะกว้าง 50 ฟุต (15 ม.) และมีระยะยก 15 ฟุต (4.57 ม.)

รัศมี = (50² ÷ (8 × 15)) + (15 ÷ 2) = (2500 ÷ 120) + 7.5 = 20.83 + 7.5 = 28.33 ฟุต (8.63 ม.)

θ = 2 × arcsin(25 ÷ 28.33) = 2 × arcsin(0.8824) = 2 × 1.081 = 2.162 เรเดียน

ความยาวส่วนโค้ง = 28.33 × 2.162 = 61.25 ฟุต (18.7 ม.)

พื้นที่ซุ้มโค้ง = (0.5 × 28.33² × 2.162) − (0.5 × 50 × (28.33 − 15)) = 867.67 − 333.33 = 534.34 ตารางฟุต (49.6 m²)

การใช้งานทั่วไปของการคำนวณซุ้มโค้ง

ช่างก่อสร้างใช้ขนาดซุ้มโค้งเพื่อตัดแบบหล่อสำหรับซุ้มคอนกรีต วางแบบอิฐหรือหินสำหรับซุ้มก่ออิฐ และวางแผนความโค้งของเพดานโค้ง นักออกแบบสะพานใช้ระยะกว้าง ระยะยก และรัศมีเพื่อสร้างสมดุลระหว่างการกระจายน้ำหนักกับระยะลอด งานบูรณะใช้สูตรเดียวกันเพื่อให้รูปทรงเรขาคณิตตรงกับซุ้มโค้งโบราณเมื่อซ่อมแซมหรือสร้างขึ้นใหม่ ชาวสวนและผู้สร้างงานด้วยตนเองใช้สูตรเหล่านี้กับซุ้มระแนงไม้ ซุ้มทางเข้า และช่องเปิดประดับ

เครื่องคำนวณนี้ใช้ได้เฉพาะกับซุ้มโค้งวงกลม ซึ่งเกิดจากส่วนโค้งของวงกลมวงเดียว ซุ้มวงรี ซุ้มพาราโบลา ซุ้มกอทิก และซุ้มโซ่แขวนมีเส้นโค้งต่างกันและต้องใช้สูตรต่างกัน

ประวัติความเป็นมาโดยสังเขปของซุ้มโค้ง

ช่างก่อสร้างในเมโสโปเตเมียโบราณใช้รูปแบบคล้ายซุ้มโค้งมาตั้งแต่ 2500 ปีก่อนคริสตกาล แม้ว่าส่วนใหญ่จะสร้างด้วยวิธียื่นซ้อน โดยวางหินแต่ละชั้นให้ยื่นเกินชั้นด้านล่าง แทนที่จะสร้างเป็นซุ้มโค้งจริง ชาวโรมันพัฒนาซุ้มครึ่งวงกลมให้เป็นวิธีมาตรฐานในการก่อสร้าง และใช้กับสะพานส่งน้ำ สะพาน และอาคารต่าง ๆ เช่น โคลอสเซียม ช่างก่อสร้างยุคกลางในยุโรปพัฒนาซุ้มกอทิกปลายแหลม ซึ่งทำให้สร้างโครงสร้างที่สูงและเบาขึ้นได้ ต่อมาสถาปนิกหันกลับมาใช้รูปแบบครึ่งวงกลมที่อาศัยสัดส่วนแม่นยำ และวัสดุสมัยใหม่อย่างเหล็กกับคอนกรีตเสริมเหล็กทำให้ซุ้มโค้งทอดข้ามระยะทางได้ไกลขึ้นมาก

คำถามที่พบบ่อย

ระยะยกกับความสูงของซุ้มโค้งแตกต่างกันอย่างไร?

ระยะยกคือระยะทางแนวตั้งจากเส้นฐานซุ้มถึงยอดเส้นโค้งของซุ้ม ส่วนความสูงบางครั้งหมายถึงความสูงทั้งหมดของช่องเปิด ซึ่งรวมผนังแนวตรงที่อยู่ใต้เส้นฐานซุ้มด้วย

เครื่องคำนวณนี้ใช้กับซุ้มโค้งทุกชนิดได้หรือไม่?

ไม่ได้ เครื่องมือนี้ใช้ได้เฉพาะกับซุ้มโค้งวงกลม ซึ่งมีรูปทรงเป็นส่วนหนึ่งของวงกลม ซุ้มวงรี ซุ้มพาราโบลา ซุ้มกอทิก และซุ้มโซ่แขวนมีเส้นโค้งต่างกันและต้องใช้สูตรแยกกัน

ระยะกว้างกับรัศมีของซุ้มครึ่งวงกลมมีความสัมพันธ์กันอย่างไร?

ในซุ้มครึ่งวงกลม รัศมีเท่ากับครึ่งหนึ่งของระยะกว้าง และระยะยกเท่ากับรัศมี ซุ้มมีรูปร่างเป็นครึ่งหนึ่งของวงกลมพอดี

เหตุใดระยะกว้างจึงมากกว่าสองเท่าของรัศมีไม่ได้?

ระยะกว้างที่เท่ากับสองเท่าของรัศมีทำให้เกิดซุ้มครึ่งวงกลม ซึ่งเป็นซุ้มที่กว้างที่สุดเท่าที่รัศมีนั้นจะสร้างได้ หากกว้างกว่านี้จะไม่สามารถอยู่ภายในวงกลมได้

เหตุใดระยะยกจึงมากกว่าสองเท่าของรัศมีไม่ได้ (ในโหมดคำนวณระยะกว้าง)?

ระยะยกวัดจากเส้นฐานซุ้มขึ้นไปยังจุดสูงสุดของซุ้มบนวงกลมเดียวกัน สองเท่าของรัศมีคือความสูงทั้งหมดของวงกลมนั้น ดังนั้นระยะยกที่มากกว่าจะทำให้ยอดซุ้มอยู่นอกวงกลมโดยสิ้นเชิง ระยะยกระหว่างรัศมีกับสองเท่าของรัศมีใช้ได้ ซุ้มจะมีขนาดเกินครึ่งวงกลม ซึ่งเป็นรูปทรงที่ใช้กับซุ้มเกือกม้า

เครื่องคำนวณใช้หน่วยอะไร?

ใช้หน่วยใดก็ได้ที่สอดคล้องกัน เช่น นิ้ว ฟุต เมตร หรือเซนติเมตร ป้อนค่าทุกค่าเป็นหน่วยเดียวกัน แล้วผลลัพธ์จะอยู่ในหน่วยเดียวกัน โดยพื้นที่จะเป็นหน่วยนั้นยกกำลังสอง