साधारण त्रिकोणमितीय फलन ग्राफर

त्रिकोणमितीय फलन ग्राफिंग का परिचय

एक त्रिकोणमितीय फलन ग्राफर साइन, कोसाइन, टैंजेंट और अन्य त्रिकोणमितीय फलनों का दृश्यांकन करने के लिए एक आवश्यक उपकरण है। यह इंटरएक्टिव ग्राफर आपको मानक त्रिकोणमितीय फलनों को अनुकूलन योग्य पैरामीटर के साथ प्लॉट करने की अनुमति देता है, जिससे आप इन महत्वपूर्ण गणितीय संबंधों के मौलिक पैटर्न और व्यवहार को समझ सकें। चाहे आप त्रिकोणमिति सीख रहे छात्र हों, गणितीय अवधारणाओं को सिखाने वाले शिक्षक हों, या चक्रीय घटनाओं के साथ काम करने वाले पेशेवर हों, यह सीधा ग्राफिंग उपकरण त्रिकोणमितीय फलनों का स्पष्ट दृश्य प्रतिनिधित्व प्रदान करता है।

हमारा साधारण त्रिकोणमितीय फलन ग्राफर तीन प्राथमिक त्रिकोणमितीय फलनों पर केंद्रित है: साइन, कोसाइन, और टैंजेंट। आप आसानी से आयाम, आवृत्ति, और चरण परिवर्तन जैसे पैरामीटर को समायोजित कर सकते हैं ताकि यह जान सकें कि ये संशोधन परिणामस्वरूप ग्राफ को कैसे प्रभावित करते हैं। सहज इंटरफेस इसे सभी स्तरों के उपयोगकर्ताओं के लिए सुलभ बनाता है, शुरुआती से लेकर उन्नत गणितज्ञों तक।

त्रिकोणमितीय फलनों को समझना

त्रिकोणमितीय फलन मौलिक गणितीय संबंध हैं जो एक समकोण त्रिकोण के भुजाओं के अनुपात या एक कोण और इकाई वृत्त पर एक बिंदु के बीच के संबंध का वर्णन करते हैं। ये फलन आवर्ती होते हैं, जिसका अर्थ है कि वे नियमित अंतराल पर अपने मानों को दोहराते हैं, जो उन्हें चक्रीय घटनाओं के मॉडलिंग के लिए विशेष रूप से उपयोगी बनाता है।

मूल त्रिकोणमितीय फलन

साइन फलन

साइन फलन, जिसे $\sin(x)$ के रूप में दर्शाया जाता है, समकोण त्रिकोण में विपरीत भुजा और कर्ण के बीच के अनुपात का प्रतिनिधित्व करता है। इकाई वृत्त पर, यह वृत्त पर कोण x पर एक बिंदु के y-निर्देशांक का प्रतिनिधित्व करता है।

मानक साइन फलन का रूप है:

$f(x) = \sin(x)$

इसके प्रमुख गुणों में शामिल हैं:

• डोमेन: सभी वास्तविक संख्याएँ
• रेंज: [-1, 1]
• अवधि: $2\pi$
• विषम फलन: $\sin(-x) = -\sin(x)$

कोसाइन फलन

कोसाइन फलन, जिसे $\cos(x)$ के रूप में दर्शाया जाता है, समकोण त्रिकोण में सन्निकट भुजा और कर्ण के बीच के अनुपात का प्रतिनिधित्व करता है। इकाई वृत्त पर, यह वृत्त पर कोण x पर एक बिंदु के x-निर्देशांक का प्रतिनिधित्व करता है।

मानक कोसाइन फलन का रूप है:

$f(x) = \cos(x)$

इसके प्रमुख गुणों में शामिल हैं:

• डोमेन: सभी वास्तविक संख्याएँ
• रेंज: [-1, 1]
• अवधि: $2\pi$
• सम फलन: $\cos(-x) = \cos(x)$

टैंजेंट फलन

टैंजेंट फलन, जिसे $\tan(x)$ के रूप में दर्शाया जाता है, समकोण त्रिकोण में विपरीत भुजा और सन्निकट भुजा के बीच के अनुपात का प्रतिनिधित्व करता है। इसे साइन और कोसाइन के अनुपात के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है।

मानक टैंजेंट फलन का रूप है:

$f(x) = \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$

इसके प्रमुख गुणों में शामिल हैं:

• डोमेन: सभी वास्तविक संख्याएँ सिवाय $x = \frac{\pi}{2} + n\pi$ जहाँ n एक पूर्णांक है
• रेंज: सभी वास्तविक संख्याएँ
• अवधि: $\pi$
• विषम फलन: $\tan(-x) = -\tan(x)$
• $x = \frac{\pi}{2} + n\pi$ पर ऊर्ध्वाधर आसिम्पटोट होते हैं

संशोधित त्रिकोणमितीय फलन

आप मूल त्रिकोणमितीय फलनों को आयाम, आवृत्ति, और चरण परिवर्तन जैसे पैरामीटर को समायोजित करके संशोधित कर सकते हैं। सामान्य रूप है:

$f(x) = A \sin(Bx + C) + D$

जहाँ:

• A आयाम है (ग्राफ की ऊँचाई को प्रभावित करता है)
• B आवृत्ति है (यह निर्धारित करता है कि दिए गए अंतराल में कितने चक्र होते हैं)
• C चरण परिवर्तन है (ग्राफ को क्षैतिज रूप से स्थानांतरित करता है)
• D ऊर्ध्वाधर परिवर्तन है (ग्राफ को ऊर्ध्वाधर रूप से स्थानांतरित करता है)

समान संशोधन कोसाइन और टैंजेंट फलनों पर लागू होते हैं।

त्रिकोणमितीय फलन ग्राफर का उपयोग कैसे करें

हमारा साधारण त्रिकोणमितीय फलन ग्राफर त्रिकोणमितीय फलनों का दृश्यांकन करने के लिए एक सहज इंटरफेस प्रदान करता है। अपने ग्राफ बनाने और अनुकूलित करने के लिए इन चरणों का पालन करें:

1. एक फलन चुनें: ड्रॉपडाउन मेनू का उपयोग करके साइन (sin), कोसाइन (cos), या टैंजेंट (tan) में से चुनें।

2. पैरामीटर समायोजित करें:

   • आयाम: ग्राफ की ऊँचाई बदलने के लिए स्लाइडर का उपयोग करें। साइन और कोसाइन के लिए, यह निर्धारित करता है कि फलन x-अक्ष के ऊपर और नीचे कितनी दूर तक फैला है। टैंजेंट के लिए, यह वक्रों की तीव्रता को प्रभावित करता है।
   • आवृत्ति: यह निर्धारित करता है कि मानक अवधि के भीतर कितने चक्र दिखाई देते हैं। उच्च मान अधिक संकुचित तरंगें बनाते हैं।
   • चरण परिवर्तन: ग्राफ को x-अक्ष के साथ क्षैतिज रूप से स्थानांतरित करें।

3. ग्राफ देखें: जैसे ही आप पैरामीटर समायोजित करते हैं, ग्राफ वास्तविक समय में अपडेट होता है, आपके चयनित फलन का स्पष्ट दृश्यांकन दिखाता है।

4. मुख्य बिंदुओं का विश्लेषण करें: देखें कि फलन महत्वपूर्ण बिंदुओं पर कैसे व्यवहार करता है जैसे x = 0, π/2, π, आदि।

5. सूत्र की कॉपी करें: संदर्भ के लिए या अन्य अनुप्रयोगों में उपयोग करने के लिए वर्तमान फलन सूत्र को सहेजने के लिए कॉपी बटन का उपयोग करें।

प्रभावी ग्राफिंग के लिए सुझाव

• सरल से शुरू करें: मूल फलन (आयाम = 1, आवृत्ति = 1, चरण परिवर्तन = 0) के साथ शुरू करें ताकि आप इसके मौलिक आकार को समझ सकें।
• एक बार में एक पैरामीटर बदलें: यह आपको समझने में मदद करता है कि प्रत्येक पैरामीटर ग्राफ को स्वतंत्र रूप से कैसे प्रभावित करता है।
• आसिम्पटोट पर ध्यान दें: जब टैंजेंट फलनों का ग्राफ बनाते हैं, तो उन ऊर्ध्वाधर आसिम्पटोट पर ध्यान दें जहाँ फलन असंगत होता है।
• फलनों की तुलना करें: साइन, कोसाइन, और टैंजेंट के बीच स्विच करें ताकि उनके संबंधों और भिन्नताओं को देख सकें।
• अत्यधिक मानों का अन्वेषण करें: आयाम और आवृत्ति के लिए बहुत उच्च या निम्न मानों का प्रयास करें ताकि देखें कि फलन चरम पर कैसे व्यवहार करता है।

गणितीय सूत्र और गणनाएँ

त्रिकोणमितीय फलन ग्राफर ग्राफ बनाने और प्रदर्शित करने के लिए निम्नलिखित सूत्रों का उपयोग करता है:

पैरामीटर के साथ साइन फलन

$f(x) = A \sin(Bx + C)$

जहाँ:

• A = आयाम
• B = आवृत्ति
• C = चरण परिवर्तन

पैरामीटर के साथ कोसाइन फलन

$f(x) = A \cos(Bx + C)$

जहाँ:

• A = आयाम
• B = आवृत्ति
• C = चरण परिवर्तन

पैरामीटर के साथ टैंजेंट फलन

$f(x) = A \tan(Bx + C)$

जहाँ:

• A = आयाम
• B = आवृत्ति
• C = चरण परिवर्तन

गणना का उदाहरण

आयाम = 2, आवृत्ति = 3, और चरण परिवर्तन = π/4 के साथ साइन फलन के लिए:

$f(x) = 2 \sin(3x + \pi/4)$

x = π/6 पर मान की गणना करने के लिए:

$f(\pi/6) = 2 \sin(3 \times \pi/6 + \pi/4) = 2 \sin(\pi/2 + \pi/4) = 2 \sin(3\pi/4) \approx 1.414$

त्रिकोणमितीय फलन ग्राफिंग के उपयोग के मामले

त्रिकोणमितीय फलनों के कई अनुप्रयोग विभिन्न क्षेत्रों में हैं। यहाँ हमारे त्रिकोणमितीय फलन ग्राफर के लिए कुछ सामान्य उपयोग के मामले दिए गए हैं:

शिक्षा और अध्ययन

• त्रिकोणमिति सिखाना: शिक्षक ग्राफर का उपयोग करके दिखा सकते हैं कि पैरामीटर को बदलने से त्रिकोणमितीय फलनों पर क्या प्रभाव पड़ता है।
• होमवर्क और अध्ययन सहायता: छात्र अपने मैनुअल गणनाओं की पुष्टि कर सकते हैं और फलन के व्यवहार के बारे में अंतर्दृष्टि विकसित कर सकते हैं।
• अवधारणाओं का दृश्यांकन: अमूर्त गणितीय अवधारणाएँ ग्राफ़िक रूप से दृश्यांकित होने पर स्पष्ट होती हैं।

भौतिकी और इंजीनियरिंग

• तरंग घटनाएँ: ध्वनि तरंगों, प्रकाश तरंगों, और अन्य दोलन घटनाओं का मॉडल बनाना।
• परिपथ विश्लेषण: विद्युत परिपथों में वैकल्पिक धारा के व्यवहार को दृश्यांकित करना।
• यांत्रिक कंपन: स्प्रिंग, झूलों, और अन्य यांत्रिक प्रणालियों की गति का अध्ययन करना।
• सिग्नल प्रोसेसिंग: आवर्ती सिग्नलों और उनके घटकों का विश्लेषण करना।

कंप्यूटर ग्राफिक्स और एनीमेशन

• मोशन डिज़ाइन: साइन और कोसाइन फलनों का उपयोग करके चिकनी, प्राकृतिक दिखने वाली एनीमेशन बनाना।
• गेम विकास: वस्तुओं और पात्रों के लिए यथार्थवादी गति पैटर्न लागू करना।
• प्रक्रियात्मक जनरेशन: नियंत्रित यादृच्छिकता के साथ भूभाग, बनावट, और अन्य तत्व उत्पन्न करना।

डेटा विश्लेषण

• मौसमी रुझान: समय-श्रृंखला डेटा में चक्रीय पैटर्न की पहचान और मॉडलिंग करना।
• आवृत्ति विश्लेषण: जटिल सिग्नलों को सरल त्रिकोणमितीय घटकों में विघटित करना।
• पैटर्न पहचान: प्रयोगात्मक या अवलोकनात्मक डेटा में आवर्ती पैटर्न का पता लगाना।

वास्तविक-जीवन उदाहरण: ध्वनि तरंग मॉडलिंग

ध्वनि तरंगों को साइन फलनों का उपयोग करके मॉडल किया जा सकता है। एक शुद्ध ध्वनि के लिए जिसकी आवृत्ति f (हर्ट्ज में) है, समय t पर वायु दबाव p को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

$p(t) = A \sin(2\pi ft)$

हमारे ग्राफर का उपयोग करते समय, आप सेट कर सकते हैं:

• फलन: साइन
• आयाम: ध्वनि की तीव्रता के अनुपात में
• आवृत्ति: स्वर से संबंधित (उच्च आवृत्ति = उच्च स्वर)
• चरण परिवर्तन: यह निर्धारित करता है कि ध्वनि तरंग कब शुरू होती है

त्रिकोणमितीय फलन ग्राफिंग के विकल्प

हालांकि हमारा साधारण त्रिकोणमितीय फलन ग्राफर मूल फलनों और उनके संशोधनों पर ध्यान केंद्रित करता है, लेकिन समान कार्यों के लिए वैकल्पिक दृष्टिकोण और उपकरण भी हैं:

उन्नत ग्राफिंग कैलकुलेटर

पेशेवर ग्राफिंग कैलकुलेटर और सॉफ़्टवेयर जैसे Desmos, GeoGebra, या Mathematica अधिक सुविधाएँ प्रदान करते हैं, जिसमें शामिल हैं:

• एक ही ग्राफ पर कई फलनों का प्लॉटिंग
• त्रिकोणमितीय सतहों का 3D दृश्यांकन
• पैरामीट्रिक और ध्रुवीय फलन समर्थन
• एनीमेशन क्षमताएँ
• संख्यात्मक विश्लेषण उपकरण

फूरियर श्रृंखला दृष्टिकोण

जटिल आवर्ती फलनों के लिए, फूरियर श्रृंखला विघटन उन्हें साइन और कोसाइन शब्दों के योग के रूप में व्यक्त करता है:

$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left[ a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx) \right]$

यह दृष्टिकोण विशेष रूप से उपयोगी है:

• सिग्नल प्रोसेसिंग
• आंशिक अवकल समीकरण
• गर्मी हस्तांतरण समस्याएँ
• क्वांटम यांत्रिकी

फेजर प्रतिनिधित्व

इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग में, साइनसॉइडल फलनों को फेजरों (घूर्णन वेक्टर) के रूप में अक्सर दर्शाया जाता है ताकि चरण भिन्नताओं के साथ गणनाओं को सरल बनाया जा सके।

तुलना तालिका: ग्राफिंग दृष्टिकोण

त्रिकोणमितीय फलनों और उनके ग्राफिकल प्रतिनिधित्व का इतिहास

त्रिकोणमितीय फलनों और उनके ग्राफिकल प्रतिनिधित्व का विकास हजारों वर्षों में फैला हुआ है, जो व्यावहारिक अनुप्रयोगों से लेकर परिष्कृत गणितीय सिद्धांत तक विकसित हुआ है।

प्राचीन उत्पत्ति

त्रिकोणमिति प्राचीन सभ्यताओं में खगोल विज्ञान, नौवहन, और भूमि सर्वेक्षण की व्यावहारिक आवश्यकताओं के साथ शुरू हुई:

• बाबिलोनियन (लगभग 1900-1600 ईसा पूर्व): समकोण त्रिकोणों से संबंधित मानों की तालिकाएँ बनाई।
• प्राचीन मिस्रवासी: पिरामिड निर्माण के लिए त्रिकोणमितीयता के प्राथमिक रूपों का उपयोग किया।
• प्राचीन ग्रीक: हिप्पार्कस (लगभग 190-120 ईसा पूर्व) को "त्रिकोणमितीयता के पिता" के रूप में श्रेय दिया जाता है, जिन्होंने पहले ज्ञात चॉर्ड फलनों की तालिका बनाई, जो साइन फलन का पूर्ववर्ती था।

आधुनिक त्रिकोणमितीय फलनों का विकास

• भारतीय गणित (400-1200 ईस्वी): गणितज्ञों जैसे आर्यभट्ट ने साइन और कोसाइन फलनों का विकास किया जैसा कि हम आज जानते हैं।
• इस्लामी स्वर्ण युग (8वीं-14वीं शताब्दी): विद्वानों जैसे अल-ख्वारिज्मी और अल-बट्टानी ने त्रिकोणमितीय ज्ञान का विस्तार किया और अधिक सटीक तालिकाएँ बनाई।
• यूरोपीय पुनर्जागरण: रेजियोमोंटानस (1436-1476) ने व्यापक त्रिकोणमितीय तालिकाएँ और सूत्र प्रकाशित किए।

ग्राफिकल प्रतिनिधित्व

त्रिकोणमितीय फलनों का निरंतर ग्राफ के रूप में दृश्यांकन एक अपेक्षाकृत हालिया विकास है:

• रेने डेसकार्टेस (1596-1650): उनके द्वारा कार्तीय निर्देशांक प्रणाली का आविष्कार ग्राफिक रूप से फलनों का प्रतिनिधित्व करना संभव बनाता है।
• लियोनहार्ड यूलेर (1707-1783): उन्होंने त्रिकोणमितीयता में महत्वपूर्ण योगदान दिया, जिसमें प्रसिद्ध यूलेर का सूत्र ($e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x)$) शामिल है, जो त्रिकोणमितीय फलनों को घातीय फलनों से जोड़ता है।
• जोसेफ फूरियर (1768-1830): उन्होंने फूरियर श्रृंखला का विकास किया, यह दिखाते हुए कि जटिल आवर्ती फलनों को सरल साइन और कोसाइन फलनों के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

आधुनिक युग

• 19वीं शताब्दी: कलन और विश्लेषण के विकास ने त्रिकोणमितीय फलनों की गहरी समझ प्रदान की।
• 20वीं शताब्दी: इलेक्ट्रॉनिक कैलकुलेटर और कंप्यूटर ने त्रिकोणमितीय फलनों की गणना और दृश्यांकन करने की क्षमता को क्रांतिकारी रूप से बदल दिया।
• 21वीं शताब्दी: इंटरएक्टिव ऑनलाइन उपकरण (जैसे यह ग्राफर) त्रिकोणमितीय फलनों को हर किसी के लिए सुलभ बनाते हैं जिनके पास इंटरनेट कनेक्शन है।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

त्रिकोणमितीय फलन क्या हैं?

त्रिकोणमितीय फलन गणितीय फलन होते हैं जो एक त्रिकोण के कोणों को उसके भुजाओं की लंबाई के अनुपात से संबंधित करते हैं। प्राथमिक त्रिकोणमितीय फलन साइन, कोसाइन, और टैंजेंट हैं, जिनके व्युत्क्रम को कोसेकेंट, सेकेंट, और कोटैंजेंट कहा जाता है। ये फलन गणित में मौलिक हैं और भौतिकी, इंजीनियरिंग, और अन्य क्षेत्रों में कई अनुप्रयोग हैं।

मुझे त्रिकोणमितीय फलनों का दृश्यांकन करने की आवश्यकता क्यों है?

त्रिकोणमितीय फलनों का दृश्यांकन उनके व्यवहार, आवृत्तियों, और प्रमुख विशेषताओं को समझने में मदद करता है। ग्राफ़ पैटर्न, शून्य, अधिकतम, न्यूनतम, और आसिम्पटोट की पहचान करना आसान बनाते हैं। यह दृश्य समझ तरंग विश्लेषण, सिग्नल प्रोसेसिंग, और चक्रीय घटनाओं के मॉडलिंग के लिए महत्वपूर्ण है।

आयाम पैरामीटर क्या करता है?

आयाम पैरामीटर ग्राफ की ऊँचाई को नियंत्रित करता है। साइन और कोसाइन फलनों के लिए, यह निर्धारित करता है कि ग्राफ x-अक्ष के ऊपर और नीचे कितनी दूर तक फैला है। एक बड़ा आयाम ऊँचे शिखर और गहरे घाटियों को बनाता है। उदाहरण के लिए, $2\sin(x)$ के शिखर y=2 पर और घाटियाँ y=-2 पर होंगी, जबकि मानक $\sin(x)$ के शिखर y=1 पर और घाटियाँ y=-1 पर होंगी।

आवृत्ति पैरामीटर क्या करता है?

आवृत्ति पैरामीटर यह निर्धारित करता है कि दिए गए अंतराल में कितने चक्र होते हैं। उच्च आवृत्ति मान ग्राफ को क्षैतिज रूप से संकुचित करते हैं, जिससे अधिक चक्र बनते हैं। उदाहरण के लिए, $\sin(2x)$ मानक अवधि $[0, 2\pi]$ में दो पूर्ण चक्र पूरा करता है, जबकि $\sin(x)$ उसी अंतराल में केवल एक चक्र पूरा करता है।

चरण परिवर्तन पैरामीटर क्या करता है?

चरण परिवर्तन पैरामीटर ग्राफ को क्षैतिज रूप से स्थानांतरित करता है। सकारात्मक चरण परिवर्तन ग्राफ को बाईं ओर स्थानांतरित करता है, जबकि नकारात्मक चरण परिवर्तन इसे दाईं ओर स्थानांतरित करता है। उदाहरण के लिए, $\sin(x + \pi/2)$ मानक साइन वक्र को $\pi/2$ यूनिट बाईं ओर स्थानांतरित करता है, जिससे यह कोसाइन वक्र की तरह दिखता है।

टैंजेंट फलन में ऊर्ध्वाधर रेखाएँ क्यों होती हैं?

टैंजेंट फलन ग्राफ में ऊर्ध्वाधर रेखाएँ आसिम्पटोट का प्रतिनिधित्व करती हैं, जो उन बिंदुओं पर होती हैं जहाँ फलन असंगत होता है। गणितीय रूप से, टैंजेंट को $\tan(x) = \sin(x)/\cos(x)$ के रूप में परिभाषित किया गया है, इसलिए उन मानों पर जहाँ $\cos(x) = 0$ (जैसे $x = \pi/2, 3\pi/2$, आदि), टैंजेंट फलन अनंतता के करीब पहुँचता है, जिससे ये ऊर्ध्वाधर आसिम्पटोट बनते हैं।

रैडियन और डिग्री में क्या अंतर है?

रैडियन और डिग्री कोणों को मापने के दो तरीके हैं। एक पूर्ण वृत्त 360 डिग्री या $2\pi$ रैडियन है। गणितीय विश्लेषण में रैडियन अक्सर पसंद किए जाते हैं क्योंकि वे कई सूत्रों को सरल बनाते हैं। हमारा ग्राफर x-अक्ष के मानों के लिए रैडियन का उपयोग करता है, जहाँ $\pi$ लगभग 3.14159 का प्रतिनिधित्व करता है।

क्या मैं एक साथ कई फलनों का ग्राफ बना सकता हूँ?

हमारा साधारण त्रिकोणमितीय फलन ग्राफर स्पष्टता और उपयोग में आसानी पर केंद्रित है, इसलिए यह एक समय में एक फलन प्रदर्शित करता है। यह शुरुआती लोगों को प्रत्येक फलन के व्यवहार को समझने में मदद करता है बिना भ्रम के। कई फलनों की तुलना करने के लिए, आप अधिक उन्नत ग्राफिंग उपकरण जैसे Desmos या GeoGebra का उपयोग करना चाह सकते हैं।

यह ग्राफर कितनी सटीकता से काम करता है?

ग्राफर मानक जावास्क्रिप्ट गणितीय फलनों और D3.js दृश्यांकन का उपयोग करता है, जो शैक्षिक और सामान्य उपयोग के लिए पर्याप्त सटीकता प्रदान करता है। अत्यधिक सटीक वैज्ञानिक या इंजीनियरिंग अनुप्रयोगों के लिए, विशेष सॉफ़्टवेयर अधिक उपयुक्त हो सकता है।

क्या मैं अपने ग्राफ को सहेज या साझा कर सकता हूँ?

वर्तमान में, आप "कॉपी" बटन का उपयोग करके फलन सूत्र को कॉपी कर सकते हैं। जबकि सीधे चित्र सहेजने की सुविधा लागू नहीं की गई है, आप अपने उपकरण की स्क्रीनशॉट कार्यक्षमता का उपयोग करके ग्राफ को कैप्चर और साझा कर सकते हैं।

त्रिकोणमितीय फलनों के लिए कोड उदाहरण

यहाँ विभिन्न प्रोग्रामिंग भाषाओं में उदाहरण दिए गए हैं जो त्रिकोणमितीय फलनों के साथ काम करने और उनकी गणना करने का प्रदर्शन करते हैं:

1// जावास्क्रिप्ट उदाहरण साइन फलन की गणना और प्लॉटिंग के लिए
2function calculateSinePoints(amplitude, frequency, phaseShift, start, end, steps) {
3  const points = [];
4  const stepSize = (end - start) / steps;
5  
6  for (let i = 0; i <= steps; i++) {
7    const x = start + i * stepSize;
8    const y = amplitude * Math.sin(frequency * x + phaseShift);
9    points.push({ x, y });
10  }
11  
12  return points;
13}
14
15// उदाहरण उपयोग:
16const sinePoints = calculateSinePoints(2, 3, Math.PI/4, -Math.PI, Math.PI, 100);
17console.log(sinePoints);
18

1# पायथन उदाहरण matplotlib के साथ त्रिकोणमितीय फलनों का दृश्यांकन करने के लिए
2import numpy as np
3import matplotlib.pyplot as plt
4
5def plot_trig_function(func_type, amplitude, frequency, phase_shift):
6    # x मान बनाएं
7    x = np.linspace(-2*np.pi, 2*np.pi, 1000)
8    
9    # फलन प्रकार के आधार पर y मान की गणना करें
10    if func_type == 'sin':
11        y = amplitude * np.sin(frequency * x + phase_shift)
12        title = f"f(x) = {amplitude} sin({frequency}x + {phase_shift})"
13    elif func_type == 'cos':
14        y = amplitude * np.cos(frequency * x + phase_shift)
15        title = f"f(x) = {amplitude} cos({frequency}x + {phase_shift})"
16    elif func_type == 'tan':
17        y = amplitude * np.tan(frequency * x + phase_shift)
18        # बेहतर दृश्यांकन के लिए अनंत मानों को फ़िल्टर करें
19        y = np.where(np.abs(y) > 10, np.nan, y)
20        title = f"f(x) = {amplitude} tan({frequency}x + {phase_shift})"
21    
22    # प्लॉट बनाएँ
23    plt.figure(figsize=(10, 6))
24    plt.plot(x, y)
25    plt.grid(True)
26    plt.axhline(y=0, color='k', linestyle='-', alpha=0.3)
27    plt.axvline(x=0, color='k', linestyle='-', alpha=0.3)
28    plt.title(title)
29    plt.xlabel('x')
30    plt.ylabel('f(x)')
31    
32    # x-अक्ष के लिए विशेष बिंदु जोड़ें
33    special_points = [-2*np.pi, -3*np.pi/2, -np.pi, -np.pi/2, 0, np.pi/2, np.pi, 3*np.pi/2, 2*np.pi]
34    special_labels = ['-2π', '-3π/2', '-π', '-π/2', '0', 'π/2', 'π', '3π/2', '2π']
35    plt.xticks(special_points, special_labels)
36    
37    plt.ylim(-5, 5)  # बेहतर दृश्यांकन के लिए y-अक्ष को सीमित करें
38    plt.show()
39
40# उदाहरण उपयोग:
41plot_trig_function('sin', 2, 1, 0)  # प्लॉट करें f(x) = 2 sin(x)
42

1// जावा उदाहरण त्रिकोणमितीय मानों की गणना के लिए
2import java.util.ArrayList;
3import java.util.List;
4
5public class TrigonometricCalculator {
6    
7    public static class Point {
8        public double x;
9        public double y;
10        
11        public Point(double x, double y) {
12            this.x = x;
13            this.y = y;
14        }
15        
16        @Override
17        public String toString() {
18            return "(" + x + ", " + y + ")";
19        }
20    }
21    
22    public static List<Point> calculateCosinePoints(
23            double amplitude, 
24            double frequency, 
25            double phaseShift, 
26            double start, 
27            double end, 
28            int steps) {
29        
30        List<Point> points = new ArrayList<>();
31        double stepSize = (end - start) / steps;
32        
33        for (int i = 0; i <= steps; i++) {
34            double x = start + i * stepSize;
35            double y = amplitude * Math.cos(frequency * x + phaseShift);
36            points.add(new Point(x, y));
37        }
38        
39        return points;
40    }
41    
42    public static void main(String[] args) {
43        // f(x) = 2 cos(3x + π/4) के लिए बिंदुओं की गणना करें
44        List<Point> cosinePoints = calculateCosinePoints(
45            2.0,  // आयाम
46            3.0,  // आवृत्ति
47            Math.PI/4,  // चरण परिवर्तन
48            -Math.PI,  // प्रारंभ
49            Math.PI,  // अंत
50            100  // चरण
51        );
52        
53        // पहले कुछ बिंदुओं को प्रिंट करें
54        System.out.println("f(x) = 2 cos(3x + π/4) के लिए पहले 5 बिंदु:");
55        for (int i = 0; i < 5 && i < cosinePoints.size(); i++) {
56            System.out.println(cosinePoints.get(i));
57        }
58    }
59}
60

1' एक्सेल VBA फ़ंक्शन साइन मान की गणना के लिए
2Function SineValue(x As Double, amplitude As Double, frequency As Double, phaseShift As Double) As Double
3    SineValue = amplitude * Sin(frequency * x + phaseShift)
4End Function
5
6' एक्सेल सूत्र साइन फलन के लिए (सेल में)
7' =A2*SIN(B2*C2+D2)
8' जहाँ A2 आयाम है, B2 आवृत्ति है, C2 x मान है, और D2 चरण परिवर्तन है
9

1// C में टैंजेंट फलन मानों की गणना करने के लिए कार्यान्वयन
2#include <stdio.h>
3#include <math.h>
4
5// पैरामीटर के साथ टैंजेंट की गणना करने के लिए फ़ंक्शन
6double parameterizedTangent(double x, double amplitude, double frequency, double phaseShift) {
7    double angle = frequency * x + phaseShift;
8    
9    // असंगत बिंदुओं के लिए जाँच करें (जहाँ कोस = 0)
10    double cosValue = cos(angle);
11    if (fabs(cosValue) < 1e-10) {
12        return NAN; // असंगत बिंदुओं के लिए संख्या नहीं
13    }
14    
15    return amplitude * tan(angle);
16}
17
18int main() {
19    double amplitude = 1.0;
20    double frequency = 2.0;
21    double phaseShift = 0.0;
22    
23    printf("x\t\tf(x) = %g tan(%gx + %g)\n", amplitude, frequency, phaseShift);
24    printf("----------------------------------------\n");
25    
26    // -π से π तक मान प्रिंट करें
27    for (double x = -M_PI; x <= M_PI; x += M_PI/8) {
28        double y = parameterizedTangent(x, amplitude, frequency, phaseShift);
29        
30        if (isnan(y)) {
31            printf("%g\t\tअसंगत (आसिम्पटोट)\n", x);
32        } else {
33            printf("%g\t\t%g\n", x, y);
34        }
35    }
36    
37    return 0;
38}
39

संदर्भ

1. Abramowitz, M. और Stegun, I. A. (Eds.). "गणितीय कार्यों का हैंडबुक जिसमें सूत्र, ग्राफ और गणितीय तालिकाएँ हैं," 9वीं छपाई। न्यू यॉर्क: डोवर, 1972।

2. Gelfand, I. M., और Fomin, S. V. "विविधताओं की गणना।" कूरियर कॉर्पोरेशन, 2000।

3. Kreyszig, E. "उन्नत इंजीनियरिंग गणित," 10वाँ संस्करण। जॉन विली एंड संस, 2011।

4. Bostock, M., Ogievetsky, V., और Heer, J. "D3: डेटा-चालित दस्तावेज़।" IEEE ट्रांजैक्शंस ऑन विज़ुअलाइजेशन एंड कंप्यूटर ग्राफिक्स, 17(12), 2301-2309, 2011। https://d3js.org/

5. "त्रिकोणमितीय फलन।" खान अकादमी, https://www.khanacademy.org/math/trigonometry/trigonometry-right-triangles/intro-to-the-trig-ratios/a/trigonometric-functions. 3 अगस्त 2023 को पहुँचा।

6. "त्रिकोणमितीयता का इतिहास।" मैक ट्यूटर गणित का इतिहास आर्काइव, सेंट एंड्रयूज विश्वविद्यालय, स्कॉटलैंड। https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Trigonometric_functions/. 3 अगस्त 2023 को पहुँचा।

7. Maor, E. "त्रिकोणमितीय आनंद।" प्रिंसटन यूनिवर्सिटी प्रेस, 2013।

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