เครื่องมือแก้สมการกำลังสอง - คำนวณรากของ ax² + bx + c = 0

สมการกำลังสองคืออะไร?

สมการกำลังสองคือสมการในรูป $ax^2 + bx + c = 0$ โดยที่ $a$, $b$ และ $c$ เป็นจำนวน และ $a$ ไม่เท่ากับศูนย์ เครื่องมือแก้สมการกำลังสองในหน้านี้จะหาค่าหรือค่าต่าง ๆ ของ $x$ ที่ทำให้สมการเป็นจริง โดยใช้สัมประสิทธิ์ $a$, $b$ และ $c$ ที่ผู้ใช้ป้อน

หาก $a$ เป็นศูนย์ พจน์ $x^2$ จะหายไป และสมการจะกลายเป็นสมการเชิงเส้นแทนที่จะเป็นสมการกำลังสอง ด้วยเหตุนี้ เครื่องคิดเลขจึงกำหนดให้ $a \neq 0$ และแสดงข้อผิดพลาดหาก $a = 0$

สูตรสมการกำลังสอง

สมการกำลังสองทุกสมการในรูป $ax^2 + bx + c = 0$ สามารถแก้ได้ด้วยสูตรสมการกำลังสอง:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

เครื่องหมาย $\pm$ หมายถึงการคำนวณสองครั้งแยกกัน ครั้งหนึ่งใช้เครื่องหมายบวก และอีกครั้งใช้เครื่องหมายลบ นี่จึงเป็นเหตุผลที่สมการกำลังสองอาจมีคำตอบที่แตกต่างกันสองค่า

นิพจน์ใต้เครื่องหมายรากที่สอง $b^2 - 4ac$ เรียกว่าดิสคริมิแนนต์ โดยปกติเขียนเป็น $\Delta$ (อักษรกรีกเดลตา) ดิสคริมิแนนต์เพียงอย่างเดียวจะบอกได้ว่าสมการมีคำตอบที่เป็นจำนวนจริงกี่ค่า ก่อนคำนวณส่วนที่เหลือ

วิธีคำนวณรากของสมการ

1. เขียนสมการให้อยู่ในรูปมาตรฐาน $ax^2 + bx + c = 0$
2. ระบุสัมประสิทธิ์ $a$, $b$ และ $c$
3. คำนวณดิสคริมิแนนต์: $\Delta = b^2 - 4ac$
4. หาก $\Delta$ เป็นบวก ให้คำนวณรากทั้งสองด้วย $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$
5. หาก $\Delta$ เป็นศูนย์ ให้คำนวณรากเดี่ยวด้วย $x = \dfrac{-b}{2a}$
6. หาก $\Delta$ เป็นลบ สมการจะไม่มีรากที่เป็นจำนวนจริง เพราะจำนวนลบไม่มีรากที่สองเป็นจำนวนจริง

เครื่องคิดเลขในหน้านี้ดำเนินการตามขั้นตอนเหล่านี้โดยอัตโนมัติ โดยรับสัมประสิทธิ์ระหว่าง $-10^{10}$ ถึง $10^{10}$ และปัดผลลัพธ์เป็นจำนวนตำแหน่งทศนิยมที่เลือกได้ ตั้งแต่ 0 ถึง 10

ดิสคริมิแนนต์หมายถึงอะไร

เครื่องคิดเลขนี้รายงานว่า “ไม่มีรากที่เป็นจำนวนจริง” เมื่อ $\Delta$ เป็นลบ โดยไม่คำนวณรากเชิงซ้อน (จำนวนที่มี $i = \sqrt{-1}$ ประกอบอยู่)

ตัวอย่างพร้อมวิธีทำ

จงแก้สมการ $x^2 + 5x + 6 = 0$

ในที่นี้ $a = 1$, $b = 5$ และ $c = 6$

ขั้นแรก ให้หาดิสคริมิแนนต์:

$\Delta = b^2 - 4ac = 5^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1$

เนื่องจาก $\Delta$ เป็นบวก สมการจึงมีรากที่เป็นจำนวนจริงสองราก:

$x = \frac{-5 \pm \sqrt{1}}{2(1)} = \frac{-5 \pm 1}{2}$

$x_1 = \frac{-5 + 1}{2} = -2 \qquad x_2 = \frac{-5 - 1}{2} = -3$

สามารถตรวจสอบได้ด้วยการแยกตัวประกอบ: $x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)$ ซึ่งมีค่าเป็นศูนย์เมื่อ $x = -2$ หรือ $x = -3$

ตัวอย่างที่สองแสดงกรณีดิสคริมิแนนต์เป็นลบ สำหรับ $x^2 + x + 1 = 0$ จะมี $a = 1$, $b = 1$, $c = 1$ ดังนั้น $\Delta = 1 - 4 = -3$ เนื่องจาก $\Delta$ เป็นลบ สมการจึงไม่มีรากที่เป็นจำนวนจริง

พาราโบลา จุดยอด และแกนสมมาตร

กราฟของ $f(x) = ax^2 + bx + c$ เป็นเส้นโค้งที่เรียกว่าพาราโบลา หาก $a$ เป็นบวก พาราโบลาจะเปิดขึ้นและมีจุดต่ำสุด หาก $a$ เป็นลบ พาราโบลาจะเปิดลงและมีจุดสูงสุด จุดต่ำสุดหรือจุดสูงสุดนั้นเรียกว่าจุดยอด

จุดยอดอยู่ที่:

$x = -\frac{b}{2a}, \qquad y = f\!\left(-\frac{b}{2a}\right)$

เส้นตรงแนวตั้งที่ลากผ่านจุดยอด $x = -\dfrac{b}{2a}$ เรียกว่าแกนสมมาตร เพราะสองซีกของพาราโบลาเป็นภาพสะท้อนกันข้ามเส้นนี้ รากที่เป็นจำนวนจริงของสมการคือจุดที่พาราโบลาตัดแกน x ดังนั้นรากเหล่านั้นจึงอยู่คนละด้านของแกนสมมาตรและห่างจากแกนเป็นระยะเท่ากัน

เครื่องคิดเลขจะวาดพาราโบลานี้ไว้ถัดจากผลลัพธ์ โดยทำเครื่องหมายจุดยอดและรากที่เป็นจำนวนจริงบนเส้นโค้ง และจะขยายช่วงของกราฟเมื่อจำเป็น เพื่อให้มองเห็นรากทุกค่า

การใช้สมการกำลังสอง

สมการกำลังสองใช้อธิบายสถานการณ์จริงได้มากมาย ในฟิสิกส์ ความสูงของวัตถุที่ถูกขว้างเมื่อเวลาผ่านไปเป็นไปตามสมการ $h(t) = -\tfrac{1}{2}gt^2 + v_0t + h_0$ และการแก้สมการหา $t$ จะให้เวลาที่วัตถุตกถึงพื้น ในวิศวกรรม รูปทรงพาราโบลาปรากฏในจานรับสัญญาณดาวเทียมและสายเคเบิลสะพาน เนื่องจากลักษณะที่ช่วยรวมสัญญาณหรือกระจายแรง ในคอมพิวเตอร์กราฟิก โปรแกรมเรย์เทรซิงจะแก้สมการกำลังสองเพื่อหาจุดที่เส้นตรงตัดกับทรงกลม

ประวัติโดยย่อ

นักคณิตศาสตร์ชาวบาบิโลนแก้ปัญหาเฉพาะเกี่ยวกับสมการกำลังสองได้ราว 2000 ปีก่อนคริสตกาล โดยใช้วิธีทางเรขาคณิตแทนพีชคณิต นักคณิตศาสตร์กรีก เช่น ยูคลิด ก็ศึกษาสมการกำลังสองด้วยวิธีทางเรขาคณิตเช่นกัน ราว 600 คริสต์ศักราช นักคณิตศาสตร์ชาวอินเดีย พรหมคุปตะ ได้ให้สูตรอย่างชัดเจนสำหรับหารากของสมการ รวมถึงคำตอบที่เป็นลบ ราว 800 คริสต์ศักราช นักคณิตศาสตร์ชาวเปอร์เซีย อัล-คอวาริซมี ได้อธิบายวิธีการอย่างเป็นระบบสำหรับแก้สมการกำลังสองในหนังสือเล่มหนึ่ง ซึ่งชื่อหนังสือเป็นที่มาของคำว่า “พีชคณิต” รูปเชิงสัญลักษณ์สมัยใหม่ของสูตรสมการกำลังสองกลายเป็นรูปแบบมาตรฐานในเวลาต่อมา เมื่อสัญกรณ์พีชคณิตพัฒนาขึ้นในช่วงยุคฟื้นฟูศิลปวิทยา

คำถามที่พบบ่อย

จะเกิดอะไรขึ้นหากฉันป้อน 0 เป็นสัมประสิทธิ์ a? เครื่องคิดเลขจะแสดงข้อผิดพลาด เพราะ $a = 0$ ทำให้สมการกลายเป็นสมการเชิงเส้น $bx + c = 0$ ซึ่งต้องแก้ด้วยวิธีอื่น

ทำไมบางครั้งสมการจึงไม่มีรากที่เป็นจำนวนจริง? กรณีนี้เกิดขึ้นเมื่อดิสคริมิแนนต์ $b^2 - 4ac$ มีค่าเป็นลบ ทั้งนี้จำนวนลบไม่มีรากที่สองเป็นจำนวนจริง ดังนั้นสูตรจึงไม่สามารถให้ค่าของ $x$ ที่เป็นจำนวนจริงได้ สมการยังคงมีรากเชิงซ้อนสองราก แต่เครื่องคิดเลขนี้ไม่คำนวณรากเหล่านั้น

รากของสมการกับคำตอบแตกต่างกันอย่างไร? ไม่แตกต่างกัน ทั้งสองคำหมายถึงค่าของ $x$ ที่ทำให้สมการมีค่าเท่ากับศูนย์ “ราก” หมายถึงจุดที่กราฟพบกับแกน x ส่วน “คำตอบ” หมายถึงแนวคิดทางพีชคณิต

ฉันเลือกจำนวนตำแหน่งทศนิยมได้กี่ตำแหน่ง? เลือกได้ตั้งแต่ 0 ถึง 10 ตำแหน่งทศนิยมสองหรือสามตำแหน่งมักเพียงพอสำหรับปัญหาในชีวิตประจำวัน

ฉันสามารถป้อนสัมประสิทธิ์ที่มีค่ามากมากได้หรือไม่? สัมประสิทธิ์ต้องอยู่ระหว่าง $-10^{10}$ ถึง $10^{10}$ ค่าที่อยู่นอกช่วงนี้อาจทำให้เกิดข้อผิดพลาดจากการปัดเศษและจะถูกปฏิเสธ

เครื่องคิดเลขนี้หารากเชิงซ้อนได้หรือไม่? ไม่ได้ เมื่อดิสคริมิแนนต์เป็นลบ เครื่องคิดเลขจะแจ้งว่า “ไม่มีรากที่เป็นจำนวนจริง” แทนการคำนวณจำนวนเชิงซ้อน

เอกสารอ้างอิง

1. Quadratic Equation – MathWorld
2. ห้องสมุดดิจิทัลของฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ NIST, §1.11, พีชคณิต: สมการกำลังสอง