เครื่องคำนวณสมการยัง-ลาพลาซ | ความดันที่ผิวสัมผัส

สมการ Young-Laplace คืออะไร?

สมการ Young-Laplace เป็นสูตรในกลศาสตร์ของไหลที่ใช้หาความแตกต่างของความดันระหว่างผิวสัมผัสโค้งของของไหลสองชนิด เช่น พื้นผิวของหยดน้ำหรือฟองสบู่ สมการนี้แสดงให้เห็นว่าความแตกต่างของความดันขึ้นอยู่กับแรงตึงผิวของของไหลและความโค้งของผิวสัมผัสว่ามากน้อยเพียงใด สมการนี้อธิบายว่าเหตุใดความดันจึงเกิดขึ้นภายในหยดของเหลวและฟอง และเหตุใดหยดหรือฟองที่เล็กกว่าจึงมีความดันภายในสูงกว่าหยดหรือฟองที่ใหญ่กว่า

สมการนี้ตั้งชื่อตาม Thomas Young และ Pierre-Simon Laplace ซึ่งต่างก็อธิบายความสัมพันธ์นี้ไว้ในช่วงต้นคริสต์ทศวรรษ 1800

สูตรสมการ Young-Laplace

รูปทั่วไปของสมการคือ:

$\Delta P = \gamma \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right)$

• $\Delta P$ คือความแตกต่างของความดันระหว่างผิวสัมผัส มีหน่วยเป็นปาสกาล (Pa)
• $\gamma$ (แกมมา) คือแรงตึงผิวของของไหล มีหน่วยเป็นนิวตันต่อเมตร (N/m)
• $R_1$ และ $R_2$ คือรัศมีความโค้งหลักสองค่าของผิว มีหน่วยเป็นเมตร (m)

ผิวหนึ่งจะโค้งแตกต่างกันไปตามทิศทางต่าง ๆ $R_1$ และ $R_2$ อธิบายความโค้งตามทิศทางสองทิศทางที่ตั้งฉากกัน สำหรับทรงกลม เช่น หยดของเหลวหรือฟอง $R_1$ จะเท่ากับ $R_2$ ดังนั้นสูตรจึงย่อเป็น:

$\Delta P = \frac{2\gamma}{R}$

หลักเกณฑ์การกำหนดเครื่องหมาย

ความดันจะสูงกว่าเสมอที่ด้านเว้าของผิวสัมผัสโค้ง ซึ่งเป็นด้านที่ผิวโค้งนูนออกจากตัวผิว สำหรับหยดของเหลวหรือฟอง นั่นหมายความว่าความดันด้านในสูงกว่าด้านนอก รัศมีจะถือเป็นบวกเมื่อจุดศูนย์กลางความโค้งอยู่ด้านที่มีความดันสูงกว่า หากผิวโค้งไปอีกทางหนึ่งในทิศทางใด รัศมีในทิศทางนั้นจะถือเป็นลบ ผิวสัมผัสรูปอานม้า เช่น คอของเหลวระหว่างเม็ดวัสดุสองเม็ดที่สัมผัสกัน จะมีรัศมีหนึ่งค่าเป็นบวกและอีกค่าหนึ่งเป็นลบ ทำให้พจน์ทั้งสองหักล้างกันบางส่วน

เครื่องคำนวณนี้ใช้เฉพาะรัศมีที่เป็นบวก

กรณีพิเศษ

• ผิวราบ: เมื่อรัศมีเพิ่มขึ้นจนเข้าใกล้อนันต์ พจน์ของรัศมีนั้นในสูตรจะลดลงจนเข้าใกล้ศูนย์ ผิวสัมผัสที่ราบอย่างสมบูรณ์จะไม่มีความแตกต่างของความดันเลย
• ทรงกระบอก: ผิวทรงกระบอกยาว เช่น ลำของเหลวที่พุ่งออกจากหัวฉีด จะโค้งในทิศทางเดียว รัศมีหนึ่งคือรัศมีของทรงกระบอก ส่วนอีกรัศมีหนึ่งเป็นอนันต์ตามแนวยาว ดังนั้นสมการจึงลดรูปเป็น $\Delta P = \gamma / R$ ซึ่งเป็นครึ่งหนึ่งของความแตกต่างของความดันในทรงกลมที่มีรัศมีเท่ากัน
• มาตราส่วนที่เล็กมาก: ที่ขนาดต่ำกว่าประมาณ 10 ถึง 20 นาโนเมตร ผลเพิ่มเติม เช่น แรงตึงแนวเส้น จะมีนัยสำคัญ และสมการอย่างง่ายนี้จะมีความแม่นยำลดลง

วิธีคำนวณความแตกต่างของความดันด้วยสมการ Young-Laplace

1. หาค่าแรงตึงผิวของของไหลในหน่วย N/m ที่อุณหภูมิที่ต้องการ แรงตึงผิวจะลดลงเมื่ออุณหภูมิสูงขึ้น
2. วัดหรือประมาณค่ารัศมีความโค้งหลักค่าแรก $R_1$ ในหน่วยเมตร
3. วัดหรือประมาณค่ารัศมีความโค้งหลักค่าที่สอง $R_2$ ในหน่วยเมตร สำหรับทรงกลม ให้ใช้ค่าเดียวกับ $R_1$ สำหรับทรงกระบอก ให้ใช้ค่าที่ใหญ่มากแทนค่าอนันต์
4. คูณแรงตึงผิวด้วยผลรวมของ $1/R_1$ และ $1/R_2$ ผลลัพธ์คือความแตกต่างของความดันในหน่วยปาสกาล

ใช้ค่าทุกค่าในหน่วย SI การผสมมิลลิเมตรกับเมตร เช่น จะทำให้คำตอบคลาดเคลื่อนไปเป็นปัจจัยหนึ่งพัน

ตัวอย่างพร้อมวิธีทำ

พิจารณาหยดน้ำทรงกลมที่มีรัศมี 1 มิลลิเมตร (0.001 ม.) และมีแรงตึงผิว 0.072 N/m ซึ่งเป็นค่าทั่วไปของน้ำใกล้อุณหภูมิห้อง

เนื่องจากหยดของเหลวเป็นทรงกลม $R_1 = R_2 = R$ ดังนั้น:

$\Delta P = \frac{2\gamma}{R} = \frac{2 \times 0.072}{0.001} = 144 \text{ Pa}$

ความดันภายในหยดของเหลวสูงกว่าความดันอากาศโดยรอบ 144 Pa ค่านี้น้อยเมื่อเทียบกับความดันบรรยากาศปกติ ซึ่งอยู่ที่ประมาณ 101,325 Pa แต่ผลกระทบจะเพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็วเมื่อหยดของเหลวมีขนาดเล็กลง หยดของเหลวที่มีรัศมี 0.1 มม. ซึ่งมีขนาดหนึ่งในสิบของขนาดเดิม จะมีความแตกต่างของความดันเพิ่มขึ้นสิบเท่าเป็น 1,440 Pa หยดของเหลวที่มีรัศมี 0.01 มม. จะมีความดันถึง 14,400 Pa หรือมากกว่า 14% ของความดันบรรยากาศ

สมการนี้ใช้ในกรณีใดบ้าง

• หยดของเหลวและฟอง: ความดันที่สูงกว่าในหยดขนาดเล็กเป็นแรงขับให้เกิดการโตแบบออสต์วัลด์ ซึ่งเป็นกระบวนการที่หยดขนาดเล็กในอิมัลชันหดตัว ขณะที่หยดขนาดใหญ่โตขึ้น เพราะสารภายในแพร่จากบริเวณความดันสูงไปยังบริเวณความดันต่ำ
• ปรากฏการณ์คาปิลลารี: ผิวโค้งของของเหลวภายในท่อแคบทำให้ของเหลวถูกดึงขึ้น นี่คือเหตุผลที่น้ำไต่ขึ้นตามกระดาษเช็ดมือและหลอดแก้วแคบ
• การหายใจ: ถุงลมขนาดเล็กมากในปอดที่เรียกว่าแอลวีโอลัสมีพฤติกรรมคล้ายฟองขนาดเล็ก สารเคลือบที่เรียกว่าสารลดแรงตึงผิวในปอดจะลดแรงตึงผิว เพื่อไม่ให้ถุงลมขนาดเล็กยุบตัวภายใต้ความดันที่สมการทำนายไว้ ทารกคลอดก่อนกำหนดที่มีสารลดแรงตึงผิวไม่เพียงพออาจมีปัญหาการหายใจด้วยเหตุนี้
• การพิมพ์อิงก์เจ็ต: หัวฉีดเครื่องพิมพ์สร้างหยดของเหลวที่มีขนาดกว้างหลายสิบไมโครเมตร ซึ่งความดันจากความโค้งมีค่ามากพอที่จะกำหนดรูปแบบการออกจากหัวฉีดของหมึก
• วัสดุศาสตร์: เครื่องมือที่ใช้วัดการเปียกของของเหลวบนผิว และพฤติกรรมของสารเคลือบบาง ใช้สมการนี้เชื่อมโยงรูปร่างของหยดของเหลวกับพลังงานผิวของมัน

ความเป็นมา

ผู้คนสังเกตเห็นของเหลวไต่ขึ้นตามท่อแคบมานานก่อนที่จะมีใครอธิบายเหตุผลได้ ในช่วงต้นคริสต์ศตวรรษที่ 1700 Francis Hauksbee แสดงให้เห็นจากการทดลองว่าท่อที่แคบกว่าจะทำให้ของเหลวไต่สูงขึ้น และในปี 1718 James Jurin อธิบายว่าความสูงที่เพิ่มขึ้นแปรผกผันกับเส้นผ่านศูนย์กลางของท่อ

Thomas Young อธิบายฟิสิกส์พื้นฐานในบทความปี 1805 โดยเสนอว่าแรงตึงผิวเป็นสมบัติของของไหลและเชื่อมโยงแรงตึงผิวเข้ากับความดันบนผิวโค้ง แม้การอธิบายของเขาจะเป็นเชิงพรรณนาเป็นส่วนใหญ่ ในปี 1806 Pierre-Simon Laplace พัฒนารูปแบบทางคณิตศาสตร์โดยใช้แคลคูลัส และได้ความสัมพันธ์เดียวกันอย่างเป็นอิสระ ผลงานร่วมของทั้งสองกลายเป็นสมการ Young-Laplace ต่อมานักวิทยาศาสตร์ รวมถึง Carl Friedrich Gauss และ Joseph Plateau ได้ทดสอบและขยายทฤษฎีนี้ตลอดคริสต์ศตวรรษที่ 1800

คำถามที่พบบ่อย

สมการ Young-Laplace คำนวณอะไร สมการนี้คำนวณความแตกต่างของความดันระหว่างผิวสัมผัสโค้งของของไหลสองชนิด โดยอาศัยแรงตึงผิวของของไหลและความโค้งของผิวสัมผัส

เหตุใดความดันภายในหยดของเหลวที่เล็กกว่าจึงสูงกว่า แรงตึงผิวดึงตามขอบของหยดของเหลว และแรงดึงนี้เพิ่มขึ้นตามรัศมี พื้นที่ที่ความดันต้องดันก็เพิ่มขึ้นตามกำลังสองของรัศมี เมื่อนำทั้งสองมาสมดุลกันจะได้ $\Delta P = 2\gamma/R$ ดังนั้นความแตกต่างของความดันจึงแปรผกผันกับรัศมี หากลดรัศมีลงครึ่งหนึ่ง ความแตกต่างของความดันจะเพิ่มเป็นสองเท่า

อุณหภูมิมีผลต่อสมการอย่างไร อุณหภูมิเปลี่ยนค่าแรงตึงผิว และแรงตึงผิวจะลดลงเมื่ออุณหภูมิสูงขึ้น สำหรับน้ำ แรงตึงผิวลดจากประมาณ 0.073 N/m ที่ 20 °C เหลือประมาณ 0.063 N/m ที่ 80 °C ซึ่งลดลงประมาณ 0.17 mN/m ต่อการเพิ่มอุณหภูมิหนึ่งองศาเซลเซียส แรงตึงผิวที่อุณหภูมิห้องสูงกว่าแรงตึงผิวของน้ำร้อน ดังนั้นการใช้ค่าที่อุณหภูมิห้องกับระบบร้อนจะทำให้ประเมินความแตกต่างของความดันสูงเกินจริง

สมการนี้ใช้กับรูปร่างที่ไม่ใช่ทรงกลมได้หรือไม่ ได้ รูปทั่วไปของสมการที่มีรัศมีแยกกันสองค่า $R_1$ และ $R_2$ ครอบคลุมผิวโค้งทุกชนิด รวมถึงทรงรีและผิวสัมผัสรูปอานม้า เฉพาะรูป $2\gamma/R$ ที่ย่อแล้วเท่านั้นที่ใช้ได้กับทรงกลม

สมการ Young-Laplace แตกต่างจากสมการของ Young อย่างไร สมการ Young-Laplace ให้ความแตกต่างของความดันที่เกิดจากผิวสัมผัสโค้ง ส่วนสมการของ Young ซึ่งเป็นความสัมพันธ์อีกแบบหนึ่งที่มาจาก Thomas Young เช่นกัน ให้ค่ามุมสัมผัสระหว่างหยดของเหลวกับพื้นผิวของแข็ง โดยอาศัยพลังงานผิวของวัสดุสามชนิดที่เกี่ยวข้อง สมการทั้งสองอธิบายคนละเรื่อง และบางครั้งใช้ร่วมกันเพื่อวิเคราะห์หยดของเหลวที่วางอยู่บนผิว

หยดของเหลวจะเล็กได้แค่ไหนก่อนที่สมการจะใช้ไม่ได้ สมการยังคงแม่นยำได้ถึงประมาณ 1 ไมโครเมตร หากต่ำกว่าประมาณ 10 ถึง 20 นาโนเมตร แรงเพิ่มเติมที่สมการไม่ได้คำนึงถึง รวมถึงแรงตึงตามเส้นและแรงระดับโมเลกุลระหว่างผิว จะมีค่ามากพอที่จะส่งผล และจำเป็นต้องใช้แบบจำลองที่ละเอียดขึ้น

เอกสารอ้างอิง

1. Young, T. (1805). "บทความว่าด้วยแรงยึดเหนี่ยวของของไหล" Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 95, 65–87.
2. Laplace, P.S. (1806). Traité de Mécanique Céleste, ภาคผนวกของหนังสือ 10
3. de Gennes, P.G., Brochard-Wyart, F., & Quéré, D. (2004). ปรากฏการณ์แรงคาปิลลารีและการเปียก: หยด ฟอง ไข่มุก คลื่น. Springer.
4. Adamson, A.W., & Gast, A.P. (1997). เคมีฟิสิกส์ของผิว (พิมพ์ครั้งที่ 6). Wiley-Interscience.