เครื่องคำนวณค่าวิกฤต | การทดสอบ Z, การทดสอบ t, ไคสแควร์

ค่าวิกฤตคือจุดตัดบนการแจกแจงความน่าจะเป็นที่กำหนดขอบของ “บริเวณปฏิเสธ” ในการทดสอบสมมติฐาน หากค่าสถิติทดสอบเกินค่าวิกฤต ผลลัพธ์จะถือว่ามีนัยสำคัญทางสถิติ และปฏิเสธสมมติฐานว่าง เครื่องมือนี้คำนวณค่าวิกฤตสำหรับการทดสอบที่ใช้กันทั่วไปสามแบบ ได้แก่ การทดสอบ Z การทดสอบ t และการทดสอบไคกำลังสอง

ค่าวิกฤตคืออะไร?

ในสถิติ นักวิจัยมักเริ่มจากสมมติฐานว่าง ซึ่งเป็นข้อสมมติทั่วไปว่าไม่มีสิ่งผิดปกติเกิดขึ้น (เช่น ยาชนิดใหม่ไม่มีผล) จากนั้นคำนวณค่าสถิติทดสอบจากข้อมูลตัวอย่าง แล้วเปรียบเทียบกับค่าวิกฤตเพื่อพิจารณาว่าข้อมูลมีหลักฐานเพียงพอที่จะคัดค้านสมมติฐานว่างหรือไม่

ค่าวิกฤตขึ้นอยู่กับสามสิ่ง ได้แก่ ประเภทของการทดสอบ ระดับนัยสำคัญ (เขียนเป็น α ซึ่งเป็นอักษรกรีกอัลฟา) และการทดสอบเป็นแบบหางเดียวหรือสองหาง ระดับนัยสำคัญคือโอกาสที่จะปฏิเสธสมมติฐานว่างที่เป็นจริงโดยผิดพลาด โดยมักกำหนดเป็น 0.05 (5%) หรือ 0.01 (1%)

การทดสอบแบบหางเดียวตรวจสอบผลในทิศทางเดียว เช่น “มากกว่า” จึงมีค่าวิกฤตหนึ่งค่า ส่วนการทดสอบแบบสองหางตรวจสอบผลได้ทั้งสองทิศทาง และมีค่าวิกฤตสองค่า อยู่คนละด้านของการแจกแจง

วิธีคำนวณค่าวิกฤต

1. เลือกการทดสอบ: การทดสอบ Z (กลุ่มตัวอย่างขนาดใหญ่หรือทราบความแปรปรวนของประชากร) การทดสอบ t (กลุ่มตัวอย่างขนาดเล็กและไม่ทราบความแปรปรวน) หรือการทดสอบไคสแควร์ (ข้อมูลเชิงหมวดหมู่หรือการทดสอบความสอดคล้องพอดี)
2. เลือกประเภทหาง: หางเดียวหรือสองหาง
3. เลือกระดับนัยสำคัญ α ซึ่งเป็นจำนวนระหว่าง 0 และ 1 ค่าที่ใช้กันทั่วไปคือ 0.10, 0.05 และ 0.01
4. สำหรับการทดสอบ t หรือการทดสอบไคกำลังสอง ให้ป้อนองศาเสรี (df) สำหรับการทดสอบ t, df เท่ากับขนาดตัวอย่างลบด้วย 1 สำหรับการทดสอบไคกำลังสองแบบความสอดคล้องพอดี df เท่ากับจำนวนหมวดหมู่ลบด้วย 1
5. ค้นหา (หรือคำนวณ) ค่าที่ตัดพื้นที่หางที่เลือกไว้ใต้เส้นโค้งการแจกแจง ค่านี้คือค่าวิกฤต

สูตรค่าวิกฤต

แต่ละสูตรใช้ฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันการแจกแจงสะสม ซึ่งก็คือค่าของ x ที่พื้นที่ใต้เส้นโค้งตั้งแต่ต้นจนถึง x เท่ากับความน่าจะเป็นเป้าหมาย p

สูตรการทดสอบ Z

$Z_c = \Phi^{-1}(1 - \alpha) \quad \text{(หางเดียว)}$ $Z_c = \Phi^{-1}\left(1 - \frac{\alpha}{2}\right) \quad \text{(สองหาง)}$

Φ⁻¹ คือฟังก์ชันการแจกแจงสะสมปกติมาตรฐานผกผัน

สูตรการทดสอบ t

$t_c = t^{-1}(1 - \alpha,\ df) \quad \text{(หางเดียว)}$ $t_c = t^{-1}\left(1 - \frac{\alpha}{2},\ df\right) \quad \text{(สองหาง)}$

t⁻¹(p, df) คือฟังก์ชันการแจกแจงสะสมผกผันของการแจกแจง t ที่มีองศาเสรี df

สูตรการทดสอบไคกำลังสอง

$\chi^2_c = \chi^2_{1-\alpha,\ df} \quad \text{(หางเดียว)}$ $\chi^2_{\text{ด้านล่าง}} = \chi^2_{\alpha/2,\ df}, \qquad \chi^2_{\text{ด้านบน}} = \chi^2_{1-\alpha/2,\ df} \quad \text{(สองหาง)}$

การแจกแจงไคกำลังสองรับค่าได้เฉพาะค่าบวก ดังนั้นค่าวิกฤตทั้งสองจึงเป็นค่าบวก และค่าด้านล่างมีค่าน้อยกว่าค่าด้านบน

ตัวอย่าง: ค่าวิกฤตของการทดสอบ Z

ทีมควบคุมคุณภาพต้องการค่าวิกฤตของการทดสอบ Z แบบหางเดียวที่ α = 0.05

$Z_c = \Phi^{-1}(1 - 0.05) = \Phi^{-1}(0.95) \approx 1.6449$

ค่าสถิติทดสอบใด ๆ ที่มากกว่า 1.6449 จะอยู่ในบริเวณปฏิเสธ

ตัวอย่าง: ค่าวิกฤตของการทดสอบ t

นักวิจัยทำการทดลองกับผู้เข้าร่วม 20 คน ดังนั้น df = 19 นักวิจัยต้องการค่าวิกฤตแบบสองหางที่ α = 0.01

$t_c = t^{-1}(1 - 0.005,\ 19) = t^{-1}(0.995,\ 19) \approx 2.8609$

บริเวณปฏิเสธคือ t < -2.8609 และ t > 2.8609

ตัวอย่าง: ค่าวิกฤตของการทดสอบไคกำลังสอง

นักวิเคราะห์เปรียบเทียบจำนวนที่สังเกตได้กับจำนวนที่คาดหมายใน 5 หมวดหมู่ ดังนั้น df = 4 นักวิเคราะห์ต้องการค่าวิกฤตแบบสองหางที่ α = 0.05

$\chi^2_{\text{ด้านล่าง}} = \chi^2_{0.025,\ 4} \approx 0.4844$ $\chi^2_{\text{ด้านบน}} = \chi^2_{0.975,\ 4} \approx 11.1433$

ค่าสถิติไคกำลังสองที่ต่ำกว่า 0.4844 หรือสูงกว่า 11.1433 จะอยู่ในบริเวณปฏิเสธ

ค่าวิกฤตที่ใช้กันทั่วไป

เมื่อองศาเสรีเพิ่มขึ้น ค่าวิกฤตของการแจกแจง t จะลดลงเข้าใกล้ค่าที่สอดคล้องกันของการทดสอบ Z เนื่องจากการแจกแจง t เข้าใกล้การแจกแจงปกติ

คำถามที่พบบ่อย

ค่าวิกฤตใช้ทำอะไร ค่าวิกฤตกำหนดขอบเขตสำหรับพิจารณาว่าค่าสถิติทดสอบสุดโต่งมากพอที่จะปฏิเสธสมมติฐานว่างหรือไม่ หากค่าสถิติข้ามค่าวิกฤต ผลลัพธ์จะมีนัยสำคัญทางสถิติที่ระดับ α ซึ่งเลือกไว้

ค่าวิกฤตแบบหางเดียวกับแบบสองหางแตกต่างกันอย่างไร การทดสอบแบบหางเดียวมองหาผลในทิศทางเดียวและมีค่าวิกฤตเพียงค่าเดียว ส่วนการทดสอบแบบสองหางมองหาผลได้ทั้งสองทิศทางและมีค่าวิกฤตสองค่า ซึ่งวางอย่างสมมาตรรอบจุดกึ่งกลางสำหรับการทดสอบ Z และการทดสอบ t เมื่อใช้ α เดียวกัน ค่าวิกฤตแบบสองหางจะมีขนาดสัมบูรณ์มากกว่าแบบหางเดียว เพราะความน่าจะเป็นรวมเท่าเดิมถูกแบ่งไปยังสองหางแทนที่จะอยู่ในหางเดียว

ควรใช้การทดสอบ Z แทนการทดสอบ t เมื่อใด ใช้การทดสอบ Z เมื่อทราบความแปรปรวนของประชากรหรือเมื่อกลุ่มตัวอย่างมีขนาดใหญ่ โดยทั่วไปคือมีข้อสังเกต 30 รายการขึ้นไป ใช้การทดสอบ t กับกลุ่มตัวอย่างขนาดเล็กกว่าซึ่งไม่ทราบความแปรปรวนของประชากร เมื่อขนาดตัวอย่างเพิ่มขึ้น ค่าวิกฤตของการทดสอบ t จะเข้าใกล้ค่าวิกฤตของการทดสอบ Z

ค่าวิกฤตเป็นค่าลบได้หรือไม่ ได้ การแจกแจงของการทดสอบ Z และการทดสอบ t สมมาตรรอบศูนย์ ดังนั้นการทดสอบแบบสองหางจึงมีค่าวิกฤตหนึ่งค่าเป็นลบและอีกหนึ่งค่าเป็นบวก ส่วนค่าวิกฤตของไคกำลังสองเป็นบวกเสมอ เนื่องจากการแจกแจงไคกำลังสองนิยามไว้เฉพาะสำหรับค่าศูนย์หรือค่าที่มากกว่าศูนย์

องศาเสรีส่งผลต่อค่าวิกฤตอย่างไร องศาเสรีวัดปริมาณข้อมูลอิสระในข้อมูล โดยทั่วไปเท่ากับขนาดตัวอย่างลบด้วยจำนวนพารามิเตอร์ที่ประมาณไว้แล้ว องศาเสรีที่ต่ำทำให้การแจกแจงกว้างขึ้นและมีหางหนักขึ้น ส่งผลให้ค่าวิกฤตมีขนาดใหญ่ขึ้น เมื่อองศาเสรีสูงขึ้น การแจกแจง t และการแจกแจงไคกำลังสองจะเข้าใกล้การแจกแจงปกติมากขึ้น

ค่าวิกฤตใดสอดคล้องกับระดับความเชื่อมั่น 95% ระดับความเชื่อมั่น 95% ใช้ α = 0.05 สำหรับการทดสอบ Z แบบสองหาง ค่าวิกฤตคือ ±1.9600 สำหรับการทดสอบ Z แบบหางเดียว ค่าวิกฤตคือ 1.6449

ความเป็นมา

Karl Pearson นำเสนอการทดสอบไคสแควร์ใน 1900 William Sealy Gosset ซึ่งเผยแพร่ผลงานในชื่อ “Student” พัฒนาการแจกแจง t ใน 1908 เพื่อใช้กับกลุ่มตัวอย่างขนาดเล็กที่โรงกลั่นเบียร์ Guinness Ronald Fisher วางหลักเกณฑ์อย่างเป็นระบบสำหรับการทดสอบนัยสำคัญและค่าวิกฤตในช่วงทศวรรษ 1920 โดยอธิบายไว้ในหนังสือ Statistical Methods for Research Workers ก่อนมีคอมพิวเตอร์ นักวิจัยค้นหาค่าวิกฤตจากตารางสิ่งพิมพ์ ปัจจุบันเครื่องคิดเลขและซอฟต์แวร์คำนวณค่าเหล่านี้โดยตรงจากสูตรการแจกแจง

เอกสารอ้างอิง

1. Pearson, K. (1900). “On the criterion that a given system of deviations... is such that it can be reasonably supposed to have arisen from random sampling.” Philosophical Magazine, Series 5, 50(302), 157–175
2. Student [Gosset, W. S.] (1908). “The probable error of a mean.” Biometrika, 6(1), 1–25
3. Fisher, R. A. (1925). Statistical Methods for Research Workers. Edinburgh: Oliver & Boyd
4. NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, “Critical Values.”