เครื่องคำนวณคะแนนดิบ - แปลง Z-Score เป็นค่าเดิม

คะแนนดิบคืออะไร?

คะแนนดิบ คือค่าดั้งเดิมที่ยังไม่ได้ทำให้เป็นมาตรฐานในชุดข้อมูล เช่น คะแนนสอบเป็นแต้ม หรือความยาวที่วัดได้เป็นมิลลิเมตร เครื่องคำนวณคะแนนดิบ จะแปลงคะแนน z ที่ทำให้เป็นมาตรฐานแล้วกลับเป็นค่าดั้งเดิม โดยใช้ค่าเฉลี่ยและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของชุดข้อมูล หน้านี้อธิบายสูตร แสดงตัวอย่างการคำนวณทีละขั้น และตอบคำถามที่พบบ่อยเกี่ยวกับคะแนนดิบ เครื่องคำนวณยังวาดเส้นโค้งการแจกแจงปกติและทำเครื่องหมายตำแหน่งของคะแนนดิบบนเส้นโค้งนั้น

สูตรคะแนนดิบ

คำนวณคะแนนดิบ $x$ จากคะแนน z ได้ด้วยสูตรนี้:

$$x = \mu + z \times \sigma$$

โดยที่:

• $x$ = คะแนนดิบ (ค่าดั้งเดิม)
• $\mu$ = ค่าเฉลี่ยของชุดข้อมูล
• $\sigma$ = ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของชุดข้อมูล
• $z$ = คะแนน z (จำนวนส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานที่ $x$ อยู่ห่างจากค่าเฉลี่ย)

สูตรนี้เป็นสูตรผกผันของสูตรคะแนน z มาตรฐาน $z = (x - \mu) / \sigma$ แทนที่จะเปลี่ยนค่าดิบเป็นคะแนน z สูตรนี้จะเปลี่ยนคะแนน z กลับเป็นค่าดิบ

วิธีคำนวณคะแนนดิบจากคะแนน z

1. หาค่าเฉลี่ย ($\mu$) ของชุดข้อมูล
2. หาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ($\sigma$) ซึ่งใช้วัดว่าข้อมูลกระจายตัวมากน้อยเพียงใด
3. ใช้คะแนน z ($z$) ซึ่งคือจำนวนส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานที่ค่าอยู่ห่างจากค่าเฉลี่ย คะแนน z ที่เป็นบวกอยู่สูงกว่าค่าเฉลี่ย ส่วนคะแนน z ที่เป็นลบอยู่ต่ำกว่าค่าเฉลี่ย
4. คูณคะแนน z ด้วยส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน แล้ว บวกค่าเฉลี่ย: $x = \mu + z \times \sigma$

ตัวอย่างพร้อมวิธีทำ

ตัวอย่าง 1: คะแนนสอบ

ชั้นเรียนหนึ่งทำแบบทดสอบที่มีคะแนนเฉลี่ย 80 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 5 นักเรียนคนหนึ่งได้คะแนน z เท่ากับ 1.2 คะแนนดิบของนักเรียนคนนั้นเป็นเท่าใด?

$$x = 80 + 1.2 \times 5 = 86$$

คะแนนดิบของนักเรียนคือ 86

ตัวอย่าง 2: การวัดในกระบวนการผลิต

โรงงานแห่งหนึ่งวัดความยาวของชิ้นส่วน โดยมีความยาวเฉลี่ย 150 มม. และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 2 มม. ชิ้นส่วนหนึ่งมีคะแนน z เท่ากับ −1.5 ความยาวจริงของชิ้นส่วนนั้นเป็นเท่าใด?

$$x = 150 + (-1.5) \times 2 = 147$$

ชิ้นส่วนนี้มีความยาว 147 มม.

ช่วงค่าข้อมูลนำเข้าที่ใช้ได้

เครื่องคำนวณในหน้านี้กำหนดให้:

• ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานมากกว่า 0 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานไม่สามารถเป็นค่าลบได้ และค่าศูนย์จะทำให้ไม่สามารถกำหนดคะแนน z ได้ เนื่องจากสูตรคะแนน z นำไปหารด้วยค่านี้
• ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานไม่เกิน 1,000,000
• ค่าเฉลี่ยอยู่ระหว่าง −1,000,000 ถึง 1,000,000
• คะแนน z อยู่ระหว่าง −10 ถึง 10

คะแนน z ในข้อมูลจริงส่วนใหญ่อยู่ระหว่าง −3 ถึง 3 เนื่องจากช่วงนี้ครอบคลุมค่าประมาณ 99.7% ในการแจกแจงปกติ คะแนน z ที่อยู่นอกช่วงนี้บ่งชี้ค่าที่พบได้ยากและอยู่ปลายสุด

การนำคะแนนดิบไปใช้

• การศึกษา แบบทดสอบมาตรฐานรายงานคะแนน z หรือคะแนนที่ปรับสเกลแล้ว การแปลงกลับเป็นคะแนนดิบจะแสดงจำนวนแต้มจริงหรือจำนวนข้อที่ตอบถูก
• จิตวิทยา แบบทดสอบไอคิวและการประเมินอื่น ๆ จะถูกทำให้เป็นมาตรฐานก่อน แล้วจึงแปลงเป็นค่าดิบเพื่อติดตามผลของบุคคลในช่วงเวลาต่าง ๆ
• การผลิต การควบคุมคุณภาพจะวัดชิ้นส่วนเทียบกับค่าเฉลี่ยเป้าหมาย และทำเครื่องหมายชิ้นส่วนที่มีคะแนน z ผิดปกติ จากนั้นรายงานค่าที่วัดได้จริงเพื่อการตรวจสอบ
• การเงิน ตัวชี้วัดความเสี่ยงหรือผลการดำเนินงานที่ทำให้เป็นมาตรฐานแล้วจะถูกแปลงกลับเป็นจำนวนเงินหรือเปอร์เซ็นต์ผลตอบแทนจริงเพื่อใช้รายงาน

คะแนนทางสถิติที่เกี่ยวข้อง

• เปอร์เซ็นไทล์ แสดงลำดับของค่าในชุดข้อมูลบนสเกล 0–100
• คะแนน T เป็นคะแนนมาตรฐานที่มีค่าเฉลี่ย 50 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 10 และใช้กันทั่วไปในจิตวิทยา
• สเตไนน์ เป็นสเกลเก้าคะแนนที่ใช้ในการศึกษา

คำถามที่พบบ่อย

คะแนนดิบกับคะแนน z ต่างกันอย่างไร?

คะแนนดิบคือค่าดั้งเดิมในหน่วยตามธรรมชาติ เช่น แต้ม หรือมิลลิเมตร ส่วนคะแนน z คือการแสดงค่าดังกล่าวใหม่เป็นระยะห่างจากค่าเฉลี่ย โดยวัดเป็นจำนวนส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน สูตร $x = \mu + z \times \sigma$ ใช้แปลงคะแนน z กลับเป็นคะแนนดิบ

จะหาคะแนนดิบจากเปอร์เซ็นไทล์ได้อย่างไร?

ขั้นแรกให้แปลงเปอร์เซ็นไทล์เป็นคะแนน z โดยใช้ตารางการแจกแจงปกติมาตรฐาน จากนั้นใช้สูตรคะแนนดิบ ตัวอย่างเช่น เปอร์เซ็นไทล์ที่ 84 ใกล้เคียงกับคะแนน z เท่ากับ 1.0

คะแนนดิบเป็นค่าลบได้หรือไม่?

ได้ หากข้อมูลพื้นฐานมีค่าลบ เช่น การเปลี่ยนแปลงของอุณหภูมิ หรือกำไรและขาดทุน คะแนนดิบก็อาจเป็นค่าลบได้เช่นกัน

คะแนนดิบใดสอดคล้องกับคะแนน z เท่ากับ 0?

คะแนน z เท่ากับ 0 จะให้คะแนนดิบเท่ากับค่าเฉลี่ยเสมอ เนื่องจาก $x = \mu + 0 \times \sigma = \mu$

สูตรคะแนนดิบใช้กับข้อมูลที่ไม่ได้มีการแจกแจงปกติได้หรือไม่?

ตัวสูตรเองใช้ได้กับชุดข้อมูลใด ๆ ที่มีค่าเฉลี่ยและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานที่กำหนดได้ แต่การตีความคะแนน z ตามปกติ เช่น “ค่าประมาณ 68% อยู่ภายในหนึ่งส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานจากค่าเฉลี่ย” ตั้งอยู่บนสมมติฐานว่าข้อมูลมีการแจกแจงปกติ สำหรับข้อมูลที่เบ้มาก การตีความดังกล่าวจะใช้ไม่ได้ แม้ว่าการคำนวณทางคณิตศาสตร์ยังคงทำได้

ผลลัพธ์มีความแม่นยำเพียงใด?

การคำนวณประกอบด้วยการคูณหนึ่งครั้งและการบวกหนึ่งครั้ง จึงให้ผลตรงตามตัวเลขที่ป้อน เครื่องคำนวณจะปัดคะแนนดิบที่แสดงเป็นทศนิยมสองตำแหน่ง ความแม่นยำที่เกิดขึ้นจริงจำกัดอยู่ที่ความแม่นยำของค่าเฉลี่ย ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน และคะแนน z ที่ทราบมา