เครื่องคำนวณค่าแซด - เครื่องมือคะแนนมาตรฐานและความน่าจะเป็น

z-score คืออะไร?

z-score หรือที่เรียกอีกอย่างว่าคะแนนมาตรฐาน ใช้วัดว่าค่าข้อมูลอยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยของชุดข้อมูลกี่ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน z-score เท่ากับ 0 หมายความว่าค่านั้นเท่ากับค่าเฉลี่ย z-score ที่เป็นบวกหมายความว่าค่านั้นสูงกว่าค่าเฉลี่ย ส่วน z-score ที่เป็นลบหมายความว่าค่านั้นต่ำกว่าค่าเฉลี่ย

สูตร z-score

z-score ของค่าข้อมูลคำนวณได้จากสูตรนี้:

$$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$

โดยที่:

• $z$ คือ z-score
• $x$ คือค่าข้อมูล
• $\mu$ คือค่าเฉลี่ยของชุดข้อมูล
• $\sigma$ คือส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของชุดข้อมูล

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานไม่สามารถเป็นศูนย์ได้ เพราะการหารด้วยศูนย์ไม่มีผลลัพธ์ที่นิยามไว้ และไม่สามารถเป็นค่าลบได้ เนื่องจากตามนิยามแล้วส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็นศูนย์หรือค่าบวกเสมอ

วิธีคำนวณ z-score

1. หาค่าเฉลี่ยของชุดข้อมูลโดยนำค่าทั้งหมดมาบวกกัน แล้วหารด้วยจำนวนค่า ซึ่งเท่ากับ $n$

$$\mu = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$$

2. หาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ขั้นแรกให้คำนวณความแปรปรวน ซึ่งคือค่าเฉลี่ยของผลต่างกำลังสองจากค่าเฉลี่ย จากนั้นจึงหารากที่สอง

$$\sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2}{n}}$$

นี่คือส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร ซึ่งหารด้วย $n$ หากตัวเลขเป็นกลุ่มตัวอย่างที่นำมาจากกลุ่มที่ใหญ่กว่า ให้หารด้วย $n - 1$ แทน

3. ลบค่าเฉลี่ยออกจากค่าข้อมูล แล้วหารด้วยส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

$$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$

ตัวอย่างพร้อมวิธีทำ

นักเรียนคนหนึ่งได้คะแนน 85 ในการทดสอบ ค่าเฉลี่ยของชั้นเรียนคือ 75 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของคะแนนในชั้นเรียนคือ 10

• ค่าข้อมูล: $x = 85$
• ค่าเฉลี่ย: $\mu = 75$
• ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน: $\sigma = 10$

$$z = \frac{85 - 75}{10} = 1.0$$

z-score ของนักเรียนคือ 1.0 คะแนนของนักเรียนสูงกว่าค่าเฉลี่ยของชั้นเรียนหนึ่งส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

z-score และความน่าจะเป็นสะสม

z-score สามารถแปลงเป็นความน่าจะเป็นสะสมได้ ซึ่งคือโอกาสที่ค่าซึ่งสุ่มเลือกจากการแจกแจงปกติจะมีค่าเท่ากับหรือต่ำกว่าจุดนั้น ค่านี้คือพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐานทางด้านซ้ายของ $z$

$$P(Z \leq z) = \Phi(z)$$

สำหรับ z-score ของนักเรียนที่เท่ากับ 1.0 ความน่าจะเป็นสะสมอยู่ที่ประมาณ 0.8413 หรือ 84.13% ซึ่งหมายความว่านักเรียนทำคะแนนได้ดีกว่านักเรียนประมาณ 84% ของทั้งชั้นเรียน โดยสมมติว่าคะแนนมีการแจกแจงปกติ เครื่องคิดเลขจะแสดง z-score เป็นทศนิยมสี่ตำแหน่ง และแสดงความน่าจะเป็นสะสมเป็นเปอร์เซ็นต์ที่มีทศนิยมสองตำแหน่ง

จุดอ้างอิงบางส่วน:

การตีความ z-score

ค่าส่วนใหญ่ในการแจกแจงปกติอยู่ภายใน 2 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานจากค่าเฉลี่ย z-score ที่เกิน +3 หรือ -3 พบได้ไม่บ่อย และมักถือเป็นค่าผิดปกติ ซึ่งเป็นค่าที่แตกต่างจากข้อมูลส่วนที่เหลืออย่างชัดเจน

z-score ยังช่วยให้เปรียบเทียบค่าที่วัดด้วยมาตราส่วนต่างกันได้ คะแนนสอบกับค่าความสูงไม่สามารถเปรียบเทียบกันโดยตรงได้ แต่สามารถเปรียบเทียบ z-score ของทั้งสองค่าได้ เพราะทั้งคู่แสดงระยะห่างจากค่าเฉลี่ยในหน่วยส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเดียวกัน

z-score เทียบกับ t-score

z-score ถือว่าทราบส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร และเหมาะที่สุดกับกลุ่มตัวอย่างขนาดใหญ่ ส่วน t-score ใช้เมื่อไม่ทราบส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรและกลุ่มตัวอย่างมีขนาดเล็ก โดยทั่วไปคือน้อยกว่า 30 ข้อมูล ทั้งสองค่าบอกระยะห่างจากค่าเฉลี่ย แต่ t-score มาจากการแจกแจง t ซึ่งมีหางหนากว่าเพื่อรองรับความไม่แน่นอนที่เพิ่มขึ้นในกลุ่มตัวอย่างขนาดเล็ก

การใช้งานทั่วไปของ z-score

• การทดสอบมาตรฐาน การเปรียบเทียบคะแนนดิบของนักเรียนกับการแจกแจงคะแนนโดยรวม
• การตรวจหาค่าผิดปกติ การทำเครื่องหมายค่าข้อมูลที่อยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยมากในชุดข้อมูล
• การควบคุมคุณภาพ การตรวจสอบว่าสินค้าที่ผลิตอยู่ในช่วงที่ยอมรับได้หรือไม่
• การทดสอบสมมติฐาน การทดสอบ z ใช้ z-score เพื่อตัดสินว่าค่าเฉลี่ยของกลุ่มตัวอย่างแตกต่างจากค่าเฉลี่ยของประชากรที่ทราบค่าอย่างมีนัยสำคัญหรือไม่

ความเป็นมา

z-score มีพื้นฐานมาจากการแจกแจงปกติ ซึ่ง Abraham de Moivre อธิบายไว้ใน 1733 และได้รับการพัฒนาต่อโดย Carl Friedrich Gauss และ Pierre-Simon Laplace ในช่วงต้นคริสต์ศตวรรษที่ 19 การทำให้ค่าเป็นมาตรฐานในหน่วยส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานกลายเป็นแนวปฏิบัติทั่วไปในการทดสอบทางจิตวิทยาและการควบคุมคุณภาพในช่วงคริสต์ศตวรรษที่ 20

คำถามที่พบบ่อย

z-score ในสถิติคืออะไร? z-score คือจำนวนส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานที่ค่าข้อมูลอยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยของชุดข้อมูล คำนวณได้จากสูตร z = (x − μ) / σ

จะตีความผลลัพธ์ z-score ได้อย่างไร? z-score เท่ากับ 0 หมายความว่าค่านั้นเท่ากับค่าเฉลี่ย ค่าบวกอยู่สูงกว่าค่าเฉลี่ย ส่วนค่าลบอยู่ต่ำกว่าค่าเฉลี่ย ค่าที่เกิน +3 หรือ -3 ถือว่าผิดปกติ

z-score เป็นค่าลบได้หรือไม่? ได้ z-score ที่เป็นลบเพียงหมายความว่าค่าข้อมูลอยู่ต่ำกว่าค่าเฉลี่ย z-score เท่ากับ -2 หมายความว่าค่านั้นต่ำกว่าค่าเฉลี่ย 2 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

z-score กับ t-score แตกต่างกันอย่างไร? z-score ใช้กับกลุ่มตัวอย่างขนาดใหญ่เมื่อทราบส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร ส่วน t-score ใช้กับกลุ่มตัวอย่างขนาดเล็ก โดยทั่วไปน้อยกว่า 30 เมื่อไม่ทราบค่านี้

ความน่าจะเป็นสะสมสำหรับ z-score หมายถึงอะไร? คือความน่าจะเป็นที่ค่าซึ่งสุ่มเลือกจากการแจกแจงปกติจะมีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับ z-score ที่กำหนด ซึ่งเท่ากับพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติทางด้านซ้ายของจุดนั้น

จะเกิดอะไรขึ้นหากส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็นศูนย์? z-score จะไม่มีนิยาม เพราะสูตรต้องหารด้วยศูนย์ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานที่เป็นศูนย์หมายความว่าค่าทุกค่าในชุดข้อมูลเหมือนกัน

เอกสารอ้างอิง

1. คะแนนมาตรฐาน, Wikipedia: https://en.wikipedia.org/wiki/Standard_score
2. การแจกแจงปกติและ z-score, Khan Academy: https://www.khanacademy.org/math/statistics-probability/modeling-distributions-of-data/z-scores/a/z-scores-review