เครื่องคำนวณ T-Test - เครื่องมือวิเคราะห์ทางสถิติออนไลน์ฟรี

t-test คืออะไร?

t-test เป็นวิธีทางสถิติที่ตรวจสอบว่าค่าเฉลี่ยของชุดตัวเลขชุดหนึ่งแตกต่างจากค่าเฉลี่ยอีกค่าหนึ่งหรือค่าคงที่อย่างมีนัยสำคัญหรือไม่ เรียกอีกอย่างว่า Student's t-test หรือการทดสอบ t ของสติวเดนต์ นักวิจัยใช้วิธีนี้เปรียบเทียบสองกลุ่ม เช่น กลุ่มที่ได้รับการรักษากับกลุ่มควบคุม หรือเปรียบเทียบกลุ่มหนึ่งกับมาตรฐานที่ทราบค่า

การทดสอบจะให้ตัวเลขที่เรียกว่า ค่าสถิติ t ค่าสถิติ t ที่ห่างจากศูนย์มากบ่งชี้ว่าค่าเฉลี่ยแตกต่างกันจริง ส่วนค่าสถิติ t ที่ใกล้ศูนย์บ่งชี้ว่าความแตกต่างอาจเกิดจากความผันผวนแบบสุ่มเท่านั้น

ประเภทของ t-test

เครื่องคำนวณนี้รองรับ t-test สามประเภท

• t-test แบบกลุ่มตัวอย่างเดียว: เปรียบเทียบค่าเฉลี่ยของกลุ่มตัวอย่างหนึ่งกลุ่มกับค่าที่ทราบหรือค่าที่ตั้งสมมติฐานไว้
• t-test แบบสองกลุ่มตัวอย่าง: เปรียบเทียบค่าเฉลี่ยของกลุ่มตัวอย่างอิสระสองกลุ่ม เช่น กลุ่มคนสองกลุ่มที่แยกจากกัน เครื่องคำนวณนี้ใช้ Welch's t-test หรือการทดสอบ t ของเวลช์ ซึ่งไม่สมมติว่าการกระจายของข้อมูลในสองกลุ่มมีขนาดเท่ากัน
• t-test แบบจับคู่: เปรียบเทียบชุดค่าการวัดสองชุดที่ได้จากกลุ่มตัวอย่างเดียวกัน เช่น คะแนนก่อนและหลังการรักษา

วิธีใช้เครื่องคำนวณ t-test นี้

1. เลือกประเภทการทดสอบ: กลุ่มตัวอย่างเดียว สองกลุ่มตัวอย่าง หรือแบบจับคู่
2. ป้อนข้อมูล
   • แบบกลุ่มตัวอย่างเดียว: ป้อนค่าของกลุ่มตัวอย่างโดยคั่นด้วยจุลภาค และป้อนค่าเฉลี่ยประชากรที่ต้องการใช้เปรียบเทียบ
   • แบบสองกลุ่มตัวอย่าง: ป้อนกลุ่มตัวอย่างทั้งสองกลุ่มเป็นรายการที่คั่นด้วยจุลภาคแยกจากกัน
   • แบบจับคู่: ป้อนคู่ข้อมูลในรูปแบบ (x1,y1), (x2,y2) และต่อไปเรื่อย ๆ
3. กำหนดระดับนัยสำคัญ โดยทั่วไปคือ 0.05 เครื่องคำนวณจะไม่ใช้ค่านี้ แต่จะแสดงค่า p และให้คุณเป็นผู้ตัดสินใจ
4. ค่าสถิติ t องศาอิสระ และค่า p จะแสดงทันทีเมื่อมีข้อมูลเพียงพอ ไม่ต้องกดปุ่ม

ในการพิจารณานัยสำคัญ ให้เปรียบเทียบค่า p กับระดับนัยสำคัญ หากค่า p น้อยกว่าหรือเท่ากับระดับนัยสำคัญ ความแตกต่างนั้นถือว่ามีนัยสำคัญทางสถิติ

สูตร t-test

สูตร t-test แบบกลุ่มตัวอย่างเดียว

$$t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}}$$

$\bar{x}$ คือค่าเฉลี่ยของกลุ่มตัวอย่าง $\mu_0$ คือค่าที่ใช้ทดสอบ $s$ คือส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของกลุ่มตัวอย่าง และ $n$ คือขนาดกลุ่มตัวอย่าง องศาอิสระ: $df = n - 1$

สูตร t-test แบบสองกลุ่มตัวอย่าง (Welch's test)

$$t = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{\sqrt{\dfrac{s_1^2}{n_1} + \dfrac{s_2^2}{n_2}}}$$

องศาอิสระคำนวณจากสมการ Welch–Satterthwaite:

$$df = \frac{\left(\dfrac{s_1^2}{n_1} + \dfrac{s_2^2}{n_2}\right)^2}{\dfrac{(s_1^2/n_1)^2}{n_1 - 1} + \dfrac{(s_2^2/n_2)^2}{n_2 - 1}}$$

โดยทั่วไปสูตรนี้ให้ค่า df ที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม

สูตร paired t-test

$$t = \frac{\bar{d}}{s_d / \sqrt{n}}$$

$\bar{d}$ คือค่าเฉลี่ยของผลต่างระหว่างแต่ละคู่ $s_d$ คือส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของผลต่างเหล่านั้น และ $n$ คือจำนวนคู่ องศาอิสระ: $df = n - 1$

วิธีคำนวณ t-test: ตัวอย่างการคำนวณ

ผู้ผลิตอ้างว่าแบตเตอรี่มีอายุการใช้งานเฉลี่ย 50 ชั่วโมง ผู้ทดสอบตรวจสอบแบตเตอรี่เก้าก้อนและบันทึกอายุการใช้งานเป็นหน่วยชั่วโมงดังนี้:

51, 49, 52, 48, 50, 47, 53, 49, 51

ขั้นตอนที่ 1: ระบุสมมติฐาน สมมติฐานศูนย์: ค่าเฉลี่ยจริงคือ 50 ชั่วโมง สมมติฐานทางเลือก: ค่าเฉลี่ยจริงไม่ใช่ 50 ชั่วโมง

ขั้นตอนที่ 2: หาค่าเฉลี่ยของกลุ่มตัวอย่าง

$$\bar{x} = \frac{51+49+52+48+50+47+53+49+51}{9} = 50.00$$

ขั้นตอนที่ 3: หาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของกลุ่มตัวอย่าง ค่าความเบี่ยงเบนจากค่าเฉลี่ยคือ 1, -1, 2, -2, 0, -3, 3, -1, 1 เมื่อยกกำลังสองจะได้ 1, 1, 4, 4, 0, 9, 9, 1, 1 ซึ่งมีผลรวมเท่ากับ 30

$$s = \sqrt{\frac{30}{9-1}} = \sqrt{3.75} \approx 1.94$$

ขั้นตอนที่ 4: หาค่าสถิติ t

$$t = \frac{50.00 - 50}{1.94 / \sqrt{9}} = 0.00$$

ขั้นตอนที่ 5: หาองศาอิสระ

$$df = 9 - 1 = 8$$

ขั้นตอนที่ 6: หาค่า p ที่ $t = 0$ และ $df = 8$ ค่า p แบบสองทางคือ 1.00

ขั้นตอนที่ 7: สรุปผล เนื่องจาก 1.00 มากกว่า 0.05 จึงมีหลักฐานไม่เพียงพอที่จะสรุปว่าอายุการใช้งานเฉลี่ยของแบตเตอรี่แตกต่างจาก 50 ชั่วโมง

ข้อสมมติของ t-test

t-test จะให้ผลลัพธ์ที่เชื่อถือได้ก็ต่อเมื่อเงื่อนไขบางประการเป็นจริงโดยประมาณ

• ความเป็นปกติของการแจกแจง: ข้อมูลควรมีรูปร่างคล้ายระฆังโดยประมาณ โดยเฉพาะเมื่อมีกลุ่มตัวอย่างขนาดเล็ก
• ความเป็นอิสระ: ค่าสังเกตแต่ละค่าไม่ควรส่งผลต่อค่าสังเกตอื่น
• การสุ่มตัวอย่าง: ข้อมูลควรมาจากกลุ่มตัวอย่างที่สุ่มจากประชากรที่กำลังศึกษา

สำหรับ paired t-test เงื่อนไขเหล่านี้ใช้กับผลต่างระหว่างคู่ ไม่ใช่คะแนนดิบ สำหรับกลุ่มตัวอย่างขนาดใหญ่ โดยประมาณมากกว่า 30 t-test มักยังคงให้ผลถูกต้องแม้ข้อมูลจะไม่ได้มีรูปร่างคล้ายระฆังอย่างสมบูรณ์ เนื่องจากคุณสมบัติทางสถิติที่เรียกว่าทฤษฎีบทขีดจำกัดกลาง

ทางเลือกอื่นนอกเหนือจาก t-test

เมื่อข้อสมมติข้างต้นไม่เป็นจริง อาจใช้การทดสอบอื่นแทนได้

• การทดสอบ Mann-Whitney U: ทางเลือกแบบไม่อิงพารามิเตอร์สำหรับ t-test แบบสองกลุ่มตัวอย่าง
• การทดสอบอันดับมีเครื่องหมายของ Wilcoxon: ทางเลือกแบบไม่อิงพารามิเตอร์สำหรับ paired t-test
• ANOVA: เปรียบเทียบค่าเฉลี่ยของสามกลุ่มขึ้นไปพร้อมกัน แทนที่จะเปรียบเทียบเพียงสองกลุ่ม

ประวัติของ t-test

William Sealy Gosset พัฒนา t-test ใน 1908 ขณะทำงานเป็นนักเคมีที่โรงเบียร์ Guinness ในกรุงดับลิน Guinness ไม่อนุญาตให้พนักงานเผยแพร่งานวิจัยโดยใช้ชื่อจริงของตน Gosset จึงใช้นามปากกาว่า "Student" นี่เป็นเหตุผลที่มักเรียกวิธีนี้ว่า Student's t-test เขาสร้างวิธีนี้ขึ้นเพื่อประเมินว่าวัตถุดิบสำหรับการผลิตเบียร์ชุดเล็กเป็นไปตามมาตรฐานคุณภาพหรือไม่ โดยใช้ตัวอย่างเพียงไม่กี่ตัวอย่างในแต่ละครั้ง

คำถามที่พบบ่อย

t-test ใช้ทำอะไร?

t-test ตรวจสอบว่าค่าเฉลี่ยของกลุ่มตัวอย่างแตกต่างจากค่าเฉลี่ยอีกค่าหนึ่งหรือค่าคงที่อย่างมีนัยสำคัญหรือไม่ มักใช้ในการวิจัยด้านการแพทย์ จิตวิทยา การศึกษา และธุรกิจ

ควรใช้ t-test แบบกลุ่มตัวอย่างเดียว แบบสองกลุ่มตัวอย่าง หรือแบบจับคู่เมื่อใด?

ใช้ t-test แบบกลุ่มตัวอย่างเดียวเพื่อเปรียบเทียบค่าเฉลี่ยของกลุ่มตัวอย่างกับค่าที่ทราบ ใช้ t-test แบบสองกลุ่มตัวอย่างเพื่อเปรียบเทียบสองกลุ่มที่แยกจากกันและไม่เกี่ยวข้องกัน ใช้ t-test แบบจับคู่เมื่อวัดกลุ่มตัวอย่างเดิมสองครั้ง เช่น ก่อนและหลังการรักษา

t-test แตกต่างจาก z-test อย่างไร?

ใช้ t-test เมื่อกลุ่มตัวอย่างมีขนาดเล็กหรือไม่ทราบส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร ใช้ z-test กับกลุ่มตัวอย่างขนาดใหญ่เมื่อทราบส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร ในทางปฏิบัติ t-test ถูกใช้บ่อยกว่ามาก เนื่องจากแทบไม่ทราบส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรล่วงหน้า

จะแปลความหมายค่า p จาก t-test ได้อย่างไร?

ค่า p คือความน่าจะเป็นที่จะเห็นความแตกต่างที่มีขนาดเท่านี้หรือมากกว่านี้ หากในความเป็นจริงไม่มีความแตกต่างที่แท้จริง ค่า p ที่มีขนาดเล็ก โดยทั่วไปคือไม่เกิน 0.05 บ่งชี้ว่าความแตกต่างที่สังเกตได้ไม่น่าจะเกิดจากความบังเอิญเพียงอย่างเดียว

Welch's t-test คืออะไร?

Welch's t-test เป็นรูปแบบหนึ่งของ t-test แบบสองกลุ่มตัวอย่างที่ไม่จำเป็นต้องให้สองกลุ่มมีความแปรปรวนเท่ากัน เครื่องคำนวณนี้ใช้วิธีของ Welch สำหรับการทดสอบแบบสองกลุ่มตัวอย่างเสมอ เนื่องจากยังคงให้ผลถูกต้องไม่ว่าความผันแปรของสองกลุ่มจะมีขนาดเท่ากันหรือไม่

องศาอิสระใน t-test คืออะไร?

องศาอิสระคือจำนวนหนึ่งที่อิงกับขนาดกลุ่มตัวอย่าง และกำหนดรูปร่างที่แน่นอนของการแจกแจง t ซึ่งใช้หาค่า p สำหรับ t-test แบบกลุ่มตัวอย่างเดียวหรือแบบจับคู่ องศาอิสระเท่ากับขนาดกลุ่มตัวอย่างลบด้วย 1 ส่วน t-test แบบสองกลุ่มตัวอย่างของ Welch ใช้สูตรที่โดยทั่วไปให้ค่าที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม

เอกสารอ้างอิง

1. Gosset, W. S. (1908). "The Probable Error of a Mean." Biometrika, 6(1), 1–25.
2. NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, หัวข้อ 1.3.6.7.2, "ค่าขีดวิกฤตของการแจกแจง t ของ Student"