Máy Tính Phân Phối Nhị Thức - Công Cụ Xác Suất Miễn Phí

Máy tính phân phối nhị thức là gì?

Máy tính phân phối nhị thức tìm xác suất đạt được đúng số lần thành công trong một số lần thử độc lập cố định, khi mỗi lần thử có cùng xác suất thành công. Công cụ này được dùng trong thống kê, kiểm soát chất lượng, y học và mọi lĩnh vực nghiên cứu các sự kiện lặp lại chỉ có hai khả năng có hoặc không.

Ý tưởng nền tảng là phân phối nhị thức, một mô hình xác suất dùng để đếm số lần thành công trong các lần thử lặp lại, mỗi lần chỉ có hai kết quả, thường được gọi là thành công và thất bại.

Công thức phân phối nhị thức

Xác suất đạt đúng k lần thành công trong n lần thử là:

$P(X = k) = \binom{n}{k} \, p^k (1-p)^{n-k}$

Mỗi ký hiệu có nghĩa là:

• n — số lần thử.
• k — số lần thành công cần tính xác suất.
• p — xác suất thành công trong một lần thử, là một số nằm giữa 0 và 1.
• $\binom{n}{k}$ — hệ số nhị thức, tức số cách khác nhau để chọn k lần thành công trong n lần thử. Giá trị này bằng $\frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Mỗi lần thử phải độc lập, nghĩa là kết quả của một lần thử không làm thay đổi xác suất của lần khác, và xác suất thành công p phải giữ nguyên trong tất cả các lần thử. Một lần thử duy nhất có hai kết quả có thể xảy ra, chẳng hạn một lần tung đồng xu, được gọi là phép thử Bernoulli. Phân phối nhị thức là kết quả thu được khi cộng n phép thử Bernoulli.

Cách tính xác suất nhị thức

1. Ghi lại n, k và p.
2. Tính hệ số nhị thức $\binom{n}{k}$, tức số cách sắp xếp k lần thành công trong n lần thử.
3. Nâng p lên lũy thừa k.
4. Nâng (1 − p) lên lũy thừa (n − k).
5. Nhân ba số đo với nhau.

Máy tính trên trang này tự động thực hiện các bước đó. Nhập n, p và k; máy sẽ trả về P(X = k) cùng biểu đồ cột thể hiện xác suất của mọi kết quả có thể xảy ra, từ 0 đến n lần thành công.

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: tung đồng xu

Tung một đồng xu cân bằng 10 lần. Xác suất xuất hiện đúng 3 mặt ngửa là bao nhiêu?

• n = 10, p = 0,5, k = 3
• $\binom{10}{3} = 120$
• $0.5^3 = 0.125$
• $0.5^{7} = 0.0078125$
• Kết quả: 120 × 0,125 × 0,0078125 ≈ 0,1172, tức khoảng 11,72%

Ví dụ 2: kiểm soát chất lượng

Một nhà máy kiểm tra 100 sản phẩm. Mỗi sản phẩm có xác suất 2% bị lỗi. Xác suất không có sản phẩm nào trong 100 sản phẩm bị lỗi là bao nhiêu?

• n = 100, p = 0,02, k = 0
• Vì k = 0, công thức được rút gọn thành $(1-p)^n = 0.98^{100}$
• Kết quả: ≈ 0,1326, tức khoảng 13,26%

Ví dụ 3: xét nghiệm bệnh

Một thành phố xét nghiệm 1.000 người về một căn bệnh lây nhiễm cho 0,1% dân số (p = 0,001). Xác suất có đúng 5 người nhiễm bệnh trong số 1.000 người là bao nhiêu?

• n = 1000, p = 0,001, k = 5
• $\binom{1000}{5} = 8{,}250{,}291{,}250{,}200$
• $0.001^5 = 1 \times 10^{-15}$
• $0.999^{995} \approx 0.3695$
• Kết quả: 8.250.291.250.200 × 1e-15 × 0,3695 ≈ 0,00305, tức khoảng 0,30% (giá trị chính xác 0,0030488, tức 0,30488%)

Giá trị trung bình và phương sai

Đối với phân phối nhị thức có các tham số n và p:

• Giá trị trung bình (kỳ vọng): E(X) = np
• Phương sai: Var(X) = np(1 − p)
• Độ lệch chuẩn: σ = √[np(1 − p)]

Giá trị trung bình cho biết số lần thành công trung bình dự kiến qua nhiều lần lặp. Trong Ví dụ 1, giá trị trung bình là 10 × 0,5 = 5 mặt ngửa.

Máy tính chấp nhận những giá trị nào

• n phải là một số nguyên từ 1 trở lên. Giá trị thập phân được làm tròn đến số nguyên gần nhất của số lần thử, vì vậy 10,9 được tính là 11.
• p phải nằm giữa 0 và 1, bao gồm cả hai đầu mút.
• k phải là một số nguyên từ 0 trở lên và không được lớn hơn n. Có 8 lần thành công trong 5 lần thử là điều không thể, nên máy tính báo lỗi thay vì đưa ra một con số.

Nếu để trống bất kỳ ô nào, máy tính sẽ không hiển thị kết quả hay biểu đồ thay vì tự đoán một giá trị.

Khi nào áp dụng được phân phối nhị thức

Phân phối nhị thức chỉ phù hợp với một tình huống khi cả bốn điều kiện sau đều được đáp ứng:

1. Số lần thử, n, được xác định trước.
2. Mỗi lần thử chỉ có hai kết quả: thành công hoặc thất bại.
3. Xác suất thành công, p, giống nhau trong mọi lần thử.
4. Các lần thử độc lập với nhau.

Rút bài từ một bộ bài mà không hoàn lại làm mất điều kiện độc lập, vì việc lấy một lá bài làm thay đổi xác suất của lần rút tiếp theo. Trường hợp này cần dùng phân phối siêu bội.

Các phân phối liên quan

• Phân phối Poisson: được dùng để xấp xỉ phân phối nhị thức khi n lớn và p nhỏ, sao cho số lần thành công trung bình (np) vẫn ở mức vừa phải. Phân phối này thường dùng để mô hình hóa các sự kiện hiếm, chẳng hạn trường hợp mắc bệnh trong Ví dụ 3.
• Phân phối chuẩn: khi n lớn và p không quá gần 0 hoặc 1, phân phối nhị thức có dạng gần giống hình chuông và có thể được xấp xỉ bằng phân phối chuẩn với giá trị trung bình np và phương sai np(1 − p).
• Phân phối siêu bội: được dùng thay cho phân phối nhị thức khi lấy mẫu không hoàn lại từ một tổng thể hữu hạn.

Các câu hỏi thường gặp

Máy tính phân phối nhị thức làm gì?

Máy tính tính xác suất có đúng k lần thành công trong n lần thử độc lập, mỗi lần có xác suất thành công p, bằng công thức P(X = k) = C(n, k) × p^k × (1 − p)^(n − k).

Phân phối nhị thức khác phân phối chuẩn như thế nào?

Phân phối nhị thức là rời rạc, nghĩa là chỉ tạo ra số lần thành công nguyên. Phân phối chuẩn là liên tục. Với n lớn, phân phối nhị thức có thể được xấp xỉ bằng đường cong chuẩn có giá trị trung bình np và phương sai np(1 − p).

p có thể bằng 0 hoặc 1 không?

Có. Nếu p = 0, không lần thử nào có thể thành công, nên P(X = 0) = 1. Nếu p = 1, mọi lần thử đều thành công, nên P(X = n) = 1. Trong các trường hợp đó, mọi giá trị k khác có xác suất bằng 0.

Mối quan hệ giữa phân phối nhị thức và phân phối Bernoulli là gì?

Phân phối Bernoulli mô tả một lần thử duy nhất có hai kết quả (n = 1). Phân phối nhị thức là tổng của n phép thử Bernoulli độc lập, vì vậy phân phối Bernoulli chỉ là phân phối nhị thức với n = 1.

n có thể lớn đến mức nào trước khi máy tính trở nên không chính xác?

Máy tính hoạt động bằng phép tính số thực độ chính xác kép tiêu chuẩn. Nó nhân trực tiếp ba phần của công thức và chuyển sang dùng logarit khi hệ số nhị thức vượt quá số lớn nhất mà kiểu số thực kép có thể lưu trữ; điều này xảy ra gần n = 1.000 khi k gần n/2. Kết quả vẫn chính xác sau ngưỡng đó. Xác suất nhỏ hơn khoảng 1e-308 được báo là 0, vì kiểu số thực kép không thể lưu trữ giá trị đó.

Hệ số nhị thức được tính như thế nào?

Hệ số nhị thức C(n, k) đếm số cách chọn k phần tử từ n phần tử, không phụ thuộc vào thứ tự. Giá trị này bằng n! / (k! × (n − k)!). Máy tính xây dựng giá trị từng bước, nhân với một thừa số rồi chia cho thừa số kế tiếp, nên không cần lưu trữ một giai thừa đầy đủ. Với n rất lớn, máy tính thay vào đó cộng các logarit của những thừa số đó.

Tài liệu tham khảo

1. "Binomial Distribution." Wikipedia, Wikimedia Foundation. https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_distribution.
2. Ross, Sheldon M. Nhập môn các mô hình xác suất. Academic Press, 2014.
3. Johnson, Norman L., và cộng sự. Các phân phối rời rạc. Wiley Series in Probability and Statistics, 2005.