حاسبة القوس - حساب نصف القطر والمدى والارتفاع

ما حاسبة القوس؟

تحسب حاسبة القوس أبعاد القوس الدائري — نصف قطره وامتداده وارتفاعه — انطلاقًا من أي قيمتين منها. كما تحسب طول القوس ومساحة القوس. ويستخدمها المهندسون المعماريون والبنّاؤون والهواة لتخطيط المداخل والنوافذ والجسور والعناصر المنحنية في الحدائق.

أبعاد القوس الأساسية

القوس الدائري جزء مقطوع من حافة دائرة. وتصف خمسة قياسات شكله:

• نصف القطر: المسافة من مركز الدائرة إلى أي نقطة على منحنى القوس.
• الامتداد: المسافة الأفقية المستقيمة بين الطرفين السفليين للقوس، وتُسمى أيضًا العرض.
• الارتفاع: المسافة الرأسية من خط الارتكاز (الخط المستقيم الذي يصل بين الطرفين) إلى أعلى نقطة في القوس.
• طول القوس: المسافة على طول الخط المنحني للقوس، من أحد الطرفين إلى الطرف الآخر.
• مساحة القوس: مساحة المنطقة المنحنية المحصورة بين القوس وخط الارتكاز.

صيغ أبعاد القوس

تنطبق هذه الصيغ على القوس الدائري، أي القوس المأخوذ من جزء من دائرة واحدة. وفي معظم أقواس الأبواب والنوافذ والجسور لا يزيد الارتفاع على نصف القطر. وتتعامل الحاسبة أيضًا مع أقواس حدوة الحصان الأعلى، حيث يزيد الارتفاع على نصف القطر ولا يتجاوز ضعفه. وفي قوس حدوة الحصان يكون المنحنى أكبر من نصف دائرة، ولذلك تنعطف نهايتاه إلى الداخل.

صيغة الارتفاع (من نصف القطر والامتداد)

$\text{الارتفاع} = \text{نصف القطر} - \sqrt{\text{نصف القطر}^2 - \left(\frac{\text{الامتداد}}{2}\right)^2}$

تصح الصيغة عندما يكون نصف القطر والامتداد موجبين، وامتداد القوس ≤ 2 × نصف القطر. وتعطي هذه الصيغة القوس الأدنى من القوسين اللذين يلائمان نصف قطر وامتدادًا معطيين، ولذلك لا يزيد الارتفاع الذي تعيده على نصف القطر أبدًا. وتحسبها الحاسبة بصيغة معاد ترتيبها مكافئة، هي (الامتداد/2)² ÷ (نصف القطر + √(نصف القطر² − (الامتداد/2)²))، وتبقى دقيقة مع الأقواس المنبسطة جدًا.

صيغة نصف القطر (من الامتداد والارتفاع)

$\text{نصف القطر} = \frac{\text{الامتداد}^2}{8 \times \text{الارتفاع}} + \frac{\text{الارتفاع}}{2}$

صالحة عندما يكون الامتداد والارتفاع موجبين.

صيغة الامتداد (من نصف القطر والارتفاع)

$\text{الامتداد} = 2 \times \sqrt{2 \times \text{نصف القطر} \times \text{الارتفاع} - \text{الارتفاع}^2}$

تصح الصيغة عندما يكون نصف القطر والارتفاع موجبين، والارتفاع ≤ 2 × نصف القطر. وإذا زاد الارتفاع على نصف القطر نتج قوس حدوة الحصان. وإذا بلغ الارتفاع ضعف نصف القطر تمامًا أُغلقت الدائرة وصار الامتداد 0.

صيغة طول القوس

$\text{طول القوس} = \text{نصف القطر} \times \theta$

هنا θ (ثيتا) هي الزاوية المركزية، بالراديان، التي يرسمها منحنى القوس عند مركز الدائرة. وتجدها الحاسبة بدالة ظل الزاوية العكسي ذات الوسيطين atan2، التي تصلح لكل أشكال الأقواس، ومنها أقواس حدوة الحصان التي تزيد فيها θ على π:

$\theta = 2 \times \operatorname{atan2}\left(\frac{\text{الامتداد}}{2},\ \text{نصف القطر} - \text{الارتفاع}\right)$

عندما لا يزيد الارتفاع على نصف القطر، تعطي هذه الصيغة الزاوية نفسها التي تعطيها الصيغة الأبسط:

$\theta = 2 \times \arcsin\left(\frac{\text{الامتداد}}{2 \times \text{نصف القطر}}\right)$

صيغة مساحة القوس

$\text{مساحة القوس} = \frac{1}{2} \times \text{نصف القطر}^2 \times (\theta - \sin\theta)$

هذه هي مساحة القطاع الدائري، الشبيه بشريحة الفطيرة، مطروحًا منها المثلث المحصور بين نصفي القطر. وبعد كتابتها بالتفصيل تصبح مماثلة لما يلي:

$\text{مساحة القوس} = \frac{1}{2} \times \text{نصف القطر}^2 \times \theta - \frac{1}{2} \times \text{الامتداد} \times (\text{نصف القطر} - \text{الارتفاع})$

في قوس حدوة الحصان تكون قيمة نصف القطر − الارتفاع سالبة، ولذلك يُضاف حد المثلث بدلًا من أن يُطرح.

كيفية استخدام حاسبة القوس

توفر الحاسبة ثلاثة أوضاع، واحدًا لكل بُعد قد يكون مفقودًا.

حساب الارتفاع، عند معرفة نصف القطر والوتر: أدخل نصف القطر والوتر. وتُرجع الأداة الارتفاع وطول القوس ومساحة القوس.

حساب نصف القطر، عند معرفة الوتر والارتفاع: أدخل الوتر والارتفاع. وتُرجع الأداة نصف القطر وطول القوس ومساحة القوس.

حساب الوتر، عند معرفة نصف القطر والارتفاع: أدخل نصف القطر والارتفاع. وتُرجع الأداة الوتر وطول القوس ومساحة القوس.

ترفض الحاسبة المدخلات التي لا يمكن أن تكوّن قوسًا حقيقيًا. لا يمكن أن يتجاوز الوتر ضعف نصف القطر، ولا يمكن أن يتجاوز الارتفاع ضعف نصف القطر، ويجب أن يكون كل بُعد عددًا موجبًا. وتعرض رسالة خطأ عندما تخالف إحدى القيم هذه القواعد.

أمثلة محلولة

مثال 1: قوس مدخل

لقوس مدخل امتداد مقداره 36 بوصة (91.4 سم) وارتفاع مقداره 12 بوصة (30.5 سم).

نصف القطر = (36² ÷ (8 × 12)) + (12 ÷ 2) = (1296 ÷ 96) + 6 = 13.5 + 6 = 19.5 بوصة (49.5 سم)

θ = 2 × arcsin(18 ÷ 19.5) = 2 × arcsin(0.9231) = 2 × 1.176 = 2.352 راديان

طول القوس = 19.5 × 2.352 = 45.86 بوصة (116 سم)

مساحة القوس = (0.5 × 19.5² × 2.352) − (0.5 × 36 × (19.5 − 12)) = 447.18 − 135 = 312.18 بوصة مربعة (2,010 cm²)

مثال 2: قوس حديقة

لقوس حديقة نصف قطر مقداره 4 أقدام (1.2 متر) وامتداد مقداره 6 أقدام (1.8 متر).

الارتفاع = 4 − √(4² − (6 ÷ 2)²) = 4 − √(16 − 9) = 4 − 2.6458 = 1.35 قدم (0.411 متر)

θ = 2 × arcsin(3 ÷ 4) = 2 × arcsin(0.75) = 2 × 0.848 = 1.696 راديان

طول القوس = 4 × 1.696 = 6.78 قدم (2.07 متر)

مساحة القوس = (0.5 × 4² × 1.696) − (0.5 × 6 × (4 − 1.3542)) = 13.57 − 7.94 = 5.63 قدم مربعة (0.523 m²)

مثال 3: قوس جسر

لقوس جسر امتداد مقداره 50 قدمًا (15 متر) وارتفاع مقداره 15 قدمًا (4.57 متر).

نصف القطر = (50² ÷ (8 × 15)) + (15 ÷ 2) = (2500 ÷ 120) + 7.5 = 20.83 + 7.5 = 28.33 قدمًا (8.63 متر)

θ = 2 × arcsin(25 ÷ 28.33) = 2 × arcsin(0.8824) = 2 × 1.081 = 2.162 راديان

طول القوس = 28.33 × 2.162 = 61.25 قدمًا (18.7 متر)

مساحة القوس = (0.5 × 28.33² × 2.162) − (0.5 × 50 × (28.33 − 15)) = 867.67 − 333.33 = 534.34 قدم مربعة (49.6 m²)

المثال 4: قوس حدوة الحصان

قوس حدوة حصان زخرفي نصف قطره 10 بوصات (25 سم) وارتفاعه 15 بوصة (38.1 سم). الارتفاع أكبر من نصف القطر، فالمنحنى أكبر من نصف دائرة.

الامتداد = 2 × √(2 × 10 × 15 − 15²) = 2 × √(300 − 225) = 2 × √75 = 17.32 بوصة (44 سم)

θ = 2 × atan2(8.66, 10 − 15) = 2 × atan2(8.66, −5) = 4.189 راديان (240°)

طول القوس = 10 × 4.189 = 41.89 بوصة (106 سم)

مساحة القوس = 0.5 × 10² × (4.189 − sin 4.189) = 50 × (4.1888 + 0.8660) = 50 × 5.0548 = 252.74 بوصة مربعة (1,630 cm²)

الاستخدامات الشائعة لحسابات الأقواس

يستخدم البنّاؤون أبعاد القوس لقص قوالب الأقواس الخرسانية، وتخطيط قوالب الطوب أو الحجر للأقواس المبنية، والتخطيط لانحناء الأسقف المقببة. ويستخدم مصممو الجسور الامتداد والارتفاع ونصف القطر لموازنة توزيع الأحمال مع الخلوص. وتعتمد أعمال الترميم على الصيغ نفسها لمطابقة الهندسة الدقيقة لقوس تاريخي عند إصلاحه أو إعادة بنائه. ويستخدم البستانيون والبنّاؤون الهواة هذه الحسابات في التعريشات المقوسة والبوابات والفتحات الزخرفية.

تغطي هذه الحاسبة الأقواس الدائرية فقط، أي الأقواس المتشكلة من قوس دائرة واحدة. أما الأقواس الإهليلجية والمكافئة والقوطية المدببة وسلسلية الشكل فتتبع منحنيات مختلفة وتحتاج إلى صيغ مختلفة.

نبذة قصيرة عن تاريخ القوس

استخدم البنّاؤون في بلاد الرافدين القديمة أشكالًا مبكرة شبيهة بالأقواس منذ 2500 قبل الميلاد، مع أن معظمها بُني بطريقة التدعيم المتدرج — برصّ الحجارة بحيث تتجاوز كل طبقة الطبقة التي تحتها — بدلًا من بناء قوس منحني حقيقي. وطوّر الرومان القوس نصف الدائري إلى طريقة بناء قياسية، واستخدموه في القنوات المائية والجسور ومبانٍ مثل الكولوسيوم. وطوّر البنّاؤون في أوروبا خلال العصور الوسطى القوس القوطي المدبب، الذي أتاح لهم بناء منشآت أطول وأخف. وعاد المعماريون لاحقًا إلى الأشكال نصف الدائرية القائمة على نسب دقيقة، وتتيح المواد الحديثة مثل الفولاذ والخرسانة المسلحة للأقواس الآن اجتياز مسافات أكبر بكثير.

الأسئلة الشائعة

ما الفرق بين الارتفاع والعلو في القوس؟

الارتفاع هو المسافة الرأسية من خط الارتكاز إلى أعلى نقطة في منحنى القوس. أما العلو فيشير أحيانًا إلى الارتفاع الإجمالي للفتحة، بما في ذلك أي جدار مستقيم أسفل خط الارتكاز.

هل تعمل هذه الحاسبة مع جميع أنواع الأقواس؟

لا. فهي تعمل فقط مع الأقواس الدائرية، أي التي تكون على شكل جزء من دائرة. أما الأقواس الإهليلجية والمكافئة والمُدببة وسلسلية الشكل فتتبع منحنيات مختلفة وتحتاج إلى صيغ منفصلة.

ما العلاقة بين الامتداد ونصف القطر في القوس نصف الدائري؟

في القوس نصف الدائري، يساوي نصف القطر نصف الامتداد، ويساوي الارتفاع نصف القطر. ويشكّل القوس نصف دائرة تمامًا.

لماذا لا يمكن أن يكون الامتداد أكبر من ضعف نصف القطر؟

الامتداد الذي يساوي ضعف نصف القطر ينتج بالفعل نصف دائرة، وهو أعرض قوس ممكن لذلك نصف القطر. أما الامتداد الأعرض فلن يتسع على الدائرة إطلاقًا.

هل يمكن أن يزيد الارتفاع على نصف القطر؟

نعم. إذا كان الارتفاع بين نصف القطر وضعفه نتج قوس حدوة حصان، وهو أكبر من نصف دائرة. ولا يمكن أن يتجاوز الارتفاع ضعف نصف القطر، لأنه الارتفاع الكامل للدائرة. وفي وضع حساب الارتفاع تعيد الأداة دائمًا القوس الأدنى، ولذلك لا يزيد ارتفاعه على نصف القطر أبدًا.

ما الوحدات التي تستخدمها الحاسبة؟

تصلح أي وحدة متسقة — البوصات أو الأقدام أو الأمتار أو السنتيمترات. أدخل كل قيمة بالوحدة نفسها، وستكون النتائج بالوحدة نفسها، بينما تكون المساحة بهذه الوحدة المربعة.