حاسبة القوس - حساب نصف القطر والمدى والارتفاع

ما حاسبة القوس؟

تحسب حاسبة القوس أبعاد القوس الدائري — نصف قطره وامتداده وارتفاعه — انطلاقًا من أي قيمتين منها. كما تحسب طول القوس ومساحة القوس. ويستخدمها المهندسون المعماريون والبنّاؤون والهواة لتخطيط المداخل والنوافذ والجسور والعناصر المنحنية في الحدائق.

أبعاد القوس الأساسية

القوس الدائري جزء مقطوع من حافة دائرة. وتصف خمسة قياسات شكله:

• نصف القطر: المسافة من مركز الدائرة إلى أي نقطة على منحنى القوس.
• الامتداد: المسافة الأفقية المستقيمة بين الطرفين السفليين للقوس، وتُسمى أيضًا العرض.
• الارتفاع: المسافة الرأسية من خط الارتكاز (الخط المستقيم الذي يصل بين الطرفين) إلى أعلى نقطة في القوس.
• طول القوس: المسافة على طول الخط المنحني للقوس، من أحد الطرفين إلى الطرف الآخر.
• مساحة القوس: مساحة المنطقة المنحنية المحصورة بين القوس وخط الانطلاق.

صيغ أبعاد القوس

تنطبق هذه الصيغ على القوس الدائري، أي القوس المبني من جزء من دائرة واحدة. وهي صالحة لأي ارتفاع يصل إلى ضعف نصف القطر. ويغطي هذا النطاق أقواس المداخل والنوافذ والجسور التي يحسبها معظم الناس، كما يشمل أقواس حدوة الحصان، حيث يستمر المنحنى بعد نصف الدائرة.

صيغة الارتفاع (من نصف القطر والامتداد)

$\text{الارتفاع} = \text{نصف القطر} - \sqrt{\text{نصف القطر}^2 - \left(\frac{\text{البحر}}{2}\right)^2}$

صالحة عندما يكون نصف القطر والوتر موجبين، وعندما يكون الوتر ≤ 2 × نصف القطر.

صيغة نصف القطر (من الوتر والارتفاع)

$\text{نصف القطر} = \frac{\text{البحر}^2}{8 \times \text{الارتفاع}} + \frac{\text{الارتفاع}}{2}$

صالحة عندما يكون الوتر والارتفاع موجبين.

صيغة الوتر (من نصف القطر والارتفاع)

$\text{البحر} = 2 \times \sqrt{2 \times \text{نصف القطر} \times \text{الارتفاع} - \text{الارتفاع}^2}$

صالحة عندما يكون نصف القطر والارتفاع موجبين، وعندما يكون الارتفاع ≤ 2 × نصف القطر.

صيغة طول القوس

$\text{طول القوس} = \text{نصف القطر} \times \theta$

هنا θ (ثيتا) هي الزاوية المركزية، بوحدة الراديان، التي يرسمها منحنى القوس عند مركز الدائرة. عندما لا يزيد الارتفاع على نصف القطر، يكون القوس نصف دائرة على الأكثر، وتكون θ:

$\theta = 2 \times \arcsin\left(\frac{\text{الوتر}}{2 \times \text{نصف القطر}}\right)$

عندما يكون الارتفاع أكبر من نصف القطر، يكون القوس أكبر من نصف دائرة، وتكون θ بقية المسار حول الدائرة:

$\theta = 2\pi - 2 \times \arcsin\left(\frac{\text{الوتر}}{2 \times \text{نصف القطر}}\right)$

تغطي الحاسبة الحالتين بخطوة واحدة، θ = 2 × atan2(الوتر ÷ 2، نصف القطر − الارتفاع)، وتظل هذه الصيغة دقيقة أيضًا عند نصف الدائرة.

صيغة مساحة القوس

$\text{مساحة القوس} = \frac{1}{2} \times \text{نصف القطر}^2 \times \theta - \frac{1}{2} \times \text{البحر} \times (\text{نصف القطر} - \text{الارتفاع})$

كيفية استخدام حاسبة القوس

توفر الحاسبة ثلاثة أوضاع، واحدًا لكل بُعد قد يكون مفقودًا.

حساب الارتفاع، عند معرفة نصف القطر والوتر: أدخل نصف القطر والوتر. وتُرجع الأداة الارتفاع وطول القوس ومساحة القوس.

حساب نصف القطر، عند معرفة الوتر والارتفاع: أدخل الوتر والارتفاع. وتُرجع الأداة نصف القطر وطول القوس ومساحة القوس.

حساب الوتر، عند معرفة نصف القطر والارتفاع: أدخل نصف القطر والارتفاع. وتُرجع الأداة الوتر وطول القوس ومساحة القوس.

ترفض الحاسبة المدخلات التي لا يمكن أن تكوّن قوسًا حقيقيًا. لا يمكن أن يتجاوز الوتر ضعف نصف القطر، ولا يمكن أن يتجاوز الارتفاع ضعف نصف القطر، ويجب أن يكون كل بُعد عددًا موجبًا. وتعرض رسالة خطأ عندما تخالف إحدى القيم هذه القواعد.

مثال محلول

مثال 1: قوس مدخل

لقوس مدخل وتر مقداره 36 بوصة (91.4 سم) وارتفاع مقداره 12 بوصة (30.5 سم).

نصف القطر = (36² ÷ (8 × 12)) + (12 ÷ 2) = (1296 ÷ 96) + 6 = 13.5 + 6 = 19.5 بوصة (49.5 سم)

θ = 2 × arcsin(18 ÷ 19.5) = 2 × arcsin(0.9231) = 2 × 1.176 = 2.352 راديان

طول القوس = 19.5 × 2.352 = 45.86 بوصة (116 سم)

مساحة القوس = (0.5 × 19.5² × 2.352) − (0.5 × 36 × (19.5 − 12)) = 447.18 − 135 = 312.18 بوصة مربعة (2,010 cm²)

مثال 2: قوس حديقة

لقوس حديقة نصف قطر مقداره 4 أقدام (1.2 متر) ووتر مقداره 6 أقدام (1.8 متر).

الارتفاع = 4 − √(4² − (6 ÷ 2)²) = 4 − √(16 − 9) = 4 − 2.6458 = 1.35 قدم (0.411 متر)

θ = 2 × arcsin(3 ÷ 4) = 2 × arcsin(0.75) = 2 × 0.848 = 1.696 راديان

طول القوس = 4 × 1.696 = 6.78 قدم (2.07 متر)

مساحة القوس = (0.5 × 4² × 1.696) − (0.5 × 6 × (4 − 1.3542)) = 13.57 − 7.94 = 5.63 قدم مربعة (0.523 m²)

مثال 3: قوس جسر

لقوس جسر وتر مقداره 50 قدمًا (15 متر) وارتفاع مقداره 15 قدمًا (4.57 متر).

نصف القطر = (50² ÷ (8 × 15)) + (15 ÷ 2) = (2500 ÷ 120) + 7.5 = 20.83 + 7.5 = 28.33 قدمًا (8.63 متر)

θ = 2 × arcsin(25 ÷ 28.33) = 2 × arcsin(0.8824) = 2 × 1.081 = 2.162 راديان

طول القوس = 28.33 × 2.162 = 61.25 قدمًا (18.7 متر)

مساحة القوس = (0.5 × 28.33² × 2.162) − (0.5 × 50 × (28.33 − 15)) = 867.67 − 333.33 = 534.34 قدم مربعة (49.6 m²)

الاستخدامات الشائعة لحسابات الأقواس

يستخدم البنّاؤون أبعاد القوس لقص قوالب الأقواس الخرسانية، وتخطيط قوالب الطوب أو الحجر للأقواس المبنية، والتخطيط لانحناء الأسقف المقببة. ويستخدم مصممو الجسور الوتر والارتفاع ونصف القطر لموازنة توزيع الأحمال مع الخلوص. وتعتمد أعمال الترميم على الصيغ نفسها لمطابقة الهندسة الدقيقة لقوس تاريخي عند إصلاحه أو إعادة بنائه. ويستخدم البستانيون والبنّاؤون الهواة هذه الحسابات في التعريشات المقوسة والبوابات والفتحات الزخرفية.

تغطي هذه الحاسبة الأقواس الدائرية فقط، أي الأقواس المتشكلة من قوس دائرة واحدة. أما الأقواس الإهليلجية والمكافئية والقوطية المدببة وسلسلية الشكل فتتبع منحنيات مختلفة وتحتاج إلى صيغ مختلفة.

نبذة قصيرة عن تاريخ القوس

استخدم البنّاؤون في بلاد الرافدين القديمة أشكالًا مبكرة شبيهة بالأقواس منذ 2500 قبل الميلاد، مع أن معظمها بُني بطريقة التدعيم المتدرج — برصّ الحجارة بحيث تتجاوز كل طبقة الطبقة التي تحتها — بدلًا من بناء قوس منحني حقيقي. وطوّر الرومان القوس نصف الدائري إلى طريقة بناء قياسية، واستخدموه في القنوات المائية والجسور ومبانٍ مثل الكولوسيوم. وطوّر البنّاؤون في أوروبا خلال العصور الوسطى القوس القوطي المدبب، الذي أتاح لهم بناء منشآت أطول وأخف. وعاد المعماريون لاحقًا إلى الأشكال نصف الدائرية القائمة على نسب دقيقة، وتتيح المواد الحديثة مثل الفولاذ والخرسانة المسلحة للأقواس الآن اجتياز مسافات أكبر بكثير.

الأسئلة الشائعة

ما الفرق بين الارتفاع والعلو في القوس؟

الارتفاع هو المسافة الرأسية من خط الانطلاق إلى أعلى نقطة في منحنى القوس. أما العلو فيشير أحيانًا إلى الارتفاع الإجمالي للفتحة، بما في ذلك أي جدار مستقيم أسفل خط الانطلاق.

هل تعمل هذه الحاسبة مع جميع أنواع الأقواس؟

لا. فهي تعمل فقط مع الأقواس الدائرية، أي التي تكون على شكل جزء من دائرة. أما الأقواس الإهليلجية والقطعية والمُدببة وسلاسلية الشكل فتتبع منحنيات مختلفة وتحتاج إلى صيغ منفصلة.

ما العلاقة بين الامتداد ونصف القطر في القوس نصف الدائري؟

في القوس نصف الدائري، يساوي نصف القطر نصف الامتداد، ويساوي الارتفاع نصف القطر. ويشكّل القوس نصف دائرة تمامًا.

لماذا لا يمكن أن يكون الامتداد أكبر من ضعف نصف القطر؟

الوتر الذي يساوي ضعف نصف القطر ينتج بالفعل نصف دائرة، وهو أعرض قوس ممكن لذلك نصف القطر. أما الوتر الأعرض فلن يتسع على الدائرة إطلاقًا.

لماذا لا يمكن أن يكون الارتفاع أكبر من ضعف نصف القطر (في وضع حساب الامتداد)؟

يُقاس الارتفاع من خط الانطلاق إلى أعلى نقطة في القوس على الدائرة نفسها. ضعف نصف القطر هو الارتفاع الكامل لتلك الدائرة، ولذلك فإن ارتفاعًا أكبر سيضع قمة القوس خارج الدائرة تمامًا. ولا مشكلة في أن يتراوح الارتفاع بين نصف القطر وضعفه. عندئذ يكون القوس أكبر من نصف دائرة، وهو الشكل المستخدم في أقواس حدوة الحصان.

ما الوحدات التي تستخدمها الحاسبة؟

تصلح أي وحدة متسقة — البوصات أو الأقدام أو الأمتار أو السنتيمترات. أدخل كل قيمة بالوحدة نفسها، وستكون النتائج بالوحدة نفسها، بينما تكون المساحة بهذه الوحدة المربعة.