حاسبة الأعداد الأولية النسبية

الأعداد الأولية النسبية هي عددان صحيحان أو أكثر، قاسمهما المشترك الموجب الوحيد هو 1. تتحقق هذه الحاسبة مما إذا كانت الأعداد التي تدخلها أولية نسبيًا، عن طريق إيجاد القاسم المشترك الأكبر (GCD) لها. إذا كان القاسم المشترك الأكبر يساوي 1، فإن الأعداد أولية نسبيًا.

تُسمى الأعداد الأولية النسبية أيضًا أعدادًا أولية نسبيًا أو أعدادًا أولية متبادلة.

ماذا يعني أولي نسبيًا؟

يكون عددان صحيحان أوليين نسبيًا عندما لا يقسمهما أي عدد صحيح أكبر من 1. لا يشترط أن يكون العددان نفسهما أوليين. على سبيل المثال، العددان 8 و15 أوليان نسبيًا: قواسم 8 هي 1 و2 و4 و8، بينما قواسم 15 هي 1 و3 و5 و15. القاسم المشترك الوحيد بينهما هو 1، لذا فهما أوليان نسبيًا.

في المقابل، العددان 12 و18 ليسا أوليين نسبيًا. يمكن قسمة كليهما على 2 و3 و6، لذا فإن قاسمهما المشترك الأكبر هو 6.

كيفية التحقق مما إذا كانت الأعداد أولية نسبيًا

1. أوجد القاسم المشترك الأكبر (GCD) لجميع الأعداد. القاسم المشترك الأكبر هو أكبر عدد صحيح يقسم كل عدد دون باقٍ.
2. قارن القاسم المشترك الأكبر بـ 1. إذا كان القاسم المشترك الأكبر يساوي 1، فإن الأعداد أولية نسبيًا. إذا كان أكبر من 1، فليست كذلك.

يُوجد القاسم المشترك الأكبر لمجموعة من الأعداد بتطبيق خوارزمية إقليدس على عددين في كل مرة: القاسم المشترك الأكبر لثلاثة أعداد a وb وc هو GCD(GCD(a, b), c).

صيغة الأولية النسبية

تكون الأعداد a₁، a₂، …، aₙ أولية نسبيًا عندما:

GCD(a₁, a₂, …, aₙ) = 1

مثال

تحقق مما إذا كانت الأعداد 6 و10 و15 أولية نسبيًا.

• GCD(6, 10) = 2
• GCD(2, 15) = 1

القاسم المشترك الأكبر للأعداد الثلاثة جميعًا هو 1، لذا فإن 6 و10 و15 أولية نسبيًا كمجموعة.

لاحظ أن هذه الأعداد الثلاثة ليست أولية نسبيًا زوجيًا. يشترك 6 و10 في العامل 2، ويشترك 6 و15 في العامل 3، ويشترك 10 و15 في العامل 5. الأولية النسبية كمجموعة (القاسم المشترك الأكبر لجميع الأعداد معًا يساوي 1) شرط أضعف من الأولية النسبية الزوجية (القاسم المشترك الأكبر لكل زوج يساوي 1). تعرض هذه الحاسبة كلا النتيجتين.

الأولية النسبية الزوجية مقابل الأولية النسبية كمجموعة

تكون مجموعة من الأعداد أولية نسبيًا كمجموعة عندما يكون القاسم المشترك الأكبر للمجموعة كلها يساوي 1. وتكون أولية نسبيًا زوجيًا عندما يكون لكل زوج ممكن داخل المجموعة قاسم مشترك أكبر يساوي 1. الأعداد الأولية نسبيًا زوجيًا تكون دائمًا أولية نسبيًا كمجموعة، لكن العكس ليس صحيحًا دائمًا، كما يوضح المثال أعلاه.

أسئلة شائعة

هل العدد 1 أولي نسبيًا مع أي عدد؟

نعم. لا يشترك العدد 1 في أي عامل أكبر من 1 مع أي عدد صحيح، لذا فإن 1 أولي نسبيًا مع كل عدد صحيح، بما في ذلك نفسه.

هل يجب أن تكون الأعداد الأولية النسبية أعدادًا أولية؟

لا. يمكن أن تكون الأعداد الأولية النسبية أعدادًا مركبة. العددان 8 و15 كلاهما عددان مركبان، ومع ذلك هما أوليان نسبيًا لأنهما لا يشتركان في أي عامل مشترك سوى 1.

هل يكون عددان أوليان مختلفان أوليين نسبيًا دائمًا؟

نعم. لا يشترك عددان أوليان مختلفان في أي عامل مشترك سوى 1، لذا فإن أي عددين أوليين مختلفين يكونان أوليين نسبيًا.

هل يمكن أن تكون الأعداد السالبة أولية نسبيًا؟

تُعرَّف الأولية النسبية عادةً للأعداد الصحيحة الموجبة. تقبل هذه الحاسبة أعدادًا صحيحة موجبة من 1 فأكثر.

ما الفرق بين القاسم المشترك الأكبر والأولية النسبية؟

القاسم المشترك الأكبر هو أكبر عدد يقسم جميع المدخلات. أما "أولي نسبيًا" فهي الحالة الخاصة التي يكون فيها هذا القاسم المشترك الأكبر يساوي 1.