حاسبة الأعداد الأولية النسبية

الأعداد الأولية فيما بينها هي عددان صحيحان أو أكثر لا قاسم موجبًا مشتركًا بينها سوى 1. تتحقق هذه الحاسبة مما إذا كانت الأعداد التي تدخلها أولية فيما بينها، وذلك بإيجاد القاسم المشترك الأكبر (GCD) لها. فإذا كان GCD يساوي 1، كانت الأعداد أولية فيما بينها.

تُسمى الأعداد الأولية فيما بينها أيضًا أعدادًا أولية نسبيًا أو أعدادًا متباينة أوليًا.

ما معنى أن تكون الأعداد أولية فيما بينها؟

يكون عددان صحيحان أوليين فيما بينهما عندما لا يقسمهما معًا أي عدد صحيح أكبر من 1. وليس من الضروري أن يكون العددان نفسهما أوليين. فعلى سبيل المثال، العددان 8 و15 أوليان فيما بينهما: عوامل 8 هي 1 و2 و4 و8، في حين أن عوامل 15 هي 1 و3 و5 و15. والعامل الوحيد المشترك بينهما هو 1، ولذلك فهما أوليان فيما بينهما.

وعلى النقيض من ذلك، فإن 12 و18 ليسا أوليين فيما بينهما. فكلاهما يقبل القسمة على 2 و3 و6، ولذلك فإن القاسم المشترك الأكبر لهما هو 6.

كيفية التحقق من كون الأعداد أولية فيما بينها

1. أوجد القاسم المشترك الأكبر (GCD) لجميع الأعداد. والقاسم المشترك الأكبر هو أكبر عدد صحيح يقسم كل عدد دون باقٍ.
2. قارن GCD بالعدد 1. فإذا كان GCD يساوي 1، كانت الأعداد أولية فيما بينها. وإذا كان GCD أكبر من 1، فلم تكن الأعداد أولية فيما بينها.

يُوجد القاسم المشترك الأكبر لمجموعة من الأعداد بتطبيق خوارزمية إقليدس على عددين في كل مرة: فالقاسم المشترك الأكبر لثلاثة أعداد a وb وc هو GCD(GCD(a, b), c).

صيغة الأعداد الأولية فيما بينها

تكون الأعداد a₁ وa₂ و… وaₙ أولية فيما بينها عندما:

GCD(a₁, a₂, …, aₙ) = 1

مثال تطبيقي

تحقق مما إذا كانت 6 و10 و15 أولية فيما بينها.

• GCD(6، 10) = 2
• GCD(2، 15) = 1

القاسم المشترك الأكبر للأعداد الثلاثة جميعها هو 1، ولذلك فإن 6 و10 و15 أولية فيما بينها بوصفها مجموعة.

لاحظ أن هذه الأعداد الثلاثة ليست أولية فيما بينها على أساس كل زوج. فالعددان 6 و10 يشتركان في العامل 2، والعددان 6 و15 يشتركان في العامل 3، والعددان 10 و15 يشتركان في العامل 5. وتُعد أولية المجموعة فيما بينها (أي إن القاسم المشترك الأكبر لجميع الأعداد معًا هو 1) شرطًا أضعف من كونها أولية فيما بينها على أساس كل زوج (أي إن القاسم المشترك الأكبر لكل زوج هو 1). وتعرض هذه الحاسبة الشرطين.

الأعداد الأولية فيما بينها على أساس كل زوج مقابل الأعداد الأولية فيما بينها كمجموعة

تكون مجموعة من الأعداد أولية فيما بينها كمجموعة عندما يكون القاسم المشترك الأكبر للمجموعة بأكملها هو 1. وتكون أولية فيما بينها على أساس كل زوج عندما يكون القاسم المشترك الأكبر لكل زوج ممكن داخل المجموعة هو 1. والأعداد الأولية فيما بينها على أساس كل زوج تكون دائمًا أولية فيما بينها كمجموعة، لكن العكس ليس صحيحًا دائمًا، كما يوضح المثال أعلاه.

الأسئلة الشائعة

هل يكون 1 وأي عدد آخر أوليين فيما بينهما؟

نعم. لا يشترك العدد 1 مع أي عدد صحيح في عامل أكبر من 1، ولذلك فإن 1 أولي فيما بينه وبين كل عدد صحيح، بما في ذلك نفسه.

هل يجب أن تكون الأعداد الأولية فيما بينها أعدادًا أولية؟

لا. يمكن أن تكون الأعداد الأولية فيما بينها أعدادًا مركبة. فالعددان 8 و15 مركبان، ومع ذلك فهما أوليان فيما بينهما لأنهما لا يشتركان في أي عامل سوى 1.

هل يكون أي عددين أوليين مختلفين أوليين فيما بينهما دائمًا؟

نعم. لا يشترك أي عددين أوليين مختلفين في أي عامل سوى 1، ولذلك فإن أي عددين أوليين مختلفين يكونان أوليين فيما بينهما.

هل يمكن أن تكون الأعداد السالبة أولية فيما بينها؟

يُعرَّف كون الأعداد أولية فيما بينها عادةً للأعداد الصحيحة الموجبة. وتقبل هذه الحاسبة الأعداد الصحيحة الموجبة التي تساوي 1 أو تزيد عليه.

ما الفرق بين القاسم المشترك الأكبر وكون الأعداد أولية فيما بينها؟

القاسم المشترك الأكبر هو أكبر عدد يقسم جميع القيم المُدخلة. أما «أولي فيما بينه» فهي الحالة المحددة التي يساوي فيها ذلك القاسم المشترك الأكبر 1.