تخطي إلى المحتوى
🛠️
Whiz Tools

الحاسبة العلمية: القوى والجذور واللوغاريتمات والمثلثات

حاسبة علمية عبر الإنترنت لحساب القوى والجذور واللوغاريتم وln، والجيب وجيب التمام والظل بالدرجات أو بالراديان، والمضروب والنسبة المئوية والذاكرة.

Scientific Calculator

Evaluates a typed or tapped expression with the usual order of operations, including powers, roots, logarithms, trigonometry and factorials.

Use + - * / for arithmetic, ^ for powers, ! for factorial and % for percent.

Type an expression or use the keypad to see a result.

Keypad

How this calculator reads an expression

Percent divides by 100 wherever it appears, so 100+10% is 100.1, not 110. Powers group from the right: 2^3^2 is 2^9, which is 512. A minus sign in front of a power is applied last, so -2^2 is -4. Two things written side by side are multiplied, and that multiplication ranks with division, so both are read left to right: 1/2pi means (1/2) times pi, and 6/2(1+2) is 9. Some scientific calculators read 1/2pi the other way, as 1/(2 times pi), so use brackets when the meaning matters. In Degrees mode the tangent is refused at 90 degrees and every odd multiple of it, because it has no value there.

History

No calculations yet. Press = to add one.

حاسبة التحميل...
📚

التوثيق

الحاسبة العلمية

تحسب الحاسبة العلمية قيمة تعبير رياضي مكتوب. وتقرأ هذه الحاسبة القوى والجذور واللوغاريتمات وحساب المثلثات والمضروب والنسب المئوية، وتطبّق الترتيب القياسي للعمليات، ثم تعرض إجابة واحدة.

ما الذي يفعله الحاسِب

يُكتب التعبير في مربع التعبير أو يُنشأ باستخدام لوحة المفاتيح. وتقرأه الحاسبة فور تغيّره، لذلك لا يلزم الضغط على مفتاح يساوي لرؤية الإجابة. أما مفتاح = فيضيف العملية الحسابية إلى قائمة السجل.

وهي تقبل:

  • الأرقام، والفاصلة العشرية، والأعداد بصيغة الأس، مثل 1.5e-3؛
  • العوامل + و- و* و/ و^ (القوة)، إضافة إلى الأقواس؛
  • الثابتين pi وe؛
  • الدوال sin وcos وtan وasin وacos وatan وlog وln وsqrt وcbrt؛
  • علامتي ما بعد التعبير ! (المضروب) و% (النسبة المئوية).

تُترجم رموز لوحة المفاتيح إلى مكافئاتها النصية البسيطة، لذلك تعني × و÷ و− وπ الشيء نفسه الذي تعنيه * و/ و- وpi.

إن log هو اللوغاريتم للأساس 10، وln هو اللوغاريتم الطبيعي، أساسه e. وهذا هو الترميز المستخدم في الحاسبات العلمية من TI وCasio، وكذلك التسمية الواردة في المكتبة الرقمية الوطنية الأمريكية للدوال الرياضية التابعة لـNIST، القسم 4.2.

ترتيب العمليات

القاعدة التي تحدد معنى التعبير هي ترتيب العمليات. تستخدم هذه الحاسبة القواعد النحوية أدناه. يستدعي كل سطر السطر الذي يليه، ولذلك يوضّح التداخل جدول الأولوية: يرتبط السطر الأخير بأكبر قوة ويُحسب أولًا.

1expression := term (('+' | '-') term)*
2term       := unary (('*' | '/' | juxtaposition) unary)*
3unary      := ('-' | '+') unary | power
4power      := postfix ('^' unary)?
5postfix    := primary ('!' | '%')*
6primary    := number | constant | name '(' expression ')' | '(' expression ')'
7

بصيغة قائمة، من أول ما يُحسب إلى آخره:

  1. كل ما يوجد داخل الأقواس، وأي دالة مطبقة على الأقواس؛
  2. ! و%؛
  3. ^؛
  4. إشارة - أو + في بداية التعبير؛
  5. * و/، وأي عنصرين مكتوبين متجاورين؛
  6. + و-.

تتطابق الاصطلاحات الناتجة عن ذلك مع المواصفة ISO 80000-2:2019 ومع مقالة «ترتيب العمليات» في ويكيبيديا:

المكتوبيُقرأ على أنهالقيمة
2^3^22^(3^2)512
-2^2-(2^2)-4
2^-22^(-2)0.25
2^3!2^(3!)64
100+10%100 + (10/100)100.1
1/2pi(1/2) * pi1.57079632679
6/2(1+2)(6/2) * (1+2)9

يُضرب العددان أو الاسمان المكتوبان متجاورين، وهذا ما يجعل 2pi و2(3+4) و3sin(30) تعمل. وتكون عملية الضرب الخفية هذه في المرتبة نفسها التي فيها * و/، لذلك تُقرأ المجاورة والقسمة من اليسار إلى اليمين. أما كثير من الحاسبات العلمية المحمولة فتعطي المجاورة أولوية أعلى من القسمة، وتقرأ 1/2pi على أنه 1/(2*pi)، فتنتج إجابة مختلفة. وتصف ويكيبيديا هذا الاختلاف في مقالة «طرائق إدخال الحاسبات». وتحسم الأقواس أي حالة يكون فيها الفرق مهمًا.

تقسم % على 100 أينما وردت. لذلك فإن 20% تساوي 0.2، و200*15% تساوي 30. وهي ليست مفتاح «النسبة المئوية من الإجمالي الجاري» في آلة صندوق المتجر، وليست عامل باقي القسمة.

مثال تطبيقي

يُحسب التعبير sin(30)+2^3*ln(4)، في وضع الدرجات، بالترتيب الآتي:

  1. إن sin(30) تساوي 0.5، لأن 30 درجة تساوي نصف الزاوية القائمة، وجيبها يساوي النصف.
  2. إن 2^3 تساوي 8. تُحسب القوى قبل الضرب.
  3. إن ln(4) تساوي 1.38629436112.
  4. إن 8 * 1.38629436112 تساوي 11.090354889.
  5. إن 0.5 + 11.090354889 تساوي 11.590354889.

تعرض الحاسبة 11.590354889.

يوضح المثال الثاني قاعدة الحساب من اليسار إلى اليمين. في 6/2(1+2) يُحسب ما داخل القوس أولًا، فنحصل على 6/2*3. ولأن القسمة والضرب الخفي في المرتبة نفسها، تُحسب القسمة أولًا: 6/2 تساوي 3، و3*3 تساوي 9.

الدرجات والراديان

يحدد إعداد وحدة الزاوية كيفية قراءة sin وcos وtan لمدخلاتها، والوحدة التي تُرجع بها asin وacos وatan نتائجها. في وضع الدرجات، تساوي الدورة الكاملة 360. وفي وضع الراديان، تساوي الدورة الكاملة 2pi، أي نحو 6.28318530718. وقد يعطي التعبير نفسه إجابتين مختلفتين جدًا في الوضعين: إذ إن sin(30) تساوي 0.5 في وضع الدرجات، و-0.988031624093 في وضع الراديان.

كيفية تخزين الأعداد وعرضها

كل قيمة هي عدد مزدوج ثنائي من نوع IEEE 754 binary64، وهو نوع الأعداد الموصوف في ECMA-262، مواصفة لغة ECMAScript، القسم 6.1.6.1. ويحتوي العدد المزدوج على نحو 15 إلى 17 رقمًا عشريًا. وتُقرّب الإجابة مرة واحدة، لأغراض الشاشة فقط، إلى 12 رقمًا ذا دلالة. وتُعرض القيم الأصغر من 0.000001 أو التي تساوي 1,000,000,000,000 أو تتجاوزها بصيغة الأس، لذلك يُقرأ 0.0000001 على أنه 1E-7.

يحتفظ العدد المخزّن بالدقة الكاملة. تخزّن الذاكرة النتيجة الدقيقة، لا الأرقام 12 الظاهرة على الشاشة، ويُلصق MR أقصر نص يُقرأ على أنه العدد نفسه. وتُلصق قيمة الذاكرة السالبة بين قوسين، لذلك تؤدي استعادتها بعد 2 إلى قراءة العملية كضرب لا كطرح.

لا يُستخدم التقريب قط لاتخاذ أي قرار. فالباقي الصغير الناتج عن حساب سابق عدد حقيقي ويُعامل على هذا الأساس. إن 0.1*3-0.3 لا تساوي صفرًا بالنظام الثنائي، بل تساوي نحو 5.55111512313E-17، ولذلك تعطي 5/(0.1*3-0.3) النتيجة 9.00719925474E16 بدلًا من رسالة القسمة على صفر.

للسبب نفسه، تعرض sin(180) في وضع الدرجات 1.22464679915E-16، لا 0. ويبلغ الخطأ هناك نحو جزء واحد من عشرة آلاف مليار مليار، ويظل بهذا الصغر. أما الظل فهو الاستثناء، ويُعالَج أدناه.

ما ترفضه الحاسبة

تعرض الحاسبة رسالة بدلًا من إجابة عندما:

  • يكون المقام صفرًا تمامًا، بما في ذلك العدد المكتوب الأصغر من أن يمثله العدد المزدوج، مثل 1e-400، إذ يصبح صفرًا بمجرد قراءته؛
  • تُعطى sqrt عددًا سالبًا؛
  • تُعطى log أو ln عددًا لا يزيد على الصفر؛
  • تُعطى asin أو acos عددًا خارج المجال من -1 إلى 1، وهو المجال المحدد في القسم 4.14 من NIST DLMF؛
  • تُستخدم tan عند 90 درجة، أو عند أي مضاعف فردي لها، حيث لا تكون لها قيمة؛
  • يُطلب مضروب أي شيء غير عدد صحيح من 0 إلى 170؛
  • يحتوي العدد على فاصلة عشرية ثانية، كما في 1.2.3؛
  • يزيد طول التعبير على 512 حرفًا.

إن حد 170 خاص بنوع العدد، وليس تفضيلًا: فمضروب 170 يساوي نحو 7.25741561531E306، وهو ما يزال ضمن مدى العدد المزدوج، في حين أن مضروب 171 يتجاوزه. ويُتحقق من حد 512 حرفًا في الشيفرة، لأن طول التعبير هو ما يحدد مقدار العمل الذي تنفذه الحاسبة.

يقرّب فحص الظل الزاوية إلى 9 منازل عشرية قبل اختبارها. وهذا يعيد الانحراف الناتج عن الحسابات السابقة إلى المقارب الدقيق، مقابل نافذة رفض يبلغ عرضها نحو 5e-10 درجة على كل جانب. تُرجع tan(89.9999999994) القيمة 95,493,592,025، بينما تُرفض tan(89.9999999995). ولا يُجرى هذا الفحص في وضع الراديان، لأن قيمة الراديان المدخلة قرب نصف pi ليست إلا عددًا آخر من دون وضع خاص.

الأسئلة الشائعة

ماذا يفعل مفتاح % هنا؟ إنه يقسم على 100 أينما ظهر. فالتعبير 100+10% يساوي 100.1، لأنه يعني 100 زائد 0.1. ولا يحسب نسبة مئوية من أي شيء سبقه.

هل 2^3^2 تساوي 64 أم 512؟ 512. تُجمع القوى من اليمين، ولذلك يعني التعبير 2^(3^2)، وهو يساوي 2^9. وهذا متوافق مع المواصفة ISO 80000-2:2019.

لماذا تساوي 6/2(1+2) 9 لا 1؟ للضرب الخفي المرتبة نفسها التي للقسمة، وتُقرأ العمليات ذات المرتبة المتساوية من اليسار إلى اليمين. أما الحاسبات التي تعطي المجاورة أولوية أعلى فتعطي الإجابة 1. وتزيل الأقواس هذا الالتباس.

لماذا لا تعرض sin(180) القيمة 0؟ لأن 180 درجة تُحوّل أولًا إلى راديان، ولا يمكن كتابة pi بدقة في النظام الثنائي. وتبلغ الإجابة نحو 1.2e-16، وهي القيمة الحقيقية لجيب العدد الذي استخدمته الآلة فعلًا.

ما الفرق بين log وln؟ إن log أساسه 10، ولذلك فإن log(1000) تساوي 3. أما ln فأساسه e، ولذلك فإن ln(e) تساوي 1. وتتبع تسميات لوحة المفاتيح الاصطلاح نفسه المستخدم في الحاسبات العلمية من TI وCasio.

لماذا يُرفض المضروب الذي يتجاوز 170؟ مضروب 171 أكبر من أي عدد يمكن للعدد المزدوج تخزينه، ولذلك ستكون الإجابة ما لا نهاية بدلًا من عدد. وتعرض الحاسبة ذلك بدلًا من إظهار نتيجة بلا معنى.

المصادر

  • IEEE 754-2019، معيار IEEE للحساب بالفاصلة العائمة.
  • ECMA-262، مواصفة لغة ECMAScript، القسم 6.1.6.1، «نوع العدد».
  • ISO 80000-2:2019، الكميات والوحدات، الجزء 2: العلامات والرموز الرياضية.
  • المكتبة الرقمية الوطنية الأمريكية للدوال الرياضية التابعة لـNIST، القسمان 4.2 و4.14.
  • ويكيبيديا، «ترتيب العمليات».
  • ويكيبيديا، «طرائق إدخال الحاسبات».