حاسبة تردد نصف النغمة - تحويل طبقة الصوت بأنصاف النغمات والسنتات

ما حاسبة تردد أنصاف النغمات؟

تحوّل حاسبة تردد أنصاف النغمات بين الفواصل الموسيقية وترددات الصوت المقاسة بالهرتز (Hz). وتعمل في اتجاهين. إذ يمكنها أخذ تردد ابتدائي وتحريكه صعودًا أو هبوطًا بعدد محدد من أنصاف النغمات والسنتات، مع إظهار التردد الجديد والنغمة الموسيقية الأقرب. كما يمكنها أخذ ترددين وإظهار الفاصل بينهما بأنصاف النغمات والسنتات.

نصف النغمة هو أصغر فاصل في الموسيقى الغربية القياسية، أي المسافة بين مفتاحين متجاورين جدًا في البيانو، سواء كانا أسودين أو أبيضين. يحتوي الأوكتاف على 12 نصف نغمة. والسنت وحدة أصغر: جزء من مئة من نصف النغمة، ولذلك يضم الأوكتاف 1200 سنت. وتتيح السنتات للموسيقيين قياس فروق الطبقة الصوتية الأصغر من أن تُسمع كتغير واضح في النغمة، مثل الخروج الطفيف عن الضبط.

كيفية حساب تردد خطوة مقدارها نصف نغمة

تستخدم الحاسبة الضبط المتساوي، وهو الضبط القياسي للبيانو الحديث والغيتار ومعظم الآلات الغربية. وفي الضبط المتساوي يُقسّم الأوكتاف إلى 12 خطوة متساوية، لذلك يكون حجم كل نصف نغمة متماثلًا تمامًا.

لتحريك تردد ابتدائي $f_0$ إلى أعلى بمقدار $n$ نصف نغمة و$c$ سنت:

$f = f_0 \times 2^{(n + c/100)/12}$

ترفع القيمة الموجبة $n$ الطبقة الصوتية، بينما تخفضها القيمة السالبة $n$. وحقل السنتات إزاحة دقيقة؛ إذ تساوي 100 سنت نصف نغمة واحدة، ولذلك فإن إدخال 100 سنت يعطي التأثير نفسه لإضافة 1 إلى عدد أنصاف النغمات.

نسبة الضبط المتساوي

تضرب كل خطوة مقدارها نصف نغمة التردد في:

$r = 2^{1/12} \approx 1.059463$

يؤدي ضرب التردد في 1.059463 إلى رفعه بمقدار نصف نغمة واحدة. وعند إجراء ذلك 12 مرة يتضاعف التردد، وهو ما يعادل أوكتافًا واحدًا:

$(2^{1/12})^{12} = 2$

النغمة الأقرب

إلى جانب التردد، تسمي الحاسبة النغمة الأقرب في الضبط المتساوي، باستخدام A4 = 440 Hz مرجعًا. وتحول التردد إلى رقم نغمة MIDI، وتقرّبه إلى أقرب عدد صحيح، ثم تستخرج اسم النغمة والأوكتاف:

$m = \operatorname{round}\left(69 + 12 \times \log_2\left(\frac{f}{440}\right)\right)$

تستخدم أسماء النغمات تدوين الطبقة الصوتية العلمي، حيث يشير الرقم إلى الأوكتاف: فـ A4 هي نغمة لا المرجعية عند 440 Hz، وC4 هي دو الوسطى. وبما أن القيمة مقربة، فإن التردد الواقع بين نغمتين يُعرض على أنه النغمة الأقرب.

كيفية حساب أنصاف النغمات بين ترددين

يعمل النمط الثاني بالعلاقة نفسها ولكن في الاتجاه العكسي. وعدد أنصاف النغمات $n$ بين ترددين هو:

$n = 12 \times \log_2\left(\frac{f_2}{f_1}\right)$

هنا $f_1$ هو التردد الابتدائي بالهرتز و$f_2$ هو التردد النهائي. وبما أن نصف النغمة يساوي 100 سنت، فإن الصيغة بالسنتات تضرب النسبة نفسها في 1200:

$c = 1200 \times \log_2\left(\frac{f_2}{f_1}\right)$

تعني النتيجة الموجبة أن التردد الثاني أعلى من الأول، بينما تعني النتيجة السالبة أنه أدنى منه.

لماذا تستخدم الصيغة اللوغاريتم؟

تقيس حاسة السمع الطبقة الصوتية بنسبة التردد، لا بالفارق الخام بين الترددين بالهرتز. فمضاعفة التردد تبدو دائمًا قفزة متساوية، أي أوكتافًا واحدًا، بصرف النظر عن نقطة البداية.

• 110 Hz إلى 220 Hz يساوي أوكتافًا واحدًا (12 نصف نغمة)
• 220 Hz إلى 440 Hz يساوي أوكتافًا واحدًا (12 نصف نغمة)
• 440 Hz إلى 880 Hz يساوي أوكتافًا واحدًا (12 نصف نغمة)

لكل زوج فارق مختلف بالهرتز، لكن النسبة نفسها، ولذلك يلزم استخدام اللوغاريتم لتحويل تلك النسبة إلى مقياس ثابت وخطي لأنصاف النغمات.

كيفية استخدام الآلة الحاسبة

اختر نمط الحساب أولًا.

التردد انطلاقًا من أنصاف النغمات. أدخل التردد الأساسي بالهرتز، وعدد أنصاف النغمات المراد التحرك بها (استخدم قيمة سالبة للتحرك إلى الأسفل)، وإزاحة السنتات الاختيارية. تُرجع الحاسبة التردد الجديد بالهرتز والنغمة الأقرب.

الفاصل بين ترددين. أدخل ترددين بالهرتز. تُرجع الحاسبة الفاصل من التردد الأول إلى الثاني، بأنصاف النغمات والسنتات.

يجب أن يكون كل تردد مُدخل أكبر من الصفر. فالتردد الصفري أو السالب لا يمتلك طبقة صوتية، ولذلك تعرض الحاسبة خطأً بدلًا من نتيجة.

مثال محلول

رفع طبقة صوتية بمقدار أنصاف نغمات

يبلغ تردد دو الوسطى نحو 261.63 Hz. وعند رفعه بمقدار 7 أنصاف نغمات:

• التردد = 261.63 × 2^(7/12) ≈ 261.63 × 1.059463^7 ≈ 392.00 Hz.
• النغمة الأقرب: G4.

سبعة أنصاف نغمات تكوّن خامسة تامة، وهي من أكثر الفواصل شيوعًا في الموسيقى، ولذلك فإن صول فوق دو الوسطى هي الإجابة المتوقعة.

إضافة إزاحة بالسنتات

بدءًا من لا المرجعية عند 440 Hz، مع 0 نصف نغمة وإزاحة مقدارها 50 سنت:

• التردد = 440 × 2^(50/1200) ≈ 452.89 Hz.

خمسون سنتًا تساوي نصف نصف نغمة، أي ربع نغمة. وتقع في المنتصف بين A4 وA#4، ولذلك فإن قراءة النغمة الأقرب ليست إلا تقريبًا لطبقة صوتية كهذه.

قياس الفاصل بين ترددين مختلفين

عند إدخال النغمتين نفسيهما في النمط الثاني، بحيث يكون 261.63 Hz أولًا و392.00 Hz ثانيًا:

• أنصاف النغمات = 12 × log₂(392.00 / 261.63) ≈ 7.00.
• السنتات = 1200 × log₂(392.00 / 261.63) ≈ 699.99.

النتيجة أقل بجزء من السنت من 700 كامل، لأن 261.63 Hz و392.00 Hz قيمتان مقربتان بحد ذاتهما.

قياس خطأ صغير في الطبقة الصوتية

تفيد السنتات في قياس حالات عدم التطابق الصغيرة. لنفترض أن في غرفة رنينًا غير مرغوب فيه عند 147 Hz، وأن مهندسًا يعمل على مسار موسيقي يتمحور حول نغمة ري، التي يبلغ ترددها الأساسي القياسي 146.83 Hz.

• السنتات = 1200 × log₂(147 / 146.83) ≈ 2.00 سنت.

يقع الرنين أعلى من ري بنحو 2 سنت، وهي فجوة أصغر من أن يسمعها معظم المستمعين كطبقة صوتية مختلفة، لكنها قابلة للقياس ويجدر أخذها في الحسبان عند معالجة الصوتيات في الغرفة.

الفواصل الموسيقية الشائعة

يعرض الجدول أسماء الفواصل القياسية في الضبط المتساوي، مع حجمها بأنصاف النغمات والسنتات، ونسبة التردد، والطبقة الناتجة عند البدء من A440 (440 Hz).

تنطبق هذه الأرقام على الضبط المتساوي فقط. إذ تضع أنظمة الضبط الأخرى أسماء الفواصل نفسها عند ترددات مختلفة قليلًا.

أنظمة الضبط البديلة

الضبط المتساوي هو المعيار الحديث، لكنه ليس الطريقة الوحيدة لضبط الموسيقى، كما أنه لا يتوافق تمامًا مع فيزياء الصوت.

يبني الضبط الطبيعي الفواصل من نسب صحيحة بسيطة، مثل 3:2 للخامسة التامة أو 5:4 للثالثة الكبرى. وتبدو هذه النسب منسجمة تمامًا عند عزفها معًا، من دون خفقان مسموع، لكنها تختلف عن الضبط المتساوي بما يصل إلى نحو 16 سنتًا بحسب الفاصل. وتكون الثالثة الكبرى الطبيعية (5:4) أخفض بنحو 14 سنتًا من الثالثة الكبرى في الضبط المتساوي.

يبني الضبط الفيثاغوري السلم كاملًا من أخماس تامة متراكمة (النسبة 3:2). وتكون أخماسه نقية بلا خفقان، لكن أثلاثه الكبرى أعلى بنحو 8 سنتات من الأثلاث الكبرى في الضبط المتساوي. وبالمقارنة مع الثالثة الكبرى النقية 5:4 في الضبط الطبيعي، تكون الثالثة الفيثاغورية أعلى أيضًا، بفارق يقارب 22 سنتًا، وهي فجوة تُعرف باسم الفاصلة السينتونية. كان الضبط الفيثاغوري شائعًا في موسيقى العصور الوسطى وبدايات عصر النهضة.

يضيّق ضبط الميانتون الأخماس التامة قليلًا لكي تصبح الأثلاث الكبرى نقية. وقد استُخدم على نطاق واسع من عصر النهضة حتى بدايات عصر الباروك، ويلائم الموسيقى التي تبقى ضمن مجموعة صغيرة من المقامات المترابطة.

تقسّم الأنظمة الميكروطنية الأوكتاف إلى أكثر من 12 خطوة، ومن الخيارات الشائعة 19 أو 24 أو 31 أو 53 خطوة. وتظهر في الموسيقى التجريبية وبعض الموسيقى غير الغربية.

الاستخدامات العملية

• إنتاج الموسيقى: تغيير طبقة العينات، وضبط مذبذبات أجهزة المزج، والتحقق من توافق الأصوات المطبقة معًا.
• هندسة الصوت: ربط نطاقات المعادل أو رنين الغرفة بالنغمات الموسيقية، كما في مثال رنين الغرفة أعلاه.
• صناعة الآلات الموسيقية: يضع صانعو الغيتار الدساتين باستخدام الثابت 17.817، المشتق من $2^{1/12}$، بحيث يرفع كل دستان الطبقة بمقدار نصف نغمة. ويستخدم صانعو الأرغن وأجراس الأبراج الرياضيات نفسها لتخطيط أطوال الأنابيب وضبط الأجراس.
• البحث والتعليم: دراسة كيفية إدراك البشر للطبقة الصوتية، وتحليل أصوات الحيوانات، أو تعليم اللوغاريتمات وفيزياء الصوت.

الأسئلة الشائعة

كيف تحسب ترددًا يبعد عددًا من أنصاف النغمات؟

اضرب التردد الابتدائي في 2 مرفوعًا إلى قوة تساوي عدد أنصاف النغمات مقسومًا على 12: f = f₀ × 2^(n/12). ولإضافة إزاحة بالسنتات، أضف عدد السنتات مقسومًا على 100 إلى عدد أنصاف النغمات قبل القسمة على 12.

كيف تحسب أنصاف النغمات من ترددين؟

اقسم التردد الثاني على الأول، ثم احسب اللوغاريتم ذي الأساس 2 لهذه النسبة، واضربه بعد ذلك في 12: n = 12 × log₂(f₂/f₁). واضرب في 1200 بدلًا من 12 للحصول على الإجابة بالسنتات.

ما الفرق بين نصف النغمة والسنت؟

نصف النغمة هو الفاصل القياسي بين نغمتين متجاورتين في الموسيقى الغربية، مثل مفاتيح البيانو المتجاورة. والسنت يساوي 1/100 من نصف نغمة، ولذلك يوجد 1200 سنتًا في الأوكتاف. وتوفر السنتات مقياسًا أدق لقياس الفروق الصغيرة في الطبقة الصوتية الواقعة بين أنصاف النغمات.

كم هرتز يساوي نصف نغمة واحد؟

لا يوجد عدد ثابت من الهرتز لكل نصف نغمة. فنصف النغمة نسبة، تبلغ نحو 1.059463، وليس فارقًا ثابتًا في التردد، ولذلك يعتمد حجمه بالهرتز على الطبقة الصوتية الابتدائية. نصف نغمة واحدة فوق 440 Hz هو 466.16 Hz، أي ارتفاع قدره 26.16 Hz. ونصف نغمة واحدة فوق 220 Hz هو 233.08 Hz، أي ارتفاع قدره 13.08 Hz فقط.

ما التردد الذي يعلو 440 Hz بمقدار 12 نصف نغمة؟

880 Hz. يشكّل اثنا عشر نصف نغمة أوكتافًا واحدًا، ويعني الأوكتاف دائمًا مضاعفة التردد، مهما كان التردد الابتدائي.

كيف ترتبط أرقام نغمات MIDI بأنصاف النغمات؟

يبعد كل رقم نغمة MIDI نصف نغمة واحدة عن الرقمين المجاورين له. دو الوسطى هي نغمة MIDI رقم 60، ولا 440 هي نغمة MIDI رقم 69. ويُستخرج التردد من رقم نغمة MIDI بالصيغة f = 440 × 2^((m − 69)/12)، وهي الصيغة التي تعكسها الحاسبة لتسمية النغمة الأقرب.

لماذا تبدو بعض الفواصل في الضبط المتساوي خارجة عن الضبط قليلًا؟

يقسّم الضبط المتساوي الأوكتاف إلى 12 خطوة متماثلة كي تنتقل الموسيقى بحرية بين المقامات، لكن هذا الحل الوسط يبعد معظم الفواصل قليلًا عن النسب الصحيحة البسيطة في الضبط الطبيعي. فعلى سبيل المثال، تكون الثالثة الكبرى في الضبط المتساوي أعلى بنحو 14 سنتًا من الثالثة الكبرى النقية 5:4. وقد يسمع المستمعون المدربون هذا الفرق أحيانًا، مع أن معظم الناس لا يلاحظونه في الاستماع العادي.

ما مقدار الدقة المطلوبة في قياس التردد للضبط؟

لأغراض الموسيقى اليومية، تكفي عادةً دقة في حدود 5 سنتات، وهي قريبة من حد تمييز الطبقة الصوتية لدى الشخص المتوسط. ويستهدف ضبط الآلات الموسيقية الاحترافي عادةً نحو 2 سنت، كما يستطيع بعض الموسيقيين المدربين اكتشاف فروق لا تتجاوز 1 سنت في ظروف جيدة.