Калкулатор за повърхностна площ - Безплатен инструмент за всички 3D форми

Калкулатор за повърхнина

Повърхнината на триизмерна фигура е общата площ на всички стени и извити повърхности, които покриват външната ѝ страна, измерена в квадратни единици, например квадратни метри или квадратни фута. Този калкулатор намира повърхнината на седем често срещани тела: сфера, куб, цилиндър, пирамида, конус, правоъгълен паралелепипед и триъгълна призма.

Какво означава повърхнина

Повърхнината е сборът от лицата на всички външни повърхности на едно тяло. Повърхнината на куба е общата площ на шестте му плоски квадратни стени. Повърхнината на сферата е площта на единствената ѝ извита външна повърхност. Повърхнината се различава от обема, който измерва пространството вътре в тялото, а не площта на границата му. Двете величини се измерват в различни единици: повърхнината — в квадратни единици (m²), а обемът — в кубични единици (m³).

Как се изчислява повърхнина

1. Изберете фигура от списъка със седем възможности.
2. Въведете необходимите за фигурата измервания:
   • Сфера: радиус
   • Куб: дължина на ръба
   • Цилиндър: радиус и височина
   • Пирамида: дължина на основата, ширина на основата и наклонена височина
   • Конус: радиус и височина
   • Правоъгълен паралелепипед: дължина, ширина и височина
   • Триъгълна призма: дължина на основата, височина на триъгълното лице и дължина на призмата
3. Резултатът се появява автоматично, щом всяко задължително поле получи стойност.
4. Прочетете повърхнината в квадратни единици. Бутонът за копиране до резултата го копира в клипборда.

Докато задължително поле е празно, калкулаторът показва кратка подкана вместо резултат. След като всички полета получат стойност, число, което е нула или отрицателно, извежда съобщение за грешка.

При пирамида важи допълнително правило за всяка основа — квадратна или правоъгълна: въведената апотема трябва да е по-голяма от половината от ширината на основата. Половината от ширината на основата е разстоянието от центъра на основата до средата на един от ръбовете с дължина, равна на дължината на основата. Апотема, равна на или по-малка от тази стойност, не оставя място за вертикална височина, така че такава пирамида не съществува и калкулаторът връща грешка.

Формули за повърхнина

Във формулите по-долу r е радиусът, h — височината, l — дължината, w — ширината, b — дължината на основата, а s — наклонената височина.

• Сфера: $SA = 4\pi r²$
• Куб: $SA = 6a²$, където a е дължината на ръба
• Цилиндър: $SA = 2\pi r² + 2\pi rh$, тоест площта на двете кръгли основи плюс площта на извитата странична повърхност
• Конус: $SA = \pi r² + \pi rs$, където апотемата е $s = \sqrt{r² + h²}$
• Пирамида с квадратна основа: $SA = l² + 2ls$, където l е дължината на основата, а s е апотемата на триъгълното лице
• Правоъгълен паралелепипед: $SA = 2(lw + lh + wh)$
• Триъгълна призма (триъгълно сечение с основа b, височина h и две равни наклонени страни $a = c$): $SA = bh + (a + b + c)L$, където L е дължината на призмата, а $a = c = \sqrt{h² + (b/2)²}$ за симетричен (равнобедрен) триъгълник

Пирамида с правоъгълна основа има две различни наклонени височини — по една за всяка двойка триъгълни лица. Полето „Наклонена височина“ приема наклонената височина s на двете лица, разположени върху ръбовете с дължина, равна на дължината на основата. От нея калкулаторът възстановява вертикалната височина h чрез $h = \sqrt{s² - (w/2)²}$, след което намира другата двойка лица:

Пирамида с правоъгълна основа: $SA = lw + ls + w\sqrt{h² + (l/2)²}$, където l е дължината на основата, w е ширината на основата, а h е вертикалната височина, изведена от s.

Формулата за квадратна основа по-горе е частен случай на тази формула, получен, когато дължината и ширината на основата са равни с точност до 0,001 от въведените единици.

Решен пример

Сфера, радиус 5 m: SA = 4π(5)² = 100π ≈ 314,16 м²

Куб, дължина на ръба 3 m: SA = 6(3)² = 54 м²

Цилиндър, радиус 2 m, височина 5 m: SA = 2π(2)(2 + 5) = 28π ≈ 87,96 м²

Конус, радиус 3 m, височина 4 m: апотема = √(3² + 4²) = 5 m, следователно SA = π(3)(3 + 5) = 24π ≈ 75,40 м²

Пирамида с квадратна основа, дължина на основата 4 m, апотема 5 m: SA = 4² + 2(4)(5) = 16 + 40 = 56 м²

Пирамида с правоъгълна основа, дължина на основата 6 m, ширина на основата 8 m, апотема 5 m: половината от ширината на основата е 4 m, така че вертикалната височина е √(5² − 4²) = 3 m. Другата двойка лица има наклонена височина √(3² + 3²) = √18 ≈ 4,2426 m. SA = (6 × 8) + (6 × 5) + (8 × 4,2426) = 48 + 30 + 33,94 ≈ 111,94 м²

Правоъгълен паралелепипед, дължина 4 m, ширина 3 m, височина 5 m: SA = 2(4·3 + 4·5 + 3·5) = 2(12 + 20 + 15) = 94 м²

Триъгълна призма, основа 3 m, височина на триъгълника 4 m, дължина на призмата 5 m: двете равни наклонени страни са √(4² + 1,5²) = √18,25 ≈ 4,272 m. SA = (3 × 4) + (4,272 + 3 + 4,272) × 5 = 12 + 57,72 ≈ 69,72 м²

Единици и точност

Всички въведени измервания трябва да използват една и съща единица, например метри, футове или сантиметри. Резултатът се дава в квадратни единици от тази единица. Калкулаторът извършва изчисленията вътрешно с пълната точност на числата с плаваща запетая и показва резултата, закръглен до два знака след десетичната запетая.

Защо повърхнината има значение

Повърхнината се използва за оценка на необходимото количество боя или покритие за стена или предмет, материала за опаковане, както и ламарината или плата, нужни за изработването на съд. В биологията и химията повърхнината на клетка или каталитична частица влияе върху скоростта, с която тя обменя вещества с околната среда, тъй като обменът се извършва през повърхността. В инженерството повърхнината на радиатор или топлообменник влияе върху това колко бързо той може да предава топлина.

Често задавани въпроси

Какво представлява повърхнината? Повърхнината е общата площ на всички външни стени или извити повърхности на триизмерен обект, дадена в квадратни единици.

Каква е формулата за повърхнината на сфера? $SA = 4\pi r²$, където r е радиусът. Сфера с радиус 5 m има повърхнина приблизително 314,16 м².

Как се намира повърхнината на цилиндър? Съберете площта на двете кръгли основи с площта на извитата странична повърхност: $SA = 2\pi r² + 2\pi rh$, където r е радиусът, а h — височината.

Каква е разликата между повърхнина и обем? Повърхнината измерва външната граница на фигурата в квадратни единици. Обемът измерва пространството, заградено от тази граница, в кубични единици. Повърхнината и обемът на дадена фигура обикновено нарастват с различни темпове при увеличаване на размера ѝ.

Може ли този калкулатор да работи с пирамида с правоъгълна основа? Да. Въведете различни дължина и ширина на основата, както и наклонената височина на двете лица, разположени върху ръбовете с дължина, равна на дължината на основата. Калкулаторът извежда вертикалната височина и втората наклонена височина от тези три числа.

Защо при пирамидата понякога се показва грешка? Наклонената височина трябва да е по-голяма от половината от ширината на основата. При тази стойност или под нея пирамидата би имала нулева или имагинерна височина, така че такова тяло не съществува и повърхнина не може да бъде изчислена.

Кои фигури поддържа този калкулатор? Сфера, куб, цилиндър, пирамида, конус, правоъгълен паралелепипед и триъгълна призма.

Източници

1. "Surface Area." Wikipedia, Фондация Wikimedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Surface_area
2. Weisstein, Eric W. "Surface Area." MathWorld — уеб ресурс на Wolfram. https://mathworld.wolfram.com/SurfaceArea.html
3. "Surface Area Formulas." Math Is Fun. https://www.mathsisfun.com/geometry/surface-area.html