Калкулатор: доверителен интервал към стандартно отклонение

Този калкулатор преобразува съобщен доверителен интервал обратно в стандартна грешка и стандартно отклонение. Необходими са му двете граници на интервала, размерът на извадката и нивото на доверие. В научните статии често се съобщава средна стойност с нейния доверителен интервал, но се пропуска стандартното отклонение, което е необходимо за метаанализ и изчисления на статистическата мощност.

Какво прави калкулаторът

Доверителният интервал за средна стойност обикновено се изчислява така:

$CI = m \pm Z \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

където CI е доверителният интервал, m — съобщената оценка, Z — критичната стойност, σ — стандартното отклонение, а n — размерът на извадката.

Частта след знака ± е границата на грешката. Тя е равна на критичната стойност Z, умножена по стандартната грешка. Тъй като интервалът е симетричен, половината от ширината му е границата на грешката. Чрез преобразуване на формулата в обратна посока се получава стандартната грешка, а след това и стандартното отклонение.

Формула

$w = u - l$

$SE = \frac{w}{2 \times Z}$

$\sigma = SE \times \sqrt{n}$

Тук w е ширината на интервала, u — горната граница, а l — долната граница. SE е стандартната грешка на средната стойност. σ е стандартното отклонение. Z е двустранната критична стойност на стандартното нормално разпределение за съответното ниво на доверие.

Критични стойности

За всяко друго ниво Z е стойността, при която половината от оставащата вероятност се пада във всяка от двете опашки. Калкулаторът я изчислява за всяко въведено ниво.

Пример с решение

В дадено изследване е съобщена средна разлика от −2,6 с 95% доверителен интервал от −5,2 до −0,01, въз основа на 78 участници.

1. Ширина = −0,01 − (−5,2) = 5,19
2. Z за 95% доверие = 1,96
3. SE = 5,19 ÷ (2 × 1,96) = 1,324
4. σ = 1,324 × √78 = 1,324 × 8,832 = 11,69

Стандартното отклонение е приблизително 11,69.

Кога този метод е приблизителен

Формулата предполага, че интервалът е симетричен около оценката и е изчислен от нормалното разпределение. Две ситуации нарушават това допускане.

При малки извадки често се използва t-разпределението вместо нормалното разпределение. Критичната стойност на t е по-голяма, затова използването на Z леко подценява стандартното отклонение. Разликата намалява с нарастването на извадката и е малка при повече от приблизително 30 наблюдения.

Интервалите за отношения, като например отношения на шансовете или отношения на риска, са симетрични по логаритмичната скала, а не по първоначалната скала. Тези граници трябва да се преобразуват с логаритми, преди да се приложи тази формула.

Ако точковата оценка не е в средата на интервала, калкулаторът отбелязва интервала като асиметричен и резултатът трябва да се разглежда като оценка.

Често задавани въпроси

Каква е разликата между стандартната грешка и стандартното отклонение?

Стандартното отклонение описва доколко са разпръснати отделните стойности. Стандартната грешка описва с каква точност е известна средната стойност. Те са свързани чрез SE = σ / √n, така че стандартната грешка намалява с увеличаването на извадката, докато стандартното отклонение не се променя.

Защо се дели на 2Z, а не на Z?

Пълната ширина обхваща двете страни на оценката. Една граница на грешката е половината от ширината, затова половината ширина се дели на Z, което е същото като деленето на пълната ширина на 2Z.

Може ли това да се използва при интервал, основан на t-разпределение?

Да, но заменете Z с критичната стойност на t за n − 1 степени на свобода. Използването на Z при малка извадка дава леко занижено стандартно отклонение.

Какво става, ако е съобщена само границата на грешката?

Удвоете я, за да получите ширината, и след това изпълнете същите стъпки.

Променя ли точковата оценка отговора?

Не. Във формулата участват само ширината, нивото на доверие и размерът на извадката. Оценката се използва, за да се провери дали интервалът е симетричен.