Resolució d'Equacions Quadràtiques

Introducció

Una equació quadràtica és una equació polinòmica de segon grau en una sola variable. En la seva forma estàndard, una equació quadràtica es pot escriure com:

$ax^2 + bx + c = 0$

on $a$, $b$ i $c$ són nombres reals i $a \neq 0$. El terme $ax^2$ s'anomena terme quadràtic, $bx$ és el terme lineal, i $c$ és el terme constant.

Aquest calculador et permet resoldre equacions quadràtiques introduint els coeficients $a$, $b$ i $c$. Utilitza la fórmula quadràtica per trobar les arrels (solucions) de l'equació i proporciona una sortida clara i formatada dels resultats.

Com Utilitzar Aquest Calculador

1. Introduïu el coeficient $a$ (ha de ser diferent de zero)
2. Introduïu el coeficient $b$
3. Introduïu el coeficient $c$
4. Seleccioneu la precisió desitjada per als resultats (número de decimals)
5. Feu clic al botó "Resoldre"
6. El calculador mostrarà les arrels (si existeixen) i informació addicional sobre la naturalesa de les solucions

Fórmula

La fórmula quadràtica s'utilitza per resoldre equacions quadràtiques. Per a una equació en la forma $ax^2 + bx + c = 0$, les solucions es donen per:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

El terme sota l'arrel quadrada, $b^2 - 4ac$, s'anomena discriminant. Determina la naturalesa de les arrels:

• Si $b^2 - 4ac > 0$, hi ha dues arrels reals distintes
• Si $b^2 - 4ac = 0$, hi ha una arrel real (una arrel repetida)
• Si $b^2 - 4ac < 0$, no hi ha arrels reals (dues arrels complexes conjugades)

Càlcul

El calculador realitza els següents passos per resoldre l'equació quadràtica:

1. Validar les entrades:

   • Assegureu-vos que $a$ no sigui zero
   • Comproveu si els coeficients estan dins d'un rang vàlid (per exemple, entre -1e10 i 1e10)

2. Calculeu el discriminant: $\Delta = b^2 - 4ac$

3. Determineu la naturalesa de les arrels en funció del discriminant

4. Si existeixen arrels reals, calculeu-les utilitzant la fórmula quadràtica: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$ i $x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$

5. Arrodoneu els resultats a la precisió especificada

6. Mostreu els resultats, incloent:

   • La naturalesa de les arrels
   • Els valors de les arrels (si són reals)
   • L'equació en forma estàndard

Validació d'Entrades i Maneig d'Errors

El calculador implementa les següents comprovacions:

• El coeficient $a$ ha de ser diferent de zero. Si $a = 0$, es mostrarà un missatge d'error.
• Tots els coeficients han de ser nombres vàlids. Les entrades no numèriques són rebutjades.
• Els coeficients han d'estar dins d'un rang raonable (per exemple, entre -1e10 i 1e10) per evitar errors de desbordament.

Casos d'Ús

Les equacions quadràtiques tenen nombroses aplicacions en diversos camps:

1. Física: Descrivint el moviment de projectils, calculant el temps que triga un objecte a caure, i analitzant el moviment harmònic simple.

2. Enginyeria: Dissenyant reflectors parabòlics per a il·luminació o telecomunicacions, optimitzant àrees o volums en projectes de construcció.

3. Economia: Modelant corbes d'oferta i demanda, optimitzant funcions de benefici.

4. Gràfics per Ordinador: Renderitzant corbes i superfícies parabòliques, calculant interseccions entre formes geomètriques.

5. Finances: Calculant interessos compostos, models de preus d'opcions.

6. Biologia: Modelant el creixement poblacional amb factors limitants.

Alternatives

Si bé la fórmula quadràtica és una eina poderosa per resoldre equacions quadràtiques, hi ha mètodes alternatius que poden ser més apropiats en certes situacions:

1. Factorització: Per a equacions amb coeficients enters i arrels racionals simples, la factorització pot ser més ràpida i proporcionar més informació sobre l'estructura de l'equació.

2. Completar el Quadrat: Aquest mètode és útil per derivar la fórmula quadràtica i per transformar funcions quadràtiques en forma de vèrtex.

3. Mètodes Gràfics: Traçant la funció quadràtica i trobant les seves interseccions amb l'eix x pot proporcionar una comprensió visual de les arrels sense càlcul explícit.

4. Mètodes Numèrics: Per a coeficients molt grans o quan es requereix una alta precisió, els mètodes numèrics com el mètode de Newton-Raphson poden ser més estables.

Història

La història de les equacions quadràtiques es remunta a civilitzacions antigues:

• Babilonis (c. 2000 aC): Van resoldre equacions quadràtiques específiques utilitzant tècniques equivalents a completar el quadrat.
• Grecs antics (c. 400 aC): Van resoldre geomètricament equacions quadràtiques.
• Matemàtics indis (c. 600 dC): Brahmagupta va proporcionar la primera fórmula explícita per resoldre equacions quadràtiques.
• Edat daurada islàmica (c. 800 dC): Al-Khwarizmi va resoldre sistemàticament equacions quadràtiques utilitzant mètodes algebraics.
• Renaixement europeu: La solució algebraica general (fórmula quadràtica) es va fer àmpliament coneguda i utilitzada.

La forma moderna de la fórmula quadràtica es va finalitzar al segle XVI, tot i que els seus components eren coneguts molt abans.

Exemples

Aquí hi ha exemples de codi per resoldre equacions quadràtiques en diversos llenguatges de programació:

1' Funció VBA d'Excel per a la Resolució d'Equacions Quadràtiques
2Function SolveQuadratic(a As Double, b As Double, c As Double) As String
3    Dim discriminant As Double
4    Dim x1 As Double, x2 As Double
5    
6    discriminant = b ^ 2 - 4 * a * c
7    
8    If discriminant > 0 Then
9        x1 = (-b + Sqr(discriminant)) / (2 * a)
10        x2 = (-b - Sqr(discriminant)) / (2 * a)
11        SolveQuadratic = "Dues arrels reals: x1 = " & x1 & ", x2 = " & x2
12    ElseIf discriminant = 0 Then
13        x1 = -b / (2 * a)
14        SolveQuadratic = "Una arrel real: x = " & x1
15    Else
16        SolveQuadratic = "No hi ha arrels reals"
17    End If
18End Function
19' Ús:
20' =SolveQuadratic(1, 5, 6)
21

1import math
2
3def solve_quadratic(a, b, c):
4    discriminant = b**2 - 4*a*c
5    if discriminant > 0:
6        x1 = (-b + math.sqrt(discriminant)) / (2*a)
7        x2 = (-b - math.sqrt(discriminant)) / (2*a)
8        return f"Dues arrels reals: x₁ = {x1:.2f}, x₂ = {x2:.2f}"
9    elif discriminant == 0:
10        x = -b / (2*a)
11        return f"Una arrel real: x = {x:.2f}"
12    else:
13        return "No hi ha arrels reals"
14
15# Ús d'exemple:
16print(solve_quadratic(1, 5, 6))
17

1function solveQuadratic(a, b, c) {
2  const discriminant = b * b - 4 * a * c;
3  if (discriminant > 0) {
4    const x1 = (-b + Math.sqrt(discriminant)) / (2 * a);
5    const x2 = (-b - Math.sqrt(discriminant)) / (2 * a);
6    return `Dues arrels reals: x₁ = ${x1.toFixed(2)}, x₂ = ${x2.toFixed(2)}`;
7  } else if (discriminant === 0) {
8    const x = -b / (2 * a);
9    return `Una arrel real: x = ${x.toFixed(2)}`;
10  } else {
11    return "No hi ha arrels reals";
12  }
13}
14
15// Ús d'exemple:
16console.log(solveQuadratic(1, 5, 6));
17

1public class QuadraticSolver {
2    public static String solveQuadratic(double a, double b, double c) {
3        double discriminant = b * b - 4 * a * c;
4        if (discriminant > 0) {
5            double x1 = (-b + Math.sqrt(discriminant)) / (2 * a);
6            double x2 = (-b - Math.sqrt(discriminant)) / (2 * a);
7            return String.format("Dues arrels reals: x₁ = %.2f, x₂ = %.2f", x1, x2);
8        } else if (discriminant == 0) {
9            double x = -b / (2 * a);
10            return String.format("Una arrel real: x = %.2f", x);
11        } else {
12            return "No hi ha arrels reals";
13        }
14    }
15
16    public static void main(String[] args) {
17        System.out.println(solveQuadratic(1, 5, 6));
18    }
19}
20

Exemples Numèrics

1. Dues arrels reals:

   • Equació: $x^2 + 5x + 6 = 0$
   • Coeficients: $a = 1$, $b = 5$, $c = 6$
   • Resultat: Dues arrels reals: $x_1 = -2.00$, $x_2 = -3.00$

2. Una arrel real (repetida):

   • Equació: $x^2 + 4x + 4 = 0$
   • Coeficients: $a = 1$, $b = 4$, $c = 4$
   • Resultat: Una arrel real: $x = -2.00$

3. No hi ha arrels reals:

   • Equació: $x^2 + x + 1 = 0$
   • Coeficients: $a = 1$, $b = 1$, $c = 1$
   • Resultat: No hi ha arrels reals

4. Coeficients grans:

   • Equació: $1000000x^2 + 5000000x + 6000000 = 0$
   • Coeficients: $a = 1000000$, $b = 5000000$, $c = 6000000$
   • Resultat: Dues arrels reals: $x_1 = -1.00$, $x_2 = -4.00$

Gràfic de Funcions Quadràtiques

El gràfic d'una funció quadràtica $f(x) = ax^2 + bx + c$ és una paràbola. Les arrels de l'equació quadràtica corresponen a les interseccions amb l'eix x d'aquesta paràbola. Els punts clau en el gràfic inclouen:

• Vèrtex: El punt més alt o més baix de la paràbola, donat per $(-b/(2a), f(-b/(2a)))$
• Eix de simetria: Una línia vertical que passa pel vèrtex, donada per $x = -b/(2a)$
• Intersecció amb l'eix y: El punt on la paràbola creua l'eix y, donat per $(0, c)$

La direcció i l'amplada de la paràbola es determinen pel coeficient $a$:

• Si $a > 0$, la paràbola s'obre cap amunt
• Si $a < 0$, la paràbola s'obre cap avall
• Valors absoluts més grans de $a$ resulten en paràboles més estretes

Entendre el gràfic pot proporcionar informació sobre la naturalesa i els valors de les arrels sense càlcul explícit.

Referències

1. Weisstein, Eric W. "Equació Quadràtica." De MathWorld--Un Recurso Web de Wolfram. https://mathworld.wolfram.com/QuadraticEquation.html
2. "Equació quadràtica." Wikipedia, Fundació Wikimedia, https://en.wikipedia.org/wiki/Quadratic_equation
3. Larson, Ron, i Bruce Edwards. Càlcul. 10a ed., Cengage Learning, 2014.
4. Stewart, James. Càlcul: Transcendents Primeres. 8a ed., Cengage Learning, 2015.
5. "La Història de l'Equació Quadràtica." ThoughtCo, https://www.thoughtco.com/history-of-the-quadratic-equation-3126340