Calculadora d'Equació Quadràtica - Calcula Arrels de ax² + bx + c = 0

Què és una equació de segon grau?

Una equació de segon grau és una equació de la forma $ax^2 + bx + c = 0$, on $a$, $b$ i $c$ són nombres i $a$ no és zero. El solucionador d’equacions de segon grau d’aquesta pàgina troba el valor o els valors de $x$ que fan certa l’equació, mitjançant els coeficients $a$, $b$ i $c$ que introdueix l’usuari.

Si $a$ fos zero, el terme $x^2$ desapareixeria i l’equació passaria a ser lineal en lloc de quadràtica. Per aquest motiu, la calculadora requereix $a \neq 0$ i mostra un error si $a = 0$.

La fórmula quadràtica

Tota equació de segon grau de la forma $ax^2 + bx + c = 0$ es pot resoldre amb la fórmula quadràtica:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

El signe $\pm$ representa dos càlculs separats: un amb el signe més i un amb el signe menys. Per això una equació de segon grau pot tenir dues solucions diferents.

L’expressió sota l’arrel quadrada, $b^2 - 4ac$, s’anomena discriminant. Normalment s’escriu com $\Delta$ (la lletra grega delta). El discriminant, per si sol, indica quantes solucions reals té l’equació abans de fer la resta del càlcul.

Com es calculen les arrels

1. Escriu l’equació en forma estàndard, $ax^2 + bx + c = 0$.
2. Identifica els coeficients $a$, $b$ i $c$.
3. Calcula el discriminant: $\Delta = b^2 - 4ac$.
4. Si $\Delta$ és positiu, calcula les dues arrels amb $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$.
5. Si $\Delta$ és zero, calcula l’única arrel amb $x = \dfrac{-b}{2a}$.
6. Si $\Delta$ és negatiu, l’equació no té arrels reals, perquè un nombre negatiu no té cap arrel quadrada real.

La calculadora d’aquesta pàgina fa aquests passos automàticament. Accepta coeficients entre $-10^{10}$ i $10^{10}$ i arrodoneix els resultats al nombre de decimals escollit, entre 0 i 10.

Què significa el discriminant

Aquesta calculadora indica «cap arrel real» quan $\Delta$ és negatiu. No calcula arrels complexes (nombres que impliquen $i = \sqrt{-1}$).

Exemple resolt

Resol $x^2 + 5x + 6 = 0$.

Aquí $a = 1$, $b = 5$ i $c = 6$.

Primer, troba el discriminant:

$\Delta = b^2 - 4ac = 5^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1$

Com que $\Delta$ és positiu, l’equació té dues arrels reals:

$x = \frac{-5 \pm \sqrt{1}}{2(1)} = \frac{-5 \pm 1}{2}$

$x_1 = \frac{-5 + 1}{2} = -2 \qquad x_2 = \frac{-5 - 1}{2} = -3$

Això es pot comprovar factoritzant: $x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)$, que és zero quan $x = -2$ o $x = -3$.

Un segon exemple mostra un discriminant negatiu. Per a $x^2 + x + 1 = 0$, $a = 1$, $b = 1$ i $c = 1$, de manera que $\Delta = 1 - 4 = -3$. Com que $\Delta$ és negatiu, l’equació no té arrels reals.

La paràbola, el vèrtex i l’eix de simetria

La gràfica de $f(x) = ax^2 + bx + c$ és una corba anomenada paràbola. Si $a$ és positiu, la paràbola s’obre cap amunt i té un punt més baix. Si $a$ és negatiu, s’obre cap avall i té un punt més alt. Aquest punt més baix o més alt és el vèrtex.

El vèrtex es troba a:

$x = -\frac{b}{2a}, \qquad y = f\!\left(-\frac{b}{2a}\right)$

Una recta vertical que passa pel vèrtex, $x = -\dfrac{b}{2a}$, s’anomena eix de simetria, perquè les dues meitats de la paràbola són imatges especulars l’una de l’altra respecte d’aquest eix. Les arrels reals de l’equació són els punts on la paràbola talla l’eix x, de manera que es troben a banda i banda de l’eix de simetria, a la mateixa distància.

La calculadora dibuixa aquesta paràbola al costat del resultat. Hi marca el vèrtex i les arrels reals que hi pugui haver, i amplia l’interval representat quan cal perquè totes les arrels quedin visibles.

On s’utilitzen les equacions de segon grau

Les equacions de segon grau descriuen moltes situacions reals. En física, l’altura d’un objecte llançat al llarg del temps segueix l’equació $h(t) = -\tfrac{1}{2}gt^2 + v_0t + h_0$, i resoldre-la per a $t$ dona el temps que triga l’objecte a arribar a terra. En enginyeria, les formes parabòliques apareixen en antenes parabòliques i cables de ponts per la manera com enfoquen o distribueixen la força. En gràfics per ordinador, els programes de traçat de raigs resolen equacions de segon grau per trobar el punt on una recta interseca una esfera.

Una breu història

Els matemàtics babilonis ja resolien problemes concrets de segon grau cap a 2000 aC, mitjançant mètodes geomètrics en lloc de l’àlgebra. Matemàtics grecs com Euclides també tractaven les equacions de segon grau geomètricament. Cap a 600 dC, el matemàtic indi Brahmagupta va donar una fórmula explícita per a les arrels, incloses les solucions negatives. Cap a 800 dC, el matemàtic persa al-Khwarizmi va descriure mètodes sistemàtics per resoldre equacions de segon grau en un llibre el títol del qual va donar origen a la paraula «àlgebra». La forma simbòlica moderna de la fórmula quadràtica es va establir més endavant, a mesura que la notació algebraica es desenvolupava durant el Renaixement.

Preguntes freqüents

Què passa si introdueixo 0 per al coeficient a? La calculadora mostra un error, perquè $a = 0$ converteix l’equació en una equació lineal, $bx + c = 0$, que es resol d’una manera diferent.

Per què de vegades una equació no té arrels reals? Això passa quan el discriminant, $b^2 - 4ac$, és negatiu. Un nombre negatiu no té cap arrel quadrada real, de manera que la fórmula no pot produir un valor real de $x$. L’equació continua tenint dues arrels complexes, però aquesta calculadora no les calcula.

Quina diferència hi ha entre una arrel i una solució? Cap. Totes dues paraules es refereixen a un valor de $x$ que fa que l’equació sigui igual a zero. «Arrel» fa referència al punt on la gràfica talla l’eix x; «solució» fa referència a l’àlgebra.

Quants decimals puc escollir? Entre 0 i 10. Dos o tres decimals solen ser suficients per als problemes quotidians.

Puc introduir coeficients molt grans? Els coeficients han d’estar entre $-10^{10}$ i $10^{10}$. Els valors fora d’aquest interval poden provocar errors d’arrodoniment i es rebutgen.

Aquesta calculadora pot trobar arrels complexes? No. Quan el discriminant és negatiu, indica «cap arrel real» en lloc de calcular nombres complexos.

Referències

1. Quadratic Equation – MathWorld
2. NIST Digital Library of Mathematical Functions, §1.11, Algebra: Quadratic Equation