Calculadora d'Absorció de Dos Fotons - Calcular el Coeficient TPA

Calculadora de l’absorció de dos fotons

Una calculadora de l’absorció de dos fotons converteix tres paràmetres del làser —longitud d’ona, intensitat i durada del pols— en una única xifra il·lustrativa, etiquetada com a β i expressada en cm/GW. L’absorció de dos fotons és un procés en què una molècula absorbeix dos fotons de llum gairebé al mateix instant en lloc d’un de sol, i només es produeix amb una intensitat lumínica elevada. La xifra que genera aquesta pàgina és una ajuda didàctica per a l’aritmètica, no pas un coeficient mesurat o predit per a cap substància real; la secció següent explica per què.

Què és l’absorció de dos fotons?

En l’absorció ordinària d’un sol fotó, una molècula absorbeix un fotó de llum i salta a un estat d’energia més alt. L’absorció de dos fotons (TPA) és diferent: la molècula absorbeix dos fotons separats per pocs femtosegons i utilitza la seva energia combinada per fer el mateix salt. Un femtosegon és una milionèsima d’una mil milionèsima de segon.

Aquesta doble absorció és poc freqüent. Només es produeix prou sovint per ser rellevant quan la llum és extremadament intensa, perquè dos fotons han d’arribar gairebé simultàniament a la mateixa molècula. La llum ordinària, fins i tot la solar, és massa feble. Els làsers que concentren la seva energia en polsos breus i intensos fan possible observar i utilitzar la TPA.

La física Maria Göppert-Mayer va predir l’absorció de dos fotons el 1931, com a part de la seva tesi doctoral. Cap font de llum de l’època no era prou intensa per demostrar-la. El làser, inventat el 1960, va canviar aquesta situació. El 1961, els investigadors Wilhelm Kaiser i C. G. B. Garrett, dels Bell Labs, van observar per primera vegada l’absorció de dos fotons, utilitzant un làser de robí i un cristall dopat amb europi. Més tard, Göppert-Mayer va compartir el Premi Nobel de Física del 1963 per altres treballs sobre l’estructura nuclear.

Fórmula del coeficient d’absorció de dos fotons

La calculadora aplica una única fórmula fixa:

$\beta = K \times \frac{I \times \tau}{\lambda^2}$

On:

• β — coeficient d’absorció de dos fotons, en cm/GW
• K — constant fixa, establerta en 1,5 en aquesta calculadora
• I — intensitat de la llum, convertida de W/cm² a GW/cm² (dividint per 10⁹)
• τ — durada del pols, en femtosegons (fs)
• λ — longitud d’ona de la llum, en nanòmetres (nm)

Per què aquesta fórmula és provisional i no física

La calculadora ho declara obertament, i aquest article també. En òptica real, β és una propietat intrínseca del material. Apareix en l’equació dI/dz = −βI², l’analogia de dos fotons de l’absorció ordinària de Beer-Lambert, i depèn únicament de l’energia de banda prohibida del material, del seu índex de refracció lineal, de la seva energia de Kane i de l’energia dels fotons. La intensitat del feix i la durada del pols no hi apareixen. Doblar la potència del làser no dobla el β d’un material.

La fórmula anterior fa augmentar β amb la intensitat i la durada del pols, de manera que no pot descriure aquesta magnitud física. Les seves unitats tampoc es redueixen a cm/GW: GW/cm² × fs ÷ nm² no és una longitud dividida per una potència. Per tant, el nombre és una il·lustració de l’aritmètica, i la calculadora mostra un avís permanent que ho indica.

Per obtenir un β real cal una mesura directa, normalment mitjançant el mètode d’escaneig Z, o bé un model del material, com ara la regla d’escalament de dues bandes de Sheik-Bahae, Hagan i Van Stryland, β = K·√E_p·F₂(2ħω/E_g) / (n₀²·E_g³). Aquí E_g és la bretxa de banda, n₀ l’índex de refracció lineal, E_p l’energia de Kane i F₂ una funció fixa de la proporció 2ħω/E_g. Aquest model utilitza paràmetres del material que aquesta calculadora no sol·licita.

Com es comporta cada variable

Longitud d’ona (λ) apareix elevada al quadrat al denominador, de manera que la xifra disminueix quan augmenta la longitud d’ona, seguint una relació inversament proporcional al quadrat. Passar de 800 nm a 1000 nm, mantenint constants la intensitat i la durada del pols, la multiplica per (800/1000)² = 0,64, una disminució del 36 % i no pas una reducció superior a la meitat. La majoria d’experiments de dos fotons utilitzen llum de l’infraroig proper, aproximadament de 700–1000 nm, perquè penetra bé en els teixits biològics. Per aquest motiu, els làsers de titani-safir (Ti:Sapphire) sintonitzables al voltant de 800 nm són la font de llum més habitual.

Intensitat (I) ha d’arribar aproximadament de 10¹⁰ a 10¹⁴ W/cm² perquè l’absorció de dos fotons esdevingui significativa al laboratori, i la calculadora assenyala els valors fora d’aquest interval. La llum solar a la superfície terrestre només té aproximadament 0,1 W/cm², massa poc. Per assolir aquestes intensitats calen làsers polsats, que concentren l’energia en esclats breus en lloc de dispersar-la contínuament.

Durada del pols (τ) sol anar de 10 a 1000 femtosegons en els experiments de TPA. Els polsos més curts concentren una quantitat determinada d’energia en menys temps i produeixen una intensitat màxima més elevada, però també requereixen equips làser més complexos i costosos.

Exemple resolt

Aplicant la fórmula amb paràmetres típics d’un làser de safir dopat amb titani:

• Longitud d’ona: 800 nm
• Intensitat: 10¹² W/cm²
• Durada del pols: 100 fs
• K = 1,5

Primer, es converteix la intensitat a GW/cm²: 10¹² ÷ 10⁹ = 1000 GW/cm².

Després s’aplica la fórmula:

β = 1,5 × (1000 × 100) ÷ 800² = 150.000 ÷ 640.000 = 0,234375, que la calculadora mostra com a 0,2344 cm/GW

Mantenint la mateixa intensitat i durada del pols, però canviant la longitud d’ona a 1000 nm, s’obté:

β = 1,5 × (1000 × 100) ÷ 1000² = 150.000 ÷ 1.000.000 = 0,15, que es mostra com a 0,1500 cm/GW

Això representa una disminució del 36 %, d’acord amb la relació inversament proporcional al quadrat descrita anteriorment.

Què mostra la calculadora

La pàgina mostra un nombre, el coeficient, en cm/GW. Els valors entre 0,001 i 999 es mostren amb quatre decimals; qualsevol valor inferior o superior passa al format científic, com ara 1,5000 × 10^-5. Un panell situat a sota repeteix l’aritmètica pas a pas amb la intensitat convertida, de manera que el resultat es pot comprovar manualment.

A sobre de les entrades hi ha sempre un quadre d’avís que indica que el nombre no és un coeficient físic validat. Cada entrada es comprova per separat. Un valor igual o inferior a zero es rebutja amb un error, i un valor positiu fora de l’interval experimental habitual genera un avís d’interval, però continua produint un resultat. Un diagrama al costat del resultat mostra el feix entrant i sortint d’una mostra, amb la longitud d’ona, la intensitat i el coeficient actuals etiquetats.

Aplicacions de l’absorció de dos fotons

Microscòpia de dos fotons. Com que l’absorció només es produeix allà on el feix làser està fortament enfocat, aquesta tècnica excita les molècules fluorescents només en un punt de l’interior d’una mostra. S’utilitza àmpliament per obtenir imatges de teixit cerebral viu, ja que evita danyar o blanquejar les regions situades fora del punt focal. Winfried Denk, James Strickler i Watt Webb van construir el primer microscopi de dos fotons a la Universitat Cornell el 1990.

Teràpia fotodinàmica. La llum de l’infraroig proper arriba més profundament als teixits que la llum visible. L’excitació de dos fotons pot activar un fàrmac fotosensible només al punt focal del làser, cosa que ajuda a dirigir-se als tumors i preservar el teixit sa circumdant.

Emmagatzematge òptic de dades en 3D. Enfocar un làser a diferents profunditats dins d’un bloc de material permet que l’absorció de dos fotons marqui les dades només en aquella profunditat, oferint una densitat d’emmagatzematge superior a la dels formats basats en superfícies, com els DVD.

Microfabricació de dos fotons. També anomenada polimerització de dos fotons, aquesta tècnica endureix la resina fotosensible només al punt focal del làser i produeix estructures impreses en 3D amb característiques inferiors a 100 nanòmetres.

Limitació de la potència òptica. Els materials amb un β elevat es mantenen transparents amb nivells normals de llum, però absorbeixen intensament sota un pols làser fort. Aquesta propietat s’utilitza en ulleres protectores i filtres de sensors contra l’exposició accidental a làsers.

Com calcular manualment el coeficient d’absorció

1. Converteix la intensitat de la llum de W/cm² a GW/cm² dividint-la per 10⁹.
2. Multiplica el resultat per la durada del pols en femtosegons.
3. Multiplica pel valor de la constant K (1,5 en aquest model simplificat).
4. Divideix per la longitud d’ona en nanòmetres, elevada al quadrat.

La calculadora fa aquests mateixos quatre passos i assenyala qualsevol entrada que quedi fora de l’interval experimental habitual: 400–1200 nm per a la longitud d’ona, 10¹⁰–10¹⁴ W/cm² per a la intensitat i 10–1000 fs per a la durada del pols. Els valors fora d’aquests intervals continuen produint un nombre.

Preguntes més freqüents

Què és l’absorció de dos fotons? És un procés en què una molècula absorbeix dos fotons de llum gairebé simultàniament, en lloc d’un de sol, per arribar a un estat d’energia més alt. Només esdevé significativa amb una intensitat lumínica molt elevada.

Què mesura el coeficient β? En òptica, β mesura la intensitat amb què un material experimenta absorció de dos fotons, en unitats de cm/GW. Un β més alt significa que el material absorbeix més intensament a una intensitat determinada. Els valors publicats cobreixen un interval ampli: la sílice fosa és d’aproximadament 10⁻⁶ cm/GW prop de 800 nm, mentre que l’arsenur de gal·li és d’aproximadament 26 cm/GW a 1064 nm. La xifra que imprimeix aquesta pàgina no és cap d’aquests valors mesurats.

Per què l’absorció de dos fotons necessita una llum tan intensa? Dos fotons han d’incidir en una molècula amb una separació de pocs femtosegons, cosa molt improbable amb nivells de llum ordinaris. Els làsers polsats concentren l’energia en esclats breus per fer que això sigui prou probable per observar-ho i utilitzar-ho.

Com afecta la longitud d’ona el resultat d’aquesta calculadora? El resultat disminueix segons el quadrat de l’augment de la longitud d’ona. Passar de 800 nm a 1000 nm, mantenint constants els altres paràmetres, el redueix un 36 %, de 0,234375 a 0,15 en l’exemple desenvolupat anteriorment.

Es pot utilitzar aquesta fórmula per a l’absorció de tres fotons? No. L’absorció de tres fotons es descriu amb el seu propi coeficient, i la potència absorbida creix amb el cub de la intensitat en lloc del seu quadrat. Necessita un model independent.

Quina precisió té la fórmula simplificada? No és precisa, ni està pensada per ser-ho. No inclou propietats del material i les seves unitats no es redueixen a cm/GW, de manera que el seu resultat no s’ha de citar com a coeficient de cap substància. Per a treballs reals, cal utilitzar un valor mesurat o un model del material, com l’expressió de dues bandes de Sheik-Bahae.

Canvia un coeficient real quan s’augmenta la potència del làser? No. β és una propietat del material i de la longitud d’ona, per tant es manté igual quan canvien la intensitat i la durada del pols. El que canvia és la quantitat de llum que absorbeix el material, perquè l’absorció de dos fotons elimina energia en proporció al quadrat de la intensitat.

Referències

1. Göppert-Mayer, M. (1931). «Über Elementarakte mit zwei Quantensprüngen.» Annalen der Physik, 401(3), 273–294.
2. Kaiser, W., i Garrett, C. G. B. (1961). «Two-Photon Excitation in CaF₂: Eu²⁺.» Physical Review Letters, 7(6), 229–231.
3. Denk, W., Strickler, J. H., i Webb, W. W. (1990). «Two-photon laser scanning fluorescence microscopy.» Science, 248(4951), 73–76.
4. Rumi, M., i Perry, J. W. (2010). «Two-photon absorption: an overview of measurements and principles.» Advances in Optics and Photonics, 2(4), 451–518.
5. Sheik-Bahae, M., Hagan, D. J., i Van Stryland, E. W. (1990). «Dispersion and band-gap scaling of the electronic Kerr effect in solids associated with two-photon absorption.» Physical Review Letters, 65(1), 96–99.
6. Sheik-Bahae, M., Hutchings, D. C., Hagan, D. J., i Van Stryland, E. W. (1991). «Dispersion of bound electronic nonlinear refraction in solids.» IEEE Journal of Quantum Electronics, 27(6), 1296–1309.