Rechner für teilerfremde Zahlen

Teilerfremde Zahlen sind zwei oder mehr ganze Zahlen, deren einziger gemeinsamer positiver Teiler 1 ist. Dieser Rechner prüft, ob die eingegebenen Zahlen teilerfremd sind, indem er ihren größten gemeinsamen Teiler (GGT) berechnet. Ist der GGT 1, sind die Zahlen teilerfremd.

Teilerfremde Zahlen werden auch relativ prim oder gegenseitig prim genannt.

Was bedeutet teilerfremd?

Zwei ganze Zahlen sind teilerfremd, wenn keine ganze Zahl größer als 1 beide teilt. Die Zahlen selbst müssen keine Primzahlen sein. Zum Beispiel sind 8 und 15 teilerfremd: Die Teiler von 8 sind 1, 2, 4 und 8, während die Teiler von 15 1, 3, 5 und 15 sind. Der einzige gemeinsame Teiler ist 1, also sind sie teilerfremd.

Im Gegensatz dazu sind 12 und 18 nicht teilerfremd. Beide lassen sich durch 2, 3 und 6 teilen, ihr größter gemeinsamer Teiler ist also 6.

Wie man prüft, ob Zahlen teilerfremd sind

1. Bestimmen Sie den größten gemeinsamen Teiler (GGT) aller Zahlen. Der GGT ist die größte ganze Zahl, die jede Zahl ohne Rest teilt.
2. Vergleichen Sie den GGT mit 1. Ist der GGT gleich 1, sind die Zahlen teilerfremd. Ist der GGT größer als 1, sind sie es nicht.

Der GGT einer Gruppe von Zahlen wird ermittelt, indem der euklidische Algorithmus jeweils auf zwei Zahlen angewendet wird: Der GGT von drei Zahlen a, b und c ist GGT(GGT(a, b), c).

Formel für Teilerfremdheit

Die Zahlen a₁, a₂, …, aₙ sind teilerfremd, wenn gilt:

GGT(a₁, a₂, …, aₙ) = 1

Beispiel

Prüfen Sie, ob 6, 10 und 15 teilerfremd sind.

• GGT(6, 10) = 2
• GGT(2, 15) = 1

Der größte gemeinsame Teiler aller drei Zahlen ist 1, also sind 6, 10 und 15 als Menge teilerfremd.

Diese drei Zahlen sind allerdings nicht paarweise teilerfremd. 6 und 10 haben den gemeinsamen Teiler 2, 6 und 15 haben den gemeinsamen Teiler 3, und 10 und 15 haben den gemeinsamen Teiler 5. Teilerfremdheit als Menge (der GGT aller Zahlen zusammen ist 1) ist eine schwächere Bedingung als paarweise Teilerfremdheit (jedes Paar hat einen GGT von 1). Dieser Rechner zeigt beides an.

Paarweise teilerfremd im Vergleich zu teilerfremd als Menge

Eine Gruppe von Zahlen ist teilerfremd als Menge, wenn der GGT der gesamten Gruppe 1 ist. Sie ist paarweise teilerfremd, wenn jedes mögliche Paar innerhalb der Gruppe einen GGT von 1 hat. Paarweise teilerfremde Zahlen sind immer auch als Menge teilerfremd, aber umgekehrt gilt das nicht immer, wie das Beispiel oben zeigt.

Häufig gestellte Fragen

Sind 1 und jede andere Zahl teilerfremd?

Ja. Die Zahl 1 hat mit keiner ganzen Zahl einen Teiler größer als 1 gemeinsam, also ist 1 mit jeder ganzen Zahl teilerfremd, auch mit sich selbst.

Müssen teilerfremde Zahlen Primzahlen sein?

Nein. Teilerfremde Zahlen können zusammengesetzt sein. 8 und 15 sind beide zusammengesetzte Zahlen, trotzdem sind sie teilerfremd, weil sie außer 1 keinen gemeinsamen Teiler haben.

Sind zwei verschiedene Primzahlen immer teilerfremd?

Ja. Zwei verschiedene Primzahlen haben außer 1 keinen gemeinsamen Teiler, also sind zwei beliebige unterschiedliche Primzahlen immer teilerfremd.

Können negative Zahlen teilerfremd sein?

Teilerfremdheit wird üblicherweise für positive ganze Zahlen definiert. Dieser Rechner akzeptiert positive ganze Zahlen ab 1.

Was ist der Unterschied zwischen GGT und teilerfremd?

Der GGT ist die größte Zahl, die alle Eingabewerte teilt. „Teilerfremd" ist der Spezialfall, bei dem dieser GGT gleich 1 ist.