Rechner für teilerfremde Zahlen

Teilerfremde Zahlen sind zwei oder mehr ganze Zahlen, deren einziger gemeinsamer positiver Teiler 1 ist. Dieser Rechner prüft anhand des größten gemeinsamen Teilers (ggT), ob die eingegebenen Zahlen teilerfremd sind. Wenn der ggT 1 ist, sind die Zahlen teilerfremd.

Teilerfremde Zahlen werden auch als relativ prim oder zueinander prim bezeichnet.

Was bedeutet teilerfremd?

Zwei ganze Zahlen sind teilerfremd, wenn keine ganze Zahl größer als 1 beide Zahlen teilt. Die Zahlen selbst müssen keine Primzahlen sein. Beispielsweise sind 8 und 15 teilerfremd: Die Teiler von 8 sind 1, 2, 4 und 8, während die Teiler von 15 1, 3, 5 und 15 sind. Der einzige gemeinsame Teiler ist 1, daher sind sie teilerfremd.

Im Gegensatz dazu sind 12 und 18 nicht teilerfremd. Beide lassen sich durch 2, 3 und 6 teilen, daher ist ihr größter gemeinsamer Teiler 6.

So prüft man, ob Zahlen teilerfremd sind

1. Bestimme den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aller Zahlen. Der ggT ist die größte ganze Zahl, durch die sich jede Zahl ohne Rest teilen lässt.
2. Vergleiche den ggT mit 1. Wenn der ggT 1 entspricht, sind die Zahlen teilerfremd. Ist der ggT größer als 1, sind sie nicht teilerfremd.

Der ggT einer Gruppe von Zahlen wird bestimmt, indem der euklidische Algorithmus jeweils auf zwei Zahlen angewendet wird: Der ggT von drei Zahlen a, b und c ist ggT(ggT(a, b), c).

Formel für teilerfremde Zahlen

Die Zahlen a₁, a₂, …, aₙ sind teilerfremd, wenn gilt:

ggT(a₁, a₂, …, aₙ) = 1

Durchgerechnetes Beispiel

Prüfe, ob 6, 10 und 15 teilerfremd sind.

• ggT(6, 10) = 2
• ggT(2, 15) = 1

Der größte gemeinsame Teiler aller drei Zahlen ist 1, daher sind 6, 10 und 15 als Menge teilerfremd.

Beachte, dass diese drei Zahlen nicht paarweise teilerfremd sind. 6 und 10 haben den gemeinsamen Faktor 2, 6 und 15 den gemeinsamen Faktor 3 und 10 und 15 den gemeinsamen Faktor 5. Die Teilerfremdheit als Menge (der ggT aller Zahlen zusammen ist 1) ist eine schwächere Bedingung als die paarweise Teilerfremdheit (jedes Zahlenpaar hat einen ggT von 1). Dieser Rechner gibt beides an.

Paarweise teilerfremd oder als Menge teilerfremd

Eine Gruppe von Zahlen ist als Menge teilerfremd, wenn der ggT der gesamten Gruppe 1 ist. Sie ist paarweise teilerfremd, wenn jedes mögliche Zahlenpaar innerhalb der Gruppe einen ggT von 1 hat. Paarweise teilerfremde Zahlen sind immer als Menge teilerfremd, aber das Gegenteil gilt nicht immer, wie das obige Beispiel zeigt.

Häufig gestellte Fragen

Sind 1 und jede beliebige Zahl teilerfremd?

Ja. Die Zahl 1 hat mit keiner ganzen Zahl einen größeren gemeinsamen Teiler als 1, daher ist 1 zu jeder ganzen Zahl, einschließlich sich selbst, teilerfremd.

Müssen teilerfremde Zahlen Primzahlen sein?

Nein. Teilerfremde Zahlen können zusammengesetzt sein. 8 und 15 sind beide zusammengesetzt, dennoch sind sie teilerfremd, weil sie keinen gemeinsamen Teiler außer 1 haben.

Sind zwei verschiedene Primzahlen immer teilerfremd?

Ja. Zwei verschiedene Primzahlen haben keinen gemeinsamen Teiler außer 1, daher sind je zwei verschiedene Primzahlen teilerfremd.

Können negative Zahlen teilerfremd sein?

Teilerfremdheit wird normalerweise für positive ganze Zahlen definiert. Dieser Rechner akzeptiert positive ganze Zahlen ab 1.

Was ist der Unterschied zwischen ggT und teilerfremd?

Der ggT ist die größte Zahl, durch die sich alle Eingaben teilen lassen. „Teilerfremd“ bezeichnet den speziellen Fall, in dem dieser ggT 1 entspricht.